（東營專版）2019年中考數(shù)學復習 專題類型突破 專題五 二次函數(shù)綜合題訓練

專題類型突破 專題五　二次函數(shù)綜合題 類型一 線段、周長問題 (2018·宜賓中考改編)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為(2，0)，且經過點(4，1)，如圖，直線y＝x與拋物線交于A，B兩點，直線l為y＝－1. (1)求拋物線的解析式； (2)在y軸上是否存在一點M，使點M到點A，B的距離相等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由； (3)在l上是否存在一點P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由； (4)設點S是直線l的一點，是否存在點S，使的SB－SA最大，若存在，求出點S的坐標． 【分析】 (1)設頂點式y(tǒng)＝a(x－2)2，將點(4，1)代入即可求a的值，得出拋物線的解析式； (2)聯(lián)立直線AB與拋物線解析式得到點A與點B的坐標，設出點M的坐標為(0，m)，利用等式MA2＝MB2，求出點M的坐標； (3)利用最短線段思想，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA＋PB取得最小值．求出直線AB′解析式后，聯(lián)立直線l得出點P坐標； (4)由最短線段思想可知，當S，A，B三點共線時，SB－SA取得最大值． 【自主解答】 1．(2018·廣西中考)如圖，拋物線y＝ax2－5ax＋c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A(－3，0)，C(0，4)，點B在x軸上，AC＝BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM＝BN，連接MN，AM，AN. (1)求拋物線的解析式及點D的坐標； (2)當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標； (3)試求出AM＋AN的最小值． 類型二 圖形面積問題 (2018·菏澤中考)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx－5交y軸于點A，交x軸于點B(－5，0)和點C(1，0)，過點A作AD∥x軸交拋物線于點D. (1)求此拋物線的解析式； (2)點E是拋物線上一點，且點E關于x軸的對稱點在直線AD上，求△EAD的面積； (3)若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當點P運動到某一位置時，△ABP的面積最大，求出此時點P的坐標和△ABP的最大面積． 【分析】 (1)根據(jù)題意可以求得a，b的值，從而可以求得拋物線的解析式； (2)根據(jù)題意可以求得AD的長和點E到AD的距離，從而可以求得△EAD的面積； (3)根據(jù)題意可以求得直線AB的函數(shù)解析式，再根據(jù)題意可以求得△ABP的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解答本題． 【自主解答】 2．如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經過△ABC的三個頂點，其中點A(0，1)，點B(－9，10)，AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點． (1)求拋物線的解析式； (2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標； (3)當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 類型三 拋物線上架構的三角形問題 (2018·懷化中考改編)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋2x＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點． (1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式； (2)請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標； (3)試探究：①在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由； ②在數(shù)軸上是否存在點M，使得△ACM是以AC為底的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由． 【分析】 (1)設交點式y(tǒng)＝a(x＋1)(x－3)，展開得到－2a＝2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C(0，3)，然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式； (2)利用二次函數(shù)的性質確定D的坐標為(1，4)，作B點關于y軸的對稱點B′，連接DB′交y軸于點M，利用兩點之間線段最短可判斷此時MB＋MD的值最小，則此時△BDM的周長最小，然后求出直線DB′的解析式即可得到點M的坐標； (3)①過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，利用兩直線垂直一次項系數(shù)互為負倒數(shù)求出直線PC的解析式，當過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P時，利用同樣的方法可求出此時P點坐標． ②因為△ACM是以AC為底的等腰三角形，得出MA2＝MB2，然后分類討論點M在x軸、y軸時的兩種情況，進而求出點M的坐標即可． 【自主解答】 是否存在一點，使之與另外兩個定點構成等腰三角形(直角三角形)的問題：首先弄清題意(如等腰三角形：若某邊為底邊，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構成等腰三角形，則有三種情況)；其次借助于動點所在圖形的解析式，表示出動點的坐標；然后按分類的情況，利用幾何知識建立方程(組)，求出動點坐標，注意要根據(jù)題意舍去不符合題意的點． 3．(2018·臨沂中考)如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點B的坐標為(1，0)，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A，B兩點． (1)求拋物線的解析式； (2)點P是直線AB上方拋物線上的一點．過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE＝DE. ①求點P的坐標； ②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由． 類型四 拋物線上架構的四邊形問題 (2018·齊齊哈爾中考)綜合與探究 如圖1所示，直線y＝x＋c與x軸交于點A(－4，0)，與y軸交于點C，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，C. (1)求拋物線的解析式； (2)點E在拋物線的對稱軸上，求CE＋OE的最小值； (3)如圖2所示，點M是線段OA上的一個動點，過點M作垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P，N. ①若以C，P，N為頂點的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為________； ②若點P恰好是線段MN的中點，點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內是否存在點D，使以點D，F(xiàn)，P，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由． 【分析】 (1)把已知點坐標代入解析式； (2)取點C關于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′，由兩點之間線段最短，最小值可得； (3)①由已知，注意相似三角形的分類討論． ②設出M坐標，求點P坐標．注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對稱軸對稱得到的．本題即為研究△CPN為等腰三角形的情況． 【自主解答】 解答存在性問題的一般思路 解答存在性問題的一般思路是先假設問題存在，然后推理得出結論，進而判斷結論是否成立．遇到有兩個定點確定平行四邊形或其他特殊四邊形的問題時，常常要運用分類討論和數(shù)形結合思想，分別畫出符合要求的圖形，找到所有的答案，分類時要注意不重不漏． 4．(2017·天水中考)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，經過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC. (1)求A，B兩點的坐標及拋物線的對稱軸； (2)求直線l的函數(shù)解析式(其中k，b用含a的式子表示)； (3)點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值； (4)設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由． 參考答案 類型一 【例1】 (1)∵拋物線的頂點坐標為(2，0)， 設拋物線的解析式為y＝a(x－2)2. ∵該拋物線經過點(4，1)， ∴1＝4a，解得a＝， ∴拋物線的解析式為y＝(x－2)2＝x2－x＋1. (2)存在． 聯(lián)立解得或 ∴點A的坐標為(1，)，點B的坐標為(4，1)． 設點M的坐標為(0，m)， ∴MA2＝(0－1)2＋(m－)2， MB2＝(0－4)2＋(m－1)2. ∵點M到A，B的距離相等， ∴MA2＝MB2， 即(0－1)2＋(m－)2＝(0－4)2＋(m－1)2， ∴m＝，∴點M的坐標為(0，)． (3)存在． 如圖，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA＋PB取得最小值． ∵點B(4，1)，直線l為y＝－1， ∴點B′的坐標為(4，－3)． 設直線AB′的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， 將A(1，)，B′(4，－3)代入y＝kx＋b得 解得 ∴直線AB′的解析式為y＝－x＋. 當y＝－1時，有－x＋＝－1， 解得x＝， ∴點P的坐標為(，－1)． (4)存在． 點S和點A，B在同一條直線上時，SB－SA最大． ∵點S在直線l上， ∴設點S的坐標為(n，－1)，代入y＝x得n＝－4， ∴點S的坐標為(－4，－1)． 變式訓練 1．解：(1)把A(－3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－5ax＋c得 解得 ∴拋物線解析式為y＝－x2＋x＋4. ∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3， ∴B(3，0)． ∵BD⊥x軸交拋物線于點D， ∴D點的橫坐標為3， 當x＝3時，y＝－×9＋×3＋4＝5， ∴D點坐標為(3，5)． (2)在Rt△OBC中，BC＝＝＝5. 設M(0，m)，則BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1. ∵∠MCN＝∠OCB， ∴當＝時，△CMN∽△COB， 則∠CMN＝∠COB＝90°， 即＝，解得m＝，此時M點坐標為(0，)． 當＝時，△CMN∽△CBO， 則∠CNM＝∠COB＝90°， 即＝，解得m＝，此時M點坐標為(0，)． 綜上所述，M點的坐標為(0，)或(0，)． (3)如圖，連接DN，AD. ∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴OC平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO. ∵BD∥OC，∴∠BCO＝∠DBC. ∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN， ∴△ACM≌△DBN， ∴AM＝DN，∴AM＋AN＝DN＋AN， 而DN＋AN≥AD(當且僅當點A，N，D共線時取等號)， ∵AD＝＝， ∴AM＋AN的最小值為. 類型二 【例2】 (1)∵拋物線y＝ax2＋bx－5經過點B(－5，0)和點C(1，0)， ∴解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2＋4x－5. (2)∵拋物線y＝x2＋4x－5交y軸于點A， ∴A點坐標為(0，－5)． 又∵點E關于x軸的對稱點在直線AD上， ∴點E的縱坐標為5. 如圖，過點E作EF⊥DA，交DA的延長線于點F， ∴EF＝5＋|－5|＝10. 設點D的坐標為(a，－5)， ∴a2＋4a－5＝－5， ∴a1＝0，a2＝－4， ∴點D的坐標為(－4，－5)， ∴AD＝|－4|＝4， ∴S△ADE＝AD·EF＝×4×10＝20. (3)設直線AB的解析式為y＝kx＋b，且該直線經過點B(－5，0)和點A(0，－5)， ∴解得 ∴直線AB的解析式為y＝－x－5. 如圖，過點P作PN⊥x軸，垂足為點N，交直線AB于點M. 設P(x，x2＋4x－5)，則M(x，－x－5)， ∴S△ABP＝S△PMB＋S△PMA ＝[(－x－5)－(x2＋4x－5)]×5 ＝－(x2＋5x)＝－(x＋)2＋， ∴當x＝－時，S△ABP最大，最大值為. 將x＝－代入y＝x2＋4x－5得y＝－， ∴P點的坐標為(－，－)． 變式訓練 2．解：(1)把點A(0，1)，B(－9，10)的坐標代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴拋物線的解析式是y＝x2＋2x＋1. (2)∵AC∥x軸，A(0，1)， 由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0. ∴C(－6，1)． 設直線AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)， 由解得 則直線AB的解析式是y＝－x＋1. 設點P的坐標為(m，m2＋2m＋1)，則點E的坐標為(m，－m＋1)，EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m. ∵AC⊥EP，AC＝6， ∴S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF ＝AC·(EF＋PF)＝AC·PE ＝×6×(－m2－3m) ＝－m2－9m＝－(m＋)2＋. 又∵－6＜m＜0， 則當m＝－時，四邊形AECP的面積的最大值是， 此時點P的坐標是(－，－)． (3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得頂點P的坐標是(－3，－2)，此時PF＝y(tǒng)F－yP＝3，CF＝xF－xC＝3， 則在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°. 同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直線AC上存在滿足條件的Q，如圖△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC. 可求AB＝9，AC＝6，CP＝3， ①當△CPQ1∽△ABC時，設Q1(t1，1)， 由＝，得＝，解得t1＝－4. ②當△CQ2P∽△ABC，設Q2(t2，1)， 由＝，得＝，解得t2＝3. 綜上，滿足條件的點Q有兩個，坐標分別是Q1(－4，1)或Q2(3，1)． 類型三 【例3】 (1)設拋物線解析式為y＝a(x＋1)(x－3)， 即y＝ax2－2ax－3a， ∴－2a＝2，解得a＝－1，∴拋物線解析式為y＝－x2＋2x＋3. 當x＝0時，y＝－x2＋2x＋3＝3，則C(0，3)． 設直線AC的解析式為y＝px＋q， 把A(－1，0)，C(0，3)代入得解得 ∴直線AC的解析式為y＝3x＋3. (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴頂點D的坐標為(1，4)． 如圖，作B點關于y軸的對稱點B′，則B′(－3，0)，連接DB′交y軸于M. ∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此時MB＋MD的值最?。? ∵BD的值不變，∴此時△BDM的周長最小． 易得直線DB′的解析式為y＝x＋3. 當x＝0時，y＝x＋3＝3， ∴點M的坐標為(0，3)． (3)①存在． 如圖，過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P. ∵直線AC的解析式為y＝3x＋3， ∴直線PC的解析式可設為 y＝－x＋b， 把C(0，3)代入得b＝3， ∴直線PC的解析式為y＝－x＋3. 解方程組得或 則此時P點坐標為(，)． 如圖，過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P′， 直線P′A的解析式可設為 y＝－x＋b1， 把A(－1，0)代入得＋b1＝0，解得b1＝－， ∴直線PC的解析式為y＝－x－. 解方程組得或 則此時P′點坐標為(，－)． 綜上所述，符合條件的點P的坐標為(，)或(，－)． ②存在． 當點M在x軸上時，設點M的坐標為(n，0)， ∵MA2＝MB2，即[n－(－1)]2＝n2＋(0－3)2， ∴n＝4，∴此時點M的坐標為(4，0)． 當點M在y軸上時，設點M的坐標為(0，a)， ∵MA2＝MB2，即[0－(－1)]2＋(a－0)2＝(3－a)2， ∴a＝，∴此時點M的坐標為(0，)． 綜上所述，符合條件的點M的坐標為(4，0)或(0，)． 變式訓練 3．解：(1)在Rt△ABC中，由點B的坐標可知OB＝1. ∵OC＝2OB，∴OC＝2，則BC＝3. 又∵tan∠ABC＝2， ∴AC＝2BC＝6，則點A的坐標為(－2，6)． 把點A，B的坐標代入拋物線y＝－x2＋bx＋c中得 解得 ∴該拋物線的解析式為y＝－x2－3x＋4. (2)①由點A(－2，6)和點B(1，0)的坐標易得直線AB的解析式為y＝－2x＋2. 如圖，設點P的坐標為(m，－m2－3m＋4)，則點E的坐標為(m，－2m＋2)，點D的坐標為(m，0)， 則PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2， 由PE＝DE得－m2－m＋2＝ (－2m＋2)， 解得m＝±1. 又∵－2＜m＜1， ∴m＝－1， ∴點P的坐標為(－1，6)． ②∵M在直線PD上，且P(－1，6)， 設M(－1，y)， ∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2， BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三種情況： (ⅰ)當∠AMB＝90°時，有AM2＋BM2＝AB2， ∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±， ∴M(－1，3＋)或(－1，3－)； (ⅱ)當∠ABM＝90°時，有AB2＋BM2＝AM2， ∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1， ∴M(－1，－1)． (ⅲ)當∠BAM＝90°時，有AM2＋AB2＝BM2， ∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)． 綜上所述，點M的坐標為(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)． 類型四 【例4】 (1)將A(－4，0)代入y＝x＋c得c＝4， 將A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c得b＝－3， ∴拋物線解析式為y＝－x2－3x＋4. (2) 如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接OC′，交直線l于點E，連接CE，此時CE＋OE的值最小． ∵拋物線對稱軸直線x＝－，∴CC′＝3. 由勾股定理可得OC′＝5， ∴CE＋OE的最小值為5. (3)①當△CNP∽△AMP時， ∠CNP＝90°，則NC關于拋物線對稱軸對稱， ∴NC＝NP＝3， ∴△CPN的面積為. 當△CNP∽△MAP時， 由已知△NCP為等腰直角三角形，∠NCP＝90°. 如圖，過點C作CE⊥MN于點E，設點M坐標為(a，0)， ∴EP＝EC＝－a， 則N為(a，－a2－3a＋4)，MP＝－a2－3a＋4－(－2a)＝－a2－a＋4， ∴P(a，－a2－a＋4)， 代入y＝x＋4， 解得a＝－2或a＝0(舍)， 則N(－2，6)，P(－2，2)，故PN＝4. 又∵EC＝－a＝2， ∴△CPN的面積為4. 故答案為或4. ②存在．設點M坐標為(a，0)，則點N坐標為(a，－a2－3a＋4)，則P點坐標為(a，)， 把點P坐標代入y＝x＋4， 解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1. 當PF＝FM時，點D在MN垂直平分線上，則D(，)； 當PM＝PF時，由菱形性質得點D坐標為(－1＋，)或(－1－，－)； 當MP＝MF時，M，D關于直線y＝x＋4對稱，點D坐標為(－4，3)． 變式訓練 4．解：(1)當y＝0時，ax2－2ax－3a＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)， 對稱軸為直線x＝＝1. (2)∵直線l為y＝kx＋b且過A(－1，0)， ∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直線l為y＝kx＋k. ∵拋物線與直線l交于點A，D， ∴ax2－2ax－3a＝kx＋k， 即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0. ∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標為4， ∴－3－＝－1×4，∴k＝a， ∴直線l的函數(shù)解析式為y＝ax＋a. (3) 圖1 如圖1，過點E作EF∥y軸交直線l于點F. 設E(x，ax2－2ax－3a)， 則F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－ax－a＝ax2－3ax－4a， ∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a， ∴△ACE的面積的最大值為－a. ∵△ACE的面積的最大值為， ∴－a＝， 解得a＝－. (4)以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能成為矩形． 令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0， 解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)． ∵拋物線的對稱軸為直線x＝1， 設P(1，m)， 如圖2，①若AD是矩形ADPQ的一條邊， 圖2 則易得Q(－4，21a)， m＝21a＋5a＝26a，則P(1，26a)． ∵四邊形ADPQ是矩形， ∴∠ADP＝90°， ∴AD2＋PD2＝AP2， ∴52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2， 即a2＝. ∵a＜0，∴a＝－， ∴P(1，－)． ②如圖3，若AD是矩形APDQ的對角線， 圖3 則易得Q(2，－3a)， m＝5a－(－3a)＝8a， 則P(1，8a)． ∵四邊形APDQ是矩形， ∴∠APD＝90°， ∴AP2＋PD2＝AD2， ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2， 即a2＝. ∵a＜0，∴a＝－，∴P(1，－4)． 綜上所述，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P坐標為(1，－)或(1，－4)． 21