2013專轉(zhuǎn)本高數(shù)定積分復(fù)習(xí)資料同方.doc
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2013專轉(zhuǎn)本高數(shù)定積分復(fù)習(xí)資料同方.doc
第四章 定積分
本章主要知識(shí)點(diǎn)
l 定積分計(jì)算
l 特殊類函數(shù)的定積分計(jì)算
l 變限積分
l 定積分有關(guān)的證明題
l 廣義積分?jǐn)可⑿?
l 定積分應(yīng)用
(1)面積
(2)旋轉(zhuǎn)體體積
一、定積分計(jì)算
定積分計(jì)算主要依據(jù)牛頓—萊伯尼茲公式:設(shè),則
。
其主要計(jì)算方法與不定積分的計(jì)算方法是類似的,也有三個(gè)主要方法,但需要指出的是對(duì)于第Ⅱ類直接交換法,注意積分限的變化:
。
例4.1.
解:原式==
例4.2.
解:原式==
例4.3.
解:原式==
==
二、特殊類函數(shù)的定積分計(jì)算
1.含絕對(duì)值函數(shù)
利用函數(shù)的可拆分性質(zhì),插入使絕對(duì)值為0的點(diǎn),去掉絕對(duì)值,直接積分即可。
例4.4.
解:原式=
例4.5.
解:原式=
=
==
==10
2.分段函數(shù)積分
例4.6.,求
解:原式===
==
例4.7.,求
解:原式
3.奇函數(shù)積分
如果 為定義在的奇函數(shù),則,這是一個(gè)很重要考點(diǎn)。
例4.8.
例4.9.
解:原式
例4.10.
解:原式
例4.11.為[-a,a]上的連續(xù)函數(shù),計(jì)算
解:為奇函數(shù),原式=0
4.關(guān)于三角函數(shù)積分
對(duì)積分成立:
;
這個(gè)結(jié)論應(yīng)牢記,對(duì)于某些三角函數(shù)積分可以做到快捷。
例4.12.
解:原式
例4.13.
解:原式.
5.一些特殊的含有特定技巧的積分
例4.14.
解:令,
原式=I=,
,則I=。
例4.15.
解:令
原式=I=
=,解得I=。
例4.16.
解:令,
原式=I=-
=,
I=
三、變限積分
變上限積分是函數(shù)的另一種重要形式。求導(dǎo)公式(其中)是一個(gè)非常重要的公式,它提供了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究它的工具.更一般的結(jié)論是:
例4.17.
解:原式
例4.18.
解:原式
例4.19.已知,研究的單調(diào)性,凹凸性.
解:
由得
拐點(diǎn)
拐點(diǎn)
拐點(diǎn)
例4.20.若,其中是已知一階可導(dǎo)函數(shù),求,
解:
,
例4.21. 已知函數(shù)連續(xù)。且。設(shè),求,并討論的連續(xù)性。
解:.當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),
由,故,
當(dāng),,
,
,
所以,點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)。
四、有關(guān)定積分的證明題
有關(guān)定積分的證明題,主要的方法有:(1)線性交換,如
(2)變上限求導(dǎo)公式 (3)恒等變形 。
例4.22.如果為上的奇函數(shù),證明。
證明:
例4.23.證明: ,其中為已知可積函數(shù)。
證明:左邊
例4.24.已知是以為周期的連續(xù)函數(shù),那么對(duì)任何實(shí)數(shù)成立
證明:
由于
所以
例4.25.證明:,為任一非零可積函數(shù)。
證明:
,
所以。
例4.26.證明:
證明:當(dāng)時(shí),成立,所以,
所以,成立
例4.27.證明:
證明:
兩邊同時(shí)取,所以原命題成立。
五、廣義積分的斂散性
定義:存在有限
基本結(jié)論: (其中)
復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)著重掌握通過(guò)直接計(jì)算來(lái)研究廣義積分的斂散性。
例4.28.研究的斂散性
解:
所以,是收斂的。
例4.29.求
解:左邊, 。
例4.30.當(dāng)為何值時(shí),廣義積分收斂?當(dāng)為何值時(shí),這個(gè)廣義積分發(fā)散?又當(dāng)為何值時(shí),廣義積分取得最小值?
解:當(dāng)時(shí),有
當(dāng),發(fā)散,
即,當(dāng)時(shí),廣義積分收斂;時(shí),廣義積分發(fā)散。
設(shè),則
令,得駐點(diǎn):。
但當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
從而,當(dāng)時(shí),廣義積分取極小值,也就是最小值。
注:類似可研究無(wú)界函數(shù)積分,即瑕積分。假設(shè)為的瑕點(diǎn),
存在有限。
例5.26.
解:原式=,
所以原式發(fā)散。
例4.27.
解:原式=
=
六、定積分應(yīng)用
1.面積
圖示4.1
如圖所示。
求面積首要問題是畫出草圖,圖形的上下位置,交點(diǎn)一定要做得準(zhǔn)確。通常曲線,例直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)、對(duì)數(shù)、的圖像要畫得熟練、準(zhǔn)確。
例4.28.與直線所圍圖形面積。
解:由,解得
。
圖示4.2
e
例4.29.軸所圍圖形面積。
解:
圖示4.3
例4.30.所圍圖形面積。
解:
y
圖示4.4
==
例4.31.求由過(guò)拋物線y=上點(diǎn)的切線與拋物線本身及軸所圍圖形的面積。
解:切線的方程:,
,
圖示4.5
==。
例4.32.過(guò)作拋物線兩切線,求兩切線與拋物線本身所圍圖形的面積.。
解;設(shè)切點(diǎn)為,
,切線方程為,
又切點(diǎn)位于其上,,
切線方程為;
圖示4.6
2.旋轉(zhuǎn)體體積
繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積(圖4.7)
圖示4.7
繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積(圖4.7)
繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積(圖4.8)
繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積(圖4.8)
圖示4.8
例4.33.與所圍部分,
(1)繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積;
(2)繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積。
解:①
②
圖示4.9
例4.34.拋物線
(1) 拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于軸?寫出切線方程?
(2) 求由拋物線與其水平切線及軸所圍平面圖形的面積。
(3) 求該平面圖繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。
解:(1),得
切點(diǎn)為,切線方程為
(2)
4
(3)
圖示4.10
例4.35.計(jì)算由和軸所圍成的平面圖形繞軸,軸分別旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。
解:(1)
(2)
3.應(yīng)用綜合
例4.36.由直線及拋物線圍成一個(gè)曲邊三角形,在曲邊上求一點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線的圍成的三角形面積最大。
解:如圖,設(shè)所求切點(diǎn)為P()切線PT交軸于A,交直線于,
切線PT的方程為又P點(diǎn)在上,因此,,
令得,A點(diǎn)坐標(biāo)為A(,
令得,
B點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,16),
于是三角形ABC的面積為
令,
得:,
因?yàn)椋?為最小值,
故為所有三角形中面積之最小值。
圖示4.11
單元練習(xí)4
1.設(shè),則 。
2. 。
3. 。
4. 。
5. 。
6.設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則曲線與直線所圍成的封閉的圖形的面積為(?。?
(A) (B) (C) (D)不能確定
7.下列命題正確的有( )
(A) (B)
(C) (D)
8.(?。?
(A) (B) (C) (D).
9.下列關(guān)系中正確的有( )
(A) (B)
(C) (D) 以上都不正確
10.在滿足條件( )時(shí)收斂
(A) (B) (C) (D)
11.求下列極限
① ?、?
③ ?、?
12.計(jì)算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) ,求
(11),表示對(duì)取整
(12) (13)
(14) (15)
(16) (17)
(18) (19)
(20)(為常數(shù)) (21)
(22)
(23),求
(24)
13.設(shè)其中為連續(xù)函數(shù),試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。
14.求的極值與拐點(diǎn)。
15.設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù),且。設(shè),,
(1)證明是單調(diào)遞增函數(shù)。
(2)當(dāng)為何值時(shí),取最小值。
16.求在上的最大值。
17.已知拋物線,求
(1)拋物線在點(diǎn)處的法線方程。
(2)拋物線的部分及其在處的法線和軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。
18.將拋物線的橫坐標(biāo)與之間弧段與直線 (為點(diǎn),垂直于橫軸,在拋物線上)及軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn),問為何值時(shí),旋轉(zhuǎn)體體積等于以三角形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的錐體的面積。
19.求,,,所圍面積。
20.所圍圖形面積。
21.設(shè)有曲線過(guò)原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。
22.若的力能使彈簧伸長(zhǎng),現(xiàn)要使彈簧伸長(zhǎng),問需要多大的功?
23.設(shè)一半球形水池直徑為,水面離開地面深,現(xiàn)將水池內(nèi)的水抽盡,至少要作多少功?
歷年真考題
1.(2001) 定積分( )
A. 0 B. 2 C. -1 D. 1
2. (2001)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則 。
3. (2001),求常數(shù)。
4. (2001)計(jì)算
5. (2001)過(guò)作拋物線的切線,求(1)切線方程;(2)由拋物線、切線、以及軸所圍平面圖形的面積;(3)該平面分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。
6. (2002),則的范圍是( )
A. B. C. D.
7. (2002) 若廣義積分收斂,則應(yīng)滿足( )
A. B. C. D.
8. (2002) 。
9.(2002)設(shè),求。
10.(2002)求極限
11.(2002)從原點(diǎn)作拋物線的兩條切線,由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為S。求(1)S的面積;(2)圖形S繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積。
12.(2003) 。
13.(2003)
14.(2003)拋物線
(1)拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于軸?寫出切線方程。
(2)求拋物線與水平切線及軸所圍平面圖形的面積。
(3)求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。
15.(2004)設(shè)圓周所圍成的面積為S,則的值為()
A. S B. C. D. 2S
16.(2004)求極限
17.(2004)計(jì)算廣義積分
18.(2004)證明:,并利用此等式求
19.(2005)
20.(2005)計(jì)算
21.(2005)已知曲邊三角形由拋物線及直線所圍成,求
(1)曲邊三角形的面積;
(2)該曲邊三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。
本章測(cè)試題
1. ,則。
2. 。
3.下列廣義積分收斂的是( )
A. B. C. D.
4.收斂,則有( )
A. B. C. D.
5.。 則( )
A.-2 B.-1 C. 1 D. 2
6. ,且是不等于的常數(shù),求證:。
7. ,求
8.
9.
10. 求在上的最大值和最小值。
11.
12. 設(shè),求
13. ,求
14. 設(shè)曲線
(1)求過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程,
(2)求此切線與曲線及直線所圍成的平面圖形面積。
15. 曲線與直線圍成一個(gè)平面圖形
(1)求此圖形繞軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。
(2)求此圖形繞軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。
16. 求曲線和它的右極值點(diǎn)處的切線所圍區(qū)域面積
17. 設(shè)在上連續(xù),且。
證明:在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。
18. 證明:
19. 設(shè)連續(xù)函數(shù)在上單調(diào)增加,又,,
試證:在內(nèi)非負(fù)。
20.在曲線上點(diǎn)處作切線,
(1)求由曲線切線、曲線本身及軸所圍的面積。
(2)求上述所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得體積。
21. ,討論在處連續(xù)性和可導(dǎo)性。
22. 設(shè)在上可導(dǎo),且,證明在內(nèi)至少存在一個(gè),使。
單元練習(xí)題4答案
1、 2、0 3、 4、1 5、
6、B 7、C 8、D 9、B 10、C
11、解:(1)原式=
(2)
==1
(3)=
(4)
12、解:(1)原式
(2)原式===
(3)原式=
=
(4)原式==
記,
==
所以,
所以,原式=
(5)原式
(6)原式==
=
(7)原式
(8)原式
(9)原式
(10)原式
(11)原式
(12)原式
(13)原式
(14)原式令
原式
(15)原式
(16)原式
(17)原式
(18)原式
(19)原式
(20)當(dāng)時(shí),原式
當(dāng)時(shí),原式
當(dāng)時(shí),原式=。
(21) 原式
(22) 原式
(23) 原式=
(24) 原式=
13、解:
在處可導(dǎo),且。
14、解:
由,得:
極小值
拐點(diǎn)
拐點(diǎn)
極小值
15、解
(1)
故單調(diào)遞減函數(shù)
(2),由偶函數(shù)性質(zhì)知,又由的嚴(yán)格單調(diào)性知,為唯一解,知其為最小值,
16、解:,所以在上的最大值為
=
17、解:
(1)
法線方程為,
即
(2)
圖示4.12
18.解:
圖示4.13
得到:
19.解:
圖示4.14
=
==
20.解:
=
==
圖示4.15
21.解:設(shè)切點(diǎn)為,
切線斜率,切線方程為:,
2
切點(diǎn)在切線上,故,
切線方程為:
圖示4.16
=
22.解:彈簧伸長(zhǎng),需力大小為,
W=焦耳
圖示4.17
23.建立如圖坐標(biāo)系
(焦耳)
本章測(cè)試答案
1. 2. ,
3.A 4.D 5.D
6.設(shè),則=,兩邊在上作定積分得到
A==,
7.
8.原式==
9.原式=
=
10.,當(dāng)時(shí),
11.原式==
==
12.原式=
13.令,則
原式=
,即
,,即
14.解:(1),,
切線方程為
(2),,故
15.解:
圖示4.18
(1)
(2)
16.,,
右極值點(diǎn)為,
右極值點(diǎn)切線為軸,
當(dāng)時(shí),解得:
圖示4.19
,
得到,于是
17.,,又在上連續(xù)且,
則,,又因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù),故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,在使得,即在上有零點(diǎn),又,即是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),故在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。
18.左右
19.證明:
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)增加,故
所以,故,證畢。
20.(1) , 或
(2)
21.
,即在處連續(xù)。
處可導(dǎo)且
22.證明:令則在[0,1]上可導(dǎo),
又,
即,故在區(qū)間上,滿足羅氏定理?xiàng)l件
故存在,使得
即。