2013專(zhuān)轉(zhuǎn)本高數(shù)定積分復(fù)習(xí)資料同方.doc

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第四章 定積分 本章主要知識(shí)點(diǎn) l 定積分計(jì)算 l 特殊類(lèi)函數(shù)的定積分計(jì)算 l 變限積分 l 定積分有關(guān)的證明題 l 廣義積分?jǐn)可⑿? l 定積分應(yīng)用 （1）面積 （2）旋轉(zhuǎn)體體積 一、定積分計(jì)算 定積分計(jì)算主要依據(jù)牛頓—萊伯尼茲公式：設(shè)，則 。 其主要計(jì)算方法與不定積分的計(jì)算方法是類(lèi)似的，也有三個(gè)主要方法，但需要指出的是對(duì)于第Ⅱ類(lèi)直接交換法，注意積分限的變化： 。 例4.1． 解：原式== 例4.2． 解：原式== 例4.3． 解：原式== == 二、特殊類(lèi)函數(shù)的定積分計(jì)算 1．含絕對(duì)值函數(shù) 利用函數(shù)的可拆分性質(zhì)，插入使絕對(duì)值為0的點(diǎn)，去掉絕對(duì)值，直接積分即可。 例4.4． 解：原式= 例4.5． 解：原式= = == ==10 2．分段函數(shù)積分 例4.6．，求 解：原式=== == 例4.7．，求 解：原式 3．奇函數(shù)積分 如果 為定義在的奇函數(shù)，則，這是一個(gè)很重要考點(diǎn)。 例4.8． 例4.9． 解：原式 例4.10． 解：原式 例4.11．為[-a,a]上的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算 解：為奇函數(shù)，原式＝0 4．關(guān)于三角函數(shù)積分 對(duì)積分成立： ； 這個(gè)結(jié)論應(yīng)牢記，對(duì)于某些三角函數(shù)積分可以做到快捷。 例4.12． 解：原式 例4.13． 解：原式. 5．一些特殊的含有特定技巧的積分 例4.14. 解：令， 原式＝I＝， ，則I＝。 例4.15． 解：令 原式＝I＝ ＝，解得I＝。 例4.16． 解：令， 原式＝I＝－ ＝， I＝ 三、變限積分 變上限積分是函數(shù)的另一種重要形式。求導(dǎo)公式（其中）是一個(gè)非常重要的公式，它提供了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究它的工具．更一般的結(jié)論是： 例4.17． 解：原式 例4.18． 解：原式 例4.19．已知，研究的單調(diào)性，凹凸性． 解： 由得 拐點(diǎn) 拐點(diǎn) 拐點(diǎn) 例4.20．若，其中是已知一階可導(dǎo)函數(shù)，求， 解： ， 例4.21. 已知函數(shù)連續(xù)。且。設(shè)，求，并討論的連續(xù)性。 解：．當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 由，故， 當(dāng)，, , , 所以，點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)。 四、有關(guān)定積分的證明題 有關(guān)定積分的證明題，主要的方法有：（1）線性交換，如 （2）變上限求導(dǎo)公式 （3）恒等變形 。 例4.22．如果為上的奇函數(shù)，證明。 證明： 例4.23．證明： ，其中為已知可積函數(shù)。 證明：左邊 例4.24．已知是以為周期的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)任何實(shí)數(shù)成立 證明： 由于 所以 例4.25．證明：，為任一非零可積函數(shù)。 證明： ， 所以。 例4.26．證明： 證明：當(dāng)時(shí)，成立，所以， 所以，成立 例4.27．證明： 證明： 兩邊同時(shí)取，所以原命題成立。 五、廣義積分的斂散性 定義：存在有限 基本結(jié)論： （其中） 復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)著重掌握通過(guò)直接計(jì)算來(lái)研究廣義積分的斂散性。 例4.28．研究的斂散性 解： 所以，是收斂的。 例4.29．求 解：左邊， 。 例4.30．當(dāng)為何值時(shí)，廣義積分收斂？當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)廣義積分發(fā)散？又當(dāng)為何值時(shí)，廣義積分取得最小值？ 解：當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)，發(fā)散， 即，當(dāng)時(shí)，廣義積分收斂；時(shí)，廣義積分發(fā)散。 設(shè)，則 令，得駐點(diǎn)：。 但當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 從而，當(dāng)時(shí)，廣義積分取極小值，也就是最小值。 注：類(lèi)似可研究無(wú)界函數(shù)積分，即瑕積分。假設(shè)為的瑕點(diǎn)， 存在有限。 例5.26． 解：原式＝， 所以原式發(fā)散。 例4.27． 解：原式＝ ＝ 六、定積分應(yīng)用 1．面積 圖示4.1 如圖所示。 求面積首要問(wèn)題是畫(huà)出草圖，圖形的上下位置，交點(diǎn)一定要做得準(zhǔn)確。通常曲線，例直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)、對(duì)數(shù)、的圖像要畫(huà)得熟練、準(zhǔn)確。 例4.28．與直線所圍圖形面積。 解：由，解得 。 圖示4.2 e 例4.29．軸所圍圖形面積。 解： 圖示4.3 例4.30．所圍圖形面積。 解： y 圖示4.4 == 例4.31．求由過(guò)拋物線y=上點(diǎn)的切線與拋物線本身及軸所圍圖形的面積。 解：切線的方程：， ， 圖示4.5 ==。 例4.32．過(guò)作拋物線兩切線，求兩切線與拋物線本身所圍圖形的面積.。 解；設(shè)切點(diǎn)為， ，切線方程為， 又切點(diǎn)位于其上，， 切線方程為； 圖示4.6 2．旋轉(zhuǎn)體體積 繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.7） 圖示4.7 繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.7） 繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.8） 繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.8） 圖示4.8 例4.33．與所圍部分， （1）繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積； （2）繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積。 解：① ② 圖示4.9 例4.34．拋物線 （1） 拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于軸？寫(xiě)出切線方程？ （2） 求由拋物線與其水平切線及軸所圍平面圖形的面積。 （3） 求該平面圖繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 解：（1），得 切點(diǎn)為，切線方程為 （2） 4 （3） 圖示4.10 例4.35．計(jì)算由和軸所圍成的平面圖形繞軸，軸分別旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。 解：（1） （2） 3．應(yīng)用綜合 例4.36．由直線及拋物線圍成一個(gè)曲邊三角形，在曲邊上求一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線的圍成的三角形面積最大。 解：如圖，設(shè)所求切點(diǎn)為P（）切線PT交軸于A,交直線于， 切線PT的方程為又P點(diǎn)在上，因此，， 令得，A點(diǎn)坐標(biāo)為A(, 令得， B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，16）， 于是三角形ABC的面積為 令, 得：, 因?yàn)?，所?為最小值， 故為所有三角形中面積之最小值。 圖示4.11 單元練習(xí)4 1．設(shè)，則　　　　　　　　　。 2．　　　　　　　　　。 3．　　　　　　　　　。 4．　　　　　　　　　。 5．　　　　　　　　　。 6．設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則曲線與直線所圍成的封閉的圖形的面積為（　） （A） (B) (C) (D)不能確定 7．下列命題正確的有（ ） （A） （B） (C) (D) 8．（?。? (A) (B) (C) (D). 9．下列關(guān)系中正確的有（?。? (A) (B) (C) (D) 以上都不正確 10．在滿(mǎn)足條件（ ）時(shí)收斂 （A） 　(B)　 　　(C)　 　　(D)　 11．求下列極限 ①　　　　　?、? ③　　　 　?、? 12．計(jì)算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 　，求 （11），表示對(duì)取整 （12） （13） （14） （15）　 （16） （17） （18）　 （19）　 （20）（為常數(shù)） （21） （22） （23），求 （24） 13．設(shè)其中為連續(xù)函數(shù)，試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 14．求的極值與拐點(diǎn)。 15．設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù)，且。設(shè)，， （1）證明是單調(diào)遞增函數(shù)。 （2）當(dāng)為何值時(shí),取最小值。 16．求在上的最大值。 17．已知拋物線,求 （1）拋物線在點(diǎn)處的法線方程。 （2）拋物線的部分及其在處的法線和軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。 18．將拋物線的橫坐標(biāo)與之間弧段與直線 (為點(diǎn),垂直于橫軸，在拋物線上)及軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)為何值時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積等于以三角形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的錐體的面積。 19．求，，，所圍面積。 20．所圍圖形面積。 21．設(shè)有曲線過(guò)原點(diǎn)作其切線，求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。 22．若的力能使彈簧伸長(zhǎng)，現(xiàn)要使彈簧伸長(zhǎng),問(wèn)需要多大的功？ 23．設(shè)一半球形水池直徑為，水面離開(kāi)地面深，現(xiàn)將水池內(nèi)的水抽盡，至少要作多少功？ 歷年真考題 1.（2001） 定積分（ ） A. 0 B. 2 C. －1 D. 1 2. （2001）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則 。 3. （2001）,求常數(shù)。 4. （2001）計(jì)算 5. （2001）過(guò)作拋物線的切線，求（1）切線方程；（2）由拋物線、切線、以及軸所圍平面圖形的面積；（3）該平面分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。 6. （2002），則的范圍是（ ） A. B. C. D. 7. （2002） 若廣義積分收斂，則應(yīng)滿(mǎn)足（ ） A. B. C. D. 8. （2002） 。 9.（2002）設(shè)，求。 10.（2002）求極限 11.（2002）從原點(diǎn)作拋物線的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為S。求（1）S的面積；（2）圖形S繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積。 12．（2003） 。 13.（2003） 14.（2003）拋物線 （1）拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于軸？寫(xiě)出切線方程。 （2）求拋物線與水平切線及軸所圍平面圖形的面積。 （3）求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 15.（2004）設(shè)圓周所圍成的面積為S,則的值為（） A. S B. C. D. 2S 16.（2004）求極限 17.（2004）計(jì)算廣義積分 18.（2004）證明：，并利用此等式求 19.（2005） 20.（2005）計(jì)算 21.（2005）已知曲邊三角形由拋物線及直線所圍成，求 （1）曲邊三角形的面積； （2）該曲邊三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。 本章測(cè)試題 1． ，則。 2. 。 3．下列廣義積分收斂的是（ ） A． B． C． D． 4．收斂，則有（ ） A． B． C． D． 5．。 則（ ） A．-2 B．-1 C． 1 D． 2 6. ，且是不等于的常數(shù)，求證：。 7. ，求 8. 9. 10. 求在上的最大值和最小值。 11. 12. 設(shè)，求 13. ，求 14. 設(shè)曲線 （1）求過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程， （2）求此切線與曲線及直線所圍成的平面圖形面積。 15. 曲線與直線圍成一個(gè)平面圖形 （1）求此圖形繞軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 （2）求此圖形繞軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 16. 求曲線和它的右極值點(diǎn)處的切線所圍區(qū)域面積 17. 設(shè)在上連續(xù)，且。 證明：在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。 18. 證明： 19. 設(shè)連續(xù)函數(shù)在上單調(diào)增加，又，， 試證：在內(nèi)非負(fù)。 20．在曲線上點(diǎn)處作切線, （1）求由曲線切線、曲線本身及軸所圍的面積。 （2）求上述所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得體積。 21. ，討論在處連續(xù)性和可導(dǎo)性。 22． 設(shè)在上可導(dǎo)，且,證明在內(nèi)至少存在一個(gè)，使。 單元練習(xí)題4答案 1、　　 2、0　　3、　　4、1　　5、　　 6、B　　　7、C　　8、D　　 9、B　　10、C　 11、解：(1)原式= (2) ==1 （3）= （4） 12、解：（1）原式 （2）原式=== （3）原式= = （4）原式== 記， == 所以， 所以，原式= （5）原式 （6）原式== = （7）原式 （8）原式 （9）原式 （10）原式 （11）原式 （12）原式 （13）原式 （14）原式令 原式 （15）原式 （16）原式 （17）原式 （18）原式 （19）原式 （20）當(dāng)時(shí)，原式 當(dāng)時(shí)，原式 當(dāng)時(shí)，原式=。 (21) 原式 (22) 原式 (23) 原式= (24) 原式= 13、解： 在處可導(dǎo)，且。 14、解： 由，得： 極小值 拐點(diǎn) 拐點(diǎn) 極小值 15、解 （1） 　 　　　故單調(diào)遞減函數(shù) （2），由偶函數(shù)性質(zhì)知，又由的嚴(yán)格單調(diào)性知，為唯一解，知其為最小值， 16、解：，所以在上的最大值為 = 17、解： （1） 法線方程為， 即 （２） 圖示4.12 18．解： 圖示4.13 得到： 19．解： 圖示4.14 = == 20．解： = == 圖示4.15 21．解：設(shè)切點(diǎn)為， 切線斜率，切線方程為：， 2 切點(diǎn)在切線上，故， 切線方程為： 圖示4.16 = 22．解：彈簧伸長(zhǎng),需力大小為， W=焦耳 圖示4.17 23．建立如圖坐標(biāo)系 (焦耳) 本章測(cè)試答案 1. 2. , 3．Ａ　4.Ｄ　5.Ｄ 6．設(shè)，則=，兩邊在上作定積分得到 A==， 7． 8．原式== 9．原式= = 10．，當(dāng)時(shí)， 11．原式== == 12．原式= 13．令，則 原式= ，即 ，，即 14．解：（1），， 切線方程為 （2），，故 15．解： 圖示4.18 （1） (2) 16．，， 右極值點(diǎn)為， 右極值點(diǎn)切線為軸， 當(dāng)時(shí)，解得： 圖示4.19 ， 得到，于是 17．，，又在上連續(xù)且， 則，，又因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在使得，即在上有零點(diǎn)，又，即是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，故在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。 18．左右 19．證明： 因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)增加，故 所以，故，證畢。 20．(1) ， 或 (2) 21． ，即在處連續(xù)。 處可導(dǎo)且 22．證明：令則在[0,1]上可導(dǎo)， 又， 即，故在區(qū)間上，滿(mǎn)足羅氏定理?xiàng)l件 故存在，使得 即。