（東營(yíng)專版）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題類型突破 專題五 二次函數(shù)綜合題訓(xùn)練

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1、 專題類型突破 專題五　二次函數(shù)綜合題 類型一 線段、周長(zhǎng)問(wèn)題 (2018·宜賓中考改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，1)，如圖，直線y＝x與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線l為y＝－1. (1)求拋物線的解析式； (2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A，B的距離相等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (4)設(shè)點(diǎn)S是直線l的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)S，使的SB－SA最大，若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)． 【分析】 (1)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)

2、＝a(x－2)2，將點(diǎn)(4，1)代入即可求a的值，得出拋物線的解析式； (2)聯(lián)立直線AB與拋物線解析式得到點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，m)，利用等式MA2＝MB2，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)； (3)利用最短線段思想，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB取得最小值．求出直線AB′解析式后，聯(lián)立直線l得出點(diǎn)P坐標(biāo)； (4)由最短線段思想可知，當(dāng)S，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，SB－SA取得最大值． 【自主解答】 1．(2018·廣西中考)如圖，拋物線y＝ax2－5ax＋c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，

3、其中A(－3，0)，C(0，4)，點(diǎn)B在x軸上，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM＝BN，連接MN，AM，AN. (1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； (3)試求出AM＋AN的最小值． 類型二 圖形面積問(wèn)題 (2018·菏澤中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－5交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B(－5，0)和點(diǎn)C(1，0)，過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D. (1)求此拋物線的解析式； (2)點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)

4、于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上，求△EAD的面積； (3)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABP的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積． 【分析】 (1)根據(jù)題意可以求得a，b的值，從而可以求得拋物線的解析式； (2)根據(jù)題意可以求得AD的長(zhǎng)和點(diǎn)E到AD的距離，從而可以求得△EAD的面積； (3)根據(jù)題意可以求得直線AB的函數(shù)解析式，再根據(jù)題意可以求得△ABP的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題． 【自主解答】 2．如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A

5、(0，1)，點(diǎn)B(－9，10)，AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 類型三 拋物線上架構(gòu)的三角形問(wèn)題 (2018·懷化中考改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋2x＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

6、點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式； (2)請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)； (3)試探究：①在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； ②在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是以AC為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】 (1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x＋1)(x－3)，展開(kāi)得到－2a＝2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C(0，3)，然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式； (2)

7、利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為(1，4)，作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于點(diǎn)M，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)MB＋MD的值最小，則此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小，然后求出直線DB′的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)； (3)①過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，利用兩直線垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)求出直線PC的解析式，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P時(shí)，利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)． ②因?yàn)椤鰽CM是以AC為底的等腰三角形，得出MA2＝MB2，然后分類討論點(diǎn)M在x軸、y軸時(shí)的兩種情況，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可． 【自主解答】 是否

8、存在一點(diǎn)，使之與另外兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形(直角三角形)的問(wèn)題：首先弄清題意(如等腰三角形：若某邊為底邊，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說(shuō)該三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況)；其次借助于動(dòng)點(diǎn)所在圖形的解析式，表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；然后按分類的情況，利用幾何知識(shí)建立方程(組)，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，注意要根據(jù)題意舍去不符合題意的點(diǎn)． 3．(2018·臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PD垂直

9、x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE＝DE. ①求點(diǎn)P的坐標(biāo)； ②在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 類型四 拋物線上架構(gòu)的四邊形問(wèn)題 (2018·齊齊哈爾中考)綜合與探究 如圖1所示，直線y＝x＋c與x軸交于點(diǎn)A(－4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C. (1)求拋物線的解析式； (2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，求CE＋OE的最小值； (3)如圖2所示，點(diǎn)M是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線

10、分別交于點(diǎn)P，N. ①若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為_(kāi)_______； ②若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】 (1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式； (2)取點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′，由兩點(diǎn)之間線段最短，最小值可得； (3)①由已知，注意相似三角形的分類討論． ②設(shè)出M坐標(biāo)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對(duì)稱軸對(duì)稱得到的．本題即為研究△CPN為等腰三角形的情況． 【自主

11、解答】 解答存在性問(wèn)題的一般思路 解答存在性問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)問(wèn)題存在，然后推理得出結(jié)論，進(jìn)而判斷結(jié)論是否成立．遇到有兩個(gè)定點(diǎn)確定平行四邊形或其他特殊四邊形的問(wèn)題時(shí)，常常要運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想，分別畫出符合要求的圖形，找到所有的答案，分類時(shí)要注意不重不漏． 4．(2017·天水中考)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC. (1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物

12、線的對(duì)稱軸； (2)求直線l的函數(shù)解析式(其中k，b用含a的式子表示)； (3)點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值； (4)設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 參考答案 類型一 【例1】 (1)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)， 設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－2)2. ∵該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，1)， ∴1＝4a，解得a＝， ∴拋物線的解析式為y＝(x－2)2＝x2－x＋1. (2)存在．

13、聯(lián)立解得或 ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，1)． 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，m)， ∴MA2＝(0－1)2＋(m－)2， MB2＝(0－4)2＋(m－1)2. ∵點(diǎn)M到A，B的距離相等， ∴MA2＝MB2， 即(0－1)2＋(m－)2＝(0－4)2＋(m－1)2， ∴m＝，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)． (3)存在． 如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB取得最小值． ∵點(diǎn)B(4，1)，直線l為y＝－1， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(4，－3)． 設(shè)直線AB′的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， 將A(1，)，B′(4，－3)代入y＝k

14、x＋b得 解得 ∴直線AB′的解析式為y＝－x＋. 當(dāng)y＝－1時(shí)，有－x＋＝－1， 解得x＝， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－1)． (4)存在． 點(diǎn)S和點(diǎn)A，B在同一條直線上時(shí)，SB－SA最大． ∵點(diǎn)S在直線l上， ∴設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(n，－1)，代入y＝x得n＝－4， ∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為(－4，－1)． 變式訓(xùn)練 1．解：(1)把A(－3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－5ax＋c得 解得 ∴拋物線解析式為y＝－x2＋x＋4. ∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3， ∴B(3，0)． ∵BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D， ∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3， 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－×9＋

15、×3＋4＝5， ∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(3，5)． (2)在Rt△OBC中，BC＝＝＝5. 設(shè)M(0，m)，則BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1. ∵∠MCN＝∠OCB， ∴當(dāng)＝時(shí)，△CMN∽△COB， 則∠CMN＝∠COB＝90°， 即＝，解得m＝，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)． 當(dāng)＝時(shí)，△CMN∽△CBO， 則∠CNM＝∠COB＝90°， 即＝，解得m＝，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)． 綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)或(0，)． (3)如圖，連接DN，AD. ∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴OC平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO. ∵BD∥OC，∴∠BCO＝∠DBC.

16、 ∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN， ∴△ACM≌△DBN， ∴AM＝DN，∴AM＋AN＝DN＋AN， 而DN＋AN≥AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，N，D共線時(shí)取等號(hào))， ∵AD＝＝， ∴AM＋AN的最小值為. 類型二 【例2】 (1)∵拋物線y＝ax2＋bx－5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(－5，0)和點(diǎn)C(1，0)， ∴解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2＋4x－5. (2)∵拋物線y＝x2＋4x－5交y軸于點(diǎn)A， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)． 又∵點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上， ∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5. 如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DA，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， ∴EF＝5＋|－5|＝10.

17、設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a，－5)， ∴a2＋4a－5＝－5， ∴a1＝0，a2＝－4， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－4，－5)， ∴AD＝|－4|＝4， ∴S△ADE＝AD·EF＝×4×10＝20. (3)設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，且該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(－5，0)和點(diǎn)A(0，－5)， ∴解得 ∴直線AB的解析式為y＝－x－5. 如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)M. 設(shè)P(x，x2＋4x－5)，則M(x，－x－5)， ∴S△ABP＝S△PMB＋S△PMA ＝[(－x－5)－(x2＋4x－5)]×5 ＝－(x2＋5x)＝－(x＋)2＋， ∴當(dāng)x＝－時(shí)，S△ABP

18、最大，最大值為. 將x＝－代入y＝x2＋4x－5得y＝－， ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，－)． 變式訓(xùn)練 2．解：(1)把點(diǎn)A(0，1)，B(－9，10)的坐標(biāo)代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴拋物線的解析式是y＝x2＋2x＋1. (2)∵AC∥x軸，A(0，1)， 由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0. ∴C(－6，1)． 設(shè)直線AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)， 由解得 則直線AB的解析式是y＝－x＋1. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m2＋2m＋1)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，－m＋1)，EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m. ∵AC⊥EP，AC＝6，

19、∴S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF ＝AC·(EF＋PF)＝AC·PE ＝×6×(－m2－3m) ＝－m2－9m＝－(m＋)2＋. 又∵－6＜m＜0， 則當(dāng)m＝－時(shí)，四邊形AECP的面積的最大值是， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－，－)． (3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－3，－2)，此時(shí)PF＝y(tǒng)F－yP＝3，CF＝xF－xC＝3， 則在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°. 同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直線AC上存在滿足條件的Q，如圖△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC. 可

20、求AB＝9，AC＝6，CP＝3， ①當(dāng)△CPQ1∽△ABC時(shí)，設(shè)Q1(t1，1)， 由＝，得＝，解得t1＝－4. ②當(dāng)△CQ2P∽△ABC，設(shè)Q2(t2，1)， 由＝，得＝，解得t2＝3. 綜上，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別是Q1(－4，1)或Q2(3，1)． 類型三 【例3】 (1)設(shè)拋物線解析式為y＝a(x＋1)(x－3)， 即y＝ax2－2ax－3a， ∴－2a＝2，解得a＝－1，∴拋物線解析式為y＝－x2＋2x＋3. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－x2＋2x＋3＝3，則C(0，3)． 設(shè)直線AC的解析式為y＝px＋q， 把A(－1，0)，C(0，3)代入得解得 ∴直

21、線AC的解析式為y＝3x＋3. (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)． 如圖，作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′(－3，0)，連接DB′交y軸于M. ∵M(jìn)B＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此時(shí)MB＋MD的值最小． ∵BD的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小． 易得直線DB′的解析式為y＝x＋3. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x＋3＝3， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，3)． (3)①存在． 如圖，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P. ∵直線AC的解析式為y＝3x＋3， ∴直線PC的解析式可設(shè)為 y＝－x＋b， 把C(0，3)代入

22、得b＝3， ∴直線PC的解析式為y＝－x＋3. 解方程組得或 則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)． 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P′， 直線P′A的解析式可設(shè)為 y＝－x＋b1， 把A(－1，0)代入得＋b1＝0，解得b1＝－， ∴直線PC的解析式為y＝－x－. 解方程組得或 則此時(shí)P′點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． 綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，－)． ②存在． 當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(n，0)， ∵M(jìn)A2＝MB2，即[n－(－1)]2＝n2＋(0－3)2， ∴n＝4，∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0)． 當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，a)，

23、 ∵M(jìn)A2＝MB2，即[0－(－1)]2＋(a－0)2＝(3－a)2， ∴a＝，∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)． 綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0)或(0，)． 變式訓(xùn)練 3．解：(1)在Rt△ABC中，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB＝1. ∵OC＝2OB，∴OC＝2，則BC＝3. 又∵tan∠ABC＝2， ∴AC＝2BC＝6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，6)． 把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線y＝－x2＋bx＋c中得 解得 ∴該拋物線的解析式為y＝－x2－3x＋4. (2)①由點(diǎn)A(－2，6)和點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)易得直線AB的解析式為y＝－2x＋2. 如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

24、m，－m2－3m＋4)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，－2m＋2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)， 則PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2， 由PE＝DE得－m2－m＋2＝ (－2m＋2)， 解得m＝±1. 又∵－2＜m＜1， ∴m＝－1， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，6)． ②∵M(jìn)在直線PD上，且P(－1，6)， 設(shè)M(－1，y)， ∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2， BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三種情況： (ⅰ)當(dāng)∠AMB＝90°時(shí)，有AM2＋BM2＝AB2， ∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±，

25、 ∴M(－1，3＋)或(－1，3－)； (ⅱ)當(dāng)∠ABM＝90°時(shí)，有AB2＋BM2＝AM2， ∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1， ∴M(－1，－1)． (ⅲ)當(dāng)∠BAM＝90°時(shí)，有AM2＋AB2＝BM2， ∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)． 綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)． 類型四 【例4】 (1)將A(－4，0)代入y＝x＋c得c＝4， 將A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c得b＝－3， ∴拋物線解析式為y＝－x2－3x＋4. (2) 如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物

26、線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接OC′，交直線l于點(diǎn)E，連接CE，此時(shí)CE＋OE的值最?。? ∵拋物線對(duì)稱軸直線x＝－，∴CC′＝3. 由勾股定理可得OC′＝5， ∴CE＋OE的最小值為5. (3)①當(dāng)△CNP∽△AMP時(shí)， ∠CNP＝90°，則NC關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱， ∴NC＝NP＝3， ∴△CPN的面積為. 當(dāng)△CNP∽△MAP時(shí)， 由已知△NCP為等腰直角三角形，∠NCP＝90°. 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a，0)， ∴EP＝EC＝－a， 則N為(a，－a2－3a＋4)，MP＝－a2－3a＋4－(－2a)＝－a2－a＋4， ∴P(a，－a2－

27、a＋4)， 代入y＝x＋4， 解得a＝－2或a＝0(舍)， 則N(－2，6)，P(－2，2)，故PN＝4. 又∵EC＝－a＝2， ∴△CPN的面積為4. 故答案為或4. ②存在．設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a，0)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為(a，－a2－3a＋4)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，)， 把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y＝x＋4， 解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1. 當(dāng)PF＝FM時(shí)，點(diǎn)D在MN垂直平分線上，則D(，)； 當(dāng)PM＝PF時(shí)，由菱形性質(zhì)得點(diǎn)D坐標(biāo)為(－1＋，)或(－1－，－)； 當(dāng)MP＝MF時(shí)，M，D關(guān)于直線y＝x＋4對(duì)稱，點(diǎn)D坐標(biāo)為(－4，3)． 變式訓(xùn)練 4．解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，ax2－2

28、ax－3a＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)， 對(duì)稱軸為直線x＝＝1. (2)∵直線l為y＝kx＋b且過(guò)A(－1，0)， ∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直線l為y＝kx＋k. ∵拋物線與直線l交于點(diǎn)A，D， ∴ax2－2ax－3a＝kx＋k， 即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0. ∵CD＝4AC，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4， ∴－3－＝－1×4，∴k＝a， ∴直線l的函數(shù)解析式為y＝ax＋a. (3) 圖1 如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交直線l于點(diǎn)F. 設(shè)E(x，ax2－2ax－3a)， 則F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－

29、ax－a＝ax2－3ax－4a， ∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a， ∴△ACE的面積的最大值為－a. ∵△ACE的面積的最大值為， ∴－a＝， 解得a＝－. (4)以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形． 令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0， 解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)． ∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1， 設(shè)P(1，m)， 如圖2，①若AD是矩形ADPQ的一條邊， 圖2 則易得Q(－4，21a)， m＝21

30、a＋5a＝26a，則P(1，26a)． ∵四邊形ADPQ是矩形， ∴∠ADP＝90°， ∴AD2＋PD2＝AP2， ∴52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2， 即a2＝. ∵a＜0，∴a＝－， ∴P(1，－)． ②如圖3，若AD是矩形APDQ的對(duì)角線， 圖3 則易得Q(2，－3a)， m＝5a－(－3a)＝8a， 則P(1，8a)． ∵四邊形APDQ是矩形， ∴∠APD＝90°， ∴AP2＋PD2＝AD2， ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2， 即a2＝. ∵a＜0，∴a＝－，∴P(1，－4)． 綜上所述，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，－)或(1，－4)． 21