《數(shù)值分析》課件6YQJCh3特征值Q.ppt

3 2Jacobi方法 雅可比方法是用于計(jì)算實(shí)對稱矩陣的全部特征值及對應(yīng)的特征向量的一種變換方法 最早由Jacobi給出 電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后 古代的Jacobi方法已有了不少的改進(jìn)和推廣 Jacobi方法的基本思想 Jacobi方法是通過一組平面旋轉(zhuǎn)變換 正交相似變換 化對稱矩陣A為對角矩陣 進(jìn)而求出A的特征值與特征向量 由代數(shù)知道 若A為實(shí)對稱矩陣 則一定存在正交矩陣U 使UTAU D 其中 D是對角陣 其主對角線元素 i是A的特征值 正交陣U的第j列是A的對應(yīng)于特征值 i的特征向量 于是求實(shí)對稱矩陣A的特征值問題等于尋找正交矩陣U 使UTAU D為對角陣 而這個(gè)問題的主要困難是如何構(gòu)造U 首先考慮二階對稱矩陣 能否尋求一個(gè)正交矩陣P使A經(jīng)過正交相似變換化為對角陣 考慮平面上的旋轉(zhuǎn)變換 其中P為平面旋轉(zhuǎn)矩陣 計(jì)算 故可選擇角 使 下面將這一想法推廣 首先引進(jìn)Rn中的平面旋轉(zhuǎn)變換 定義 對于p q 下面的矩陣Upq稱為平面旋轉(zhuǎn)矩陣 定義 變換y Upqx稱為Rn中 xp xq 平面內(nèi)的一個(gè)平面旋轉(zhuǎn)變換 平面旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì) 1 Upq為正交矩陣 即UpqT Upq E 2 UTAU B還為實(shí)對稱 且B與A有相同的特征值 3 B F A F 證明 對于n維列向量x Upqx相當(dāng)于把坐標(biāo)軸Oxp和Oxq于所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角度 記矩陣A aij n n 對A作一次正交相似變換 得到矩陣A1 記A1 UpqTAUpq aij 1 n n 3 12 A1仍然是實(shí)對稱陣 且A1與A的特征值相同 把式 3 12 的右端乘開 并與左端比較 得到A1的元素計(jì)算公式 由此見到 矩陣A1的第p行 列與第q行 列中的元素發(fā)生了變化 其它行列中的元素不變 只需按上述公式計(jì)算A1的第p列 第q列元素即可 然后取對稱元素 特別 令 則可以得到 Jacobi算法 1 在A的非主對角線元素中 找到按模最大元素apq 2 用式 3 14 計(jì)算tan2 及旋轉(zhuǎn)矩陣Upq 3 用公式 3 13 求A1 4 若 停止計(jì)算 否則 令A(yù) A1 重復(fù)執(zhí)行 1 4 Jacobi算法 所以 矩陣A的特征值 i aii N i 1 2 n 矩陣U的第i列就是A的屬于特征值 i aii N 的近似特征向量 并且所有的特征向量都是正交規(guī)范化的 定理3 1設(shè)A是實(shí)對稱陣 由J 方法 第k次得到的矩陣 又記 則有 非對角線元素的平方和 Jacobi方法的收斂性 證明 經(jīng)過一次正交相似變換 A1 UpqTAUpq aij 1 n n與 的元素滿足下列關(guān)系 若選擇 使 那么 經(jīng)過一次這樣的旋轉(zhuǎn)變換后 A 1 的非對角線元素的平方和減少2apq2了 而對角線元素的平方和增加了2apq2 7 若apq是A的按模最大的非對角元素 則 表明非對角線元素的平方和不超過原來的倍 這就是選擇平面旋轉(zhuǎn)變換Upq的道理 經(jīng)過k次迭代得到的矩陣記為Ak aij k n n 則有 即矩陣序列 Ak 的非對角線元素的平方和趨于零 旋轉(zhuǎn)矩陣Upq的計(jì)算 的計(jì)算公式 Jacobi算法的優(yōu)缺點(diǎn) Jacobi算法又稱為經(jīng)典的Jacobi算法 它每次迭代都是把按模最大的非主對角線元素作為消滅對象 不論實(shí)對稱矩陣A的特征值如何分布 經(jīng)典的Jacobi算法總是收斂的 而且當(dāng)A的階數(shù)不太高時(shí) 收斂速度還比較快 此外 這個(gè)方法具有較強(qiáng)的數(shù)值穩(wěn)定性 求得的結(jié)果精度一般都比較高 特別是求得的特征向量正交性很好 這是其它方法所不如的 經(jīng)典的Jacobi算法的缺點(diǎn)是 不能有效地利用矩陣的各種特殊形狀 例如帶狀或稀疏等 以節(jié)省工作量 這是因?yàn)樗牡^程中一般都會(huì)破壞原矩陣的特殊形狀 例試用Jacobi方法計(jì)算矩陣的全部特征值和相應(yīng)的特征向量 誤差為 10 5