河南省2019年中考數學專題復習 專題五 解直角三角形的實際應用訓練

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1、專題五　解直角三角形的實際應用 類型一 母子型 (2015·河南)如圖所示，某數學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大樹的高度．(結果保留整數．參考數據：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，≈1.73) 例1題圖 【分析】 根據所求構造直角三角形，在直角三角形中，利用銳角三角函數的性質求解問題即可． 【自主解答】如解圖，延長BD交AE于點G，過點D作DH⊥AE于點H. 例1題解圖

2、∵由題意，得∠DAE＝∠BGH＝30°，DA＝6， ∴GD＝DA＝6， ∴GH＝AH＝DA·cos 30°＝3，∴GA＝6. 設BC＝x米，在Rt△GBC中，GC＝＝x. 在Rt△ABC中，AC＝＝. ∵GC－AC＝GA，∴x－＝6， 解得x≈13.即大樹的高度約為13米． 1．(2018·泰州)日照間距系數反映了房屋日照情況．如圖①，當前后房屋都朝向正南時，日照間距系數＝L∶(H－H1)，其中L為樓間水平距離，H為南側樓房高度，H1為北側樓房底層窗臺至地面高度． 如圖②，山坡EF朝北，EF長為15 m，坡度為i＝1∶0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5 m的樓房A

3、B，底部A到E點的距離為4 m. (1)求山坡EF的水平寬度FH； (2)欲在AB樓正北側山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9 m，要使該樓的日照間距系數不低于1.25，底部C距F處至少多遠？ 圖① 圖② 2.(2018·商丘模擬)如圖，蘭蘭站在河岸上的G點，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來，此時，測得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若蘭蘭的眼睛與地面的距離是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直線，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8米，求小船C到岸邊的距離CA的長？(參考數據：≈1.7，結果保留一位小數)

4、 3．如圖，某校一幢教學大樓的頂部豎有一塊“傳承文明，啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°.已知山坡AB的坡度i＝1∶，AB＝10米，AE＝15米，求這塊宣傳牌CD的高度．(測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米．參考數據：≈1.414，≈1.732) 4．(2018·新鄉(xiāng)一模)如圖，為探測某座山的高度AB，某飛機在空中C處測得山頂A處的俯角為31°，此時飛機的飛行高度為CH＝4千米；保持飛行高度與方向不變，繼續(xù)向前飛行2千米到達D處，測得

5、山頂A處的俯角為50°.求此山的高度AB.(參考數據：tan 30°≈0.6，tan 50°≈1.2) 5．(2018·煙臺)汽車超速行駛是交通安全的重大隱患，為了有效降低交通事故的發(fā)生，許多道路在事故易發(fā)路段設置了區(qū)間測速，如圖，學校附近有一條筆直的公路l，其間設有區(qū)間測速，所有車輛限速40千米/小時，數學實踐活動小組設計了如下活動：在l上確定A，B兩點，并在AB路段進行區(qū)間測速．在l外取一點P，作PC⊥l，垂足為點C.測得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°.上午9時測得一汽車從點A到點B用時6秒，請你用所學的數學知識說明該車是否超速．(參

6、考數據：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90) 6．(2018·河南說明與檢測)如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE，CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角∠CED＝60°，在離電線桿6米的B處安置高為1.5米的測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，求拉線CE的長．(參考數據：≈1.41，≈1.73.結果保留一位小數．) 7．(2018·河南說明與檢測)某數學興趣小組在學習《銳角三角函數》以后，開展測量

7、物體高度的實踐活動，他們在河邊的一點A處測得河對岸小山頂上一座鐵塔的塔頂C的仰角為66°、塔底B的仰角為60°，已知鐵塔的高度BC為20 m(如圖)，你能根據以上數據求出小山的高BD嗎？ 8．(2018·河南說明與檢測)太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關注和重點發(fā)展的新興產業(yè)．如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼AB的長度相同，均為300 cm，AB的傾斜角為30°，BE＝CA＝50 cm，支撐角鋼CD、EF與底座地基臺面接觸點分別為D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于點E.

8、兩個底座地基高度相同(即點D、F到地面的垂直距離相同)，均為30 cm，點A到地面的垂直距離為50 cm，求支撐角鋼CD和EF的長度各是多少厘米．(結果保留根號) 　 9．(2018·遵義)如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時，吊繩BC與地面保持垂直，吊臂AB與水平線的夾角為64°，吊臂底部A距地面1.5 m．(計算結果精確到0.1 m，參考數據sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05) (1)當吊臂底部A與貨物的水平距離AC為5 m時，吊臂AB的長為____________m； (2)如果該吊車吊

9、臂的最大長度AD為20 m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？(吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計) 類型二 背靠背型 (2018·河南)“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據自己的身高和習慣在規(guī)定范圍內調節(jié)高、低兩杠間的距離．某興趣小組根據高低杠器材的一種截面圖編制了如下數學問題，請你解答． 如圖所示，底座上A，B兩點間的距離為90 cm.低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155 cm，高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234 cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為

10、82.4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長．(結果精確到1 cm，參考數據sin 82.4°≈0.991，cos 82.4°≈0.132，tan 82.4°≈7.500，sin 80.3°≈0.983，cos 80.3°≈0.168，tan 80.3°≈5.850) 　　　　　　 例2題圖 【分析】 利用銳角三角函數，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分別求出AE、BF的長．計算出EF.通過矩形CEFH的性質得到CH的長． 【自主解答】 解：在Rt△ACE中， AE＝＝≈20.7， 在Rt△BDF中， BF＝＝≈40， ∵在矩

11、形CEFH中，CH＝EF， ∴CH＝EF＝AE＋AB＋BF＝20.7＋90＋40≈151(cm)． 答：高低杠間的水平距離CH的長為151 cm. 1．(2018·駐馬店一模)小明利用寒假進行綜合實踐活動，他想利用測角儀和卷尺測量自家所住樓(甲樓)與對面郵政大樓(乙樓)的高度，現小明用卷尺測得甲樓寬AE是8 m，用測角儀在甲樓頂E處與A處測得乙樓頂部D的仰角分別為37°和42°，同時在A處測得乙樓底部B處的俯角為32°，請根據小明測得數據幫他計算甲、乙兩個樓的高度．(精確到0.01 m)(cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0

12、.90，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 2．(2018·甘肅省卷)隨著中國經濟的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起．高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式．如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達高鐵，可以縮短從A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短多少公里？(參考數據：≈1.7，≈1.4) 3．(2018·

13、常州)京杭大運河是世界文化遺產．綜合實踐活動小組為了測出某段運河的河寬(岸沿是平行的)，如圖，在岸邊分別選定了點A、B和點C、D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用測角儀測得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求該段運河的河寬(即CH的長)． 4．(2018·眉山)知識改變世界，科技改變生活．導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學生乘車到黑龍灘(用C表示)開展社會實踐活動，車到達A地后，發(fā)現C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導航顯示車輛應沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達C地，求

14、B、C兩地的距離．(參考數據：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) 5.(2018·河南說明與檢測)如圖，B地在A地的北偏東56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原來從A地到C地的路線為A→B→C，現在沿A地北偏東26°方向新修了一條直達C地的公路，路程比原來少了20千米．求從A地直達C地的路程(結果保留整數．參考數據：≈1.41，≈1.73)． 6．(2018·河南說明與檢測)如圖，某數學活動小組為測量學校旗桿AB的高度，從旗桿正前方2米處的點C出發(fā)，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前進4米到達點D

15、，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37°，量得儀器的高DE為1.5米，已知A，B，C，D，E在同一平面內，AB⊥BC，AB∥DE，求旗桿AB的高度．(參考數據：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈.計算結果保留根號)． 7．(2018·河南說明與檢測)中國南海是中國固有領海，我方漁政船經常在此海域執(zhí)勤巡察，一天我方漁政船停在小島A北偏西37°方向的B處，觀察A島周邊海域，據測算，漁政船距A島的距離AB長為10海里，此時位于A島正西方向C處的我方漁船遭到某國軍艦的襲擾，船長發(fā)現在其北偏東50°的方向上有我方漁

16、政船，便發(fā)出緊急求救信號，漁政船接警后，立即沿BC航線以每小時30海里的速度前往救助，問漁政船大約需要多少分鐘能到達漁船所在的C處？(參考數據：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77) 8．(2018·河南說明與檢測)如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB＝2 km.有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方

17、向． (1)求點P到海岸線l的距離； (2)小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點C與點B之間的距離．(上述兩小題的結果都保留根號) 9．(2018·衡陽)一名徒步愛好者來衡陽旅行，他從賓館C出發(fā)，沿北偏東30°的方向行走2 000米到達石鼓書院A處，參觀后又從A處沿正南方向行走一段距離，到達位于賓館南偏東45°方向的雁峰公園B處，如圖所示． (1)求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離； (2)若這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公

18、園返回賓館，那么他在15分鐘內能否到達賓館？ 參考答案 類型一 針對訓練 1．解：(1)∵iEF＝1∶0.75＝＝， 設EH＝4x，則FH＝3x，EF＝＝5x＝15， ∴x＝3，∴FH＝3x＝9，即山坡EF的水平寬度FH為9 m. 第1題解圖 (2)如解圖，延長BA、FH交于點G，則AG＝EH＝4×3＝12，GH＝AE＝4，∴BG＝BA＋AG＝22.5＋12＝34.5.設CF＝y(tǒng)，則CG＝CF＋FH＋GH＝y(tǒng)＋9＋4＝y(tǒng)＋13， 由題知CG∶(BG－CP)≥1.25，∴≥1.25，解得y≥29， ∴

19、底部C距F處至少29 m遠． 2．解：如解圖，延長DG交CA于點H，得Rt△ABE和矩形BEHG. i＝＝， 第2題解圖 ∵BE＝8，∴AE＝6，∵DG＝1.5，BG＝1， ∴DH＝DG＋GH＝1.5＋8＝9.5， AH＝AE＋EH＝6＋1＝7. 在Rt△CDH中， ∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5， ∴CH＝＝9.5. 又∵CH＝CA＋AH， 即9.5＝CA＋7， ∴CA≈9.2(米)． 答：CA的長約是9.2米． 3．解：如解圖，過點B作BF⊥AE，交EA的延長線于點F，作BG⊥DE于點G. ∵Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝＝， 第3題解

20、圖 ∴∠BAF＝30°， ∴BF＝AB＝5，AF＝5. ∴BG＝AF＋AE＝5＋15. ∵Rt△BGC中，∠CBG＝45°， ∴CG＝BG＝5＋15. Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15， ∴DE＝AE·tan 60°＝AE＝15. ∴CD＝CG＋GE－DE＝5＋15＋5－15＝20－10≈2.7 m. 答：宣傳牌CD高約2.7米． 4．解：如解圖，延長BA交CD的延長線于點E，則BE⊥CE，CH＝BE＝4千米， 設AE＝x千米， 第4題解圖 ∵Rt△ADE中， ∠ADE＝50°， ∴DE＝＝＝x. ∴CE＝x＋2. ∵Rt△ACE中，∠ACE＝

21、31°， ∴AE＝CE·tan 31°，即x＝0.6×(x＋2)， 解得x＝2.4， ∴AB＝BE－AE＝4－2.4＝1.6(千米)． 答：山的高度AB約為1.6千米． 5．解：在Rt△APC中，AC＝PC·tan∠APC＝30·tan 71°≈30×2.90＝87米， 在Rt△BPC中，BC＝PCtan∠BPC＝30·tan 35°≈30×0.70＝21米， 則AB＝AC－BC＝87－21＝66米， 該汽車的平均速度為＝11 m/s，∵40 km/h≈11.1 m/s， ∴該車沒有超速． 6．解：如解圖，過點A作AH⊥CD，垂足為點H， 由題意知，四邊形ABDH為矩形，

22、∠CAH＝30°， 第6題解圖 ∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6. 在Rt△ACH中，CH＝AH·tan∠CAH， ∴CH＝6·tan 30°＝2(米)． ∵DH＝1.5， ∴CD＝(2＋1.5)(米)． 在Rt△CDE中， ∵∠CED＝60°， ∴CE＝＝4＋≈5.7(米)， 答：拉線CE的長約為5.7米． 7．解：能求出小山的高， 設小山的高BD為x m. 在Rt△ABD中，AD＝. 同理，在Rt△ACD中，AD＝＝. 即＝. 解得：x≈67.4. 答：小山的高BD約為67.4 m. 8．解：如解圖，過點A作AG⊥CD，垂足為點G， 則∠CAG

23、＝30°，在Rt△ACG中， 第8題解圖 CG＝CA·sin 30°＝50×＝25. 由題意得GD＝50－30＝20， 則CD＝CG＋GD＝25＋20＝45. 連接FD并延長與BA的延長線交于點H. 由題意得∠H＝30°. ∵在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90， ∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290. 在Rt△EFH中， EF＝EH·tan 30°＝290×＝. ∴支撐角鋼CD的長度為45 cm，EF的長度為 cm. 9．解：(1)11.4　【解法提示】在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝64°，AC＝5 m， ∴

24、AB＝＝5÷0.44≈11.4 m； 第9題解圖 (2)如解圖，過點D作DH⊥地面于H，交水平線于點E， 在Rt△ADE中，∵AD＝20 m，∠DAE＝64°，EH＝1.5 m， ∴DE＝sin 64°×AD≈20×0.9≈18 m，即DH＝DE＋EH＝18＋1.5＝19.5 m， 答：如果該吊車吊臂的最大長度AD為20 m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5 m. 類型二 針對訓練 1．解：如解圖，過點A作AN⊥BD于點N， 第1題解圖 在Rt△DNE，tan 37°＝≈0.75＝， 設DN＝3x，則EN＝4x， 在Rt△DNA中，有DN＝3x，AN＝4

25、x－8， ∵tan42°＝＝≈0.90， 解得：x＝12， ∴DN＝3×12＝36，AN＝4×12－8＝40， 在Rt△BNA中，由題意知∠NAB＝32°， ∵tan 32°＝， ∴BN＝tan 32°AN≈24.8， ∴DB＝DN＋BN＝36＋24.8＝60.8，AC＝BN＝24.8， 答：甲樓的高為60.8 m，乙樓的高為24.8 m. 2．解：如解圖，過點C作CD⊥AB于點D， 在Rt△ADC和Rt△BCD中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640， ∴CD＝AC＝320，AD＝320， ∴BD＝CD＝320，BC＝320， ∴AC＋BC＝640

26、＋320≈1088， ∴AB＝AD＋BD＝320＋320≈864， ∴1088－864＝224(公里)， 答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里． 第2題解圖 3．解：如解圖，過D作DE⊥AB于點E，可得四邊形CHED為矩形， ∴HE＝CD＝40 m，設CH＝DE＝x m， 在Rt△BDE中，∠DBA＝60°， ∴BE＝＝x m，在Rt△ACH中，∠BAC＝30°， ∴AH＝＝x m， 由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，得x＋40＋x＝160， 解得：x＝30，即CH＝30 m， 答：該段運河的河寬為30 m. 第3題解圖 4．

27、解：如解圖，過點B作BD⊥AC于點D，則∠BAD＝60°，∠DBC＝90°－37°＝53°， 第4題解圖 設AD＝x，在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠BAD＝x， 在Rt△BCD中，CD＝BDtan∠DBC＝x×＝x， 由AC＝AD＋CD可得x＋x＝13，解得：x＝4－3， 則BC＝＝＝×(4－3)＝20－5， 即BC兩地的距離為(20－5)千米． 5．解：如解圖，過點B作BD⊥AC，垂足為D.設BD＝x. 第5題解圖 在Rt△ABD中， ∵∠BAD＝56°－26°＝30°， ∴AB＝＝2x，AD＝＝x. 在Rt△BCD中， ∵∠C＝26°＋19°＝45°

28、， ∴BC＝＝x，CD＝＝x. ∴AC＝x＋x. 由題意得AB＋BC－AC＝20， ∴2x＋x－(x＋x)＝20，解得x≈29.4. ∴AC≈2.73×29.4＝80.262≈80(千米)． ∴從A地直達C地的路程約為80千米． 6．解：如解圖，延長ED交BC延長線于點F，則∠CFD＝90°， 第6題解圖 ∵tan∠DCF＝i＝＝，∴∠DCF＝30°， ∵CD＝4， ∴DF＝CD＝2，CF＝CD·cos∠DCF＝4×＝2. ∴BF＝BC＋CF＝2＋2＝4. 過點E作EG⊥AB于G， 則GE＝BF＝4，BG＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5， 又∵∠AEG＝

29、37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan37°≈3. ∴AB＝AG＋BG＝(3＋3.5)米． 答：旗桿AB的高度約為(3＋3.5)米． 7．解：如解圖，過點B作BD⊥AC，垂足為D， 第7題解圖 根據題意，得∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝∠BCN＝50°， ∵在Rt△ABD中，cos∠ABD＝. ∴BD＝AB·cos 37°≈10×0.8＝8(海里)． ∵在Rt△CBD中，cos∠CBD＝， ∴BC＝≈＝12.5(海里)． ∴12.5÷30＝(小時)，×60＝25(分鐘)． ∴漁政船大約需25分鐘能到達漁船所在的C處． 8．解：(1)如解圖，過點P作

30、PD⊥AB于點D，設PD＝x， 由題意得知，∠PBD＝45°，∠PAD＝30°. 在Rt△BDP中，BD＝PD＝x， 在Rt△PDA中，AD＝＝PD＝x， ∵AB＝2 km，∴x＋x＝2， 解得x＝－1， ∴點P到海岸線l的距離為(－1) km. (2)如解圖，過點B作BF⊥CA于點F， 在Rt△ABF中， BF＝AB·sin30°＝2×＝1 km. 在△ABC中， ∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－30°－45°－45°－15°＝45°， ∴在Rt△BFC中， BC＝BF＝×1＝ km. ∴點C與點B之間的距離為 km. 第8題解圖 9．解：(1)如解圖，過點C作CP⊥AB于P， 第9題解圖 由題意可得：∠A＝30°，AC＝2 000米， 則CP＝AC＝1 000米； 答：這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離為1 000米． (2)∵在Rt△PBC中，PC＝1 000米，∠PBC＝∠BPP＝45°， ∴BC＝PC＝1 000米． ∵這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館需要的時間為＝10＜15. ∴他在15分鐘內能到達賓館． 22