（課標通用）安徽省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習 第一篇 知識 方法 固基 第四單元 圖形初步與三角形 考點強化練18 相似三角形試題

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1、考點強化練18　相似三角形 夯實基礎(chǔ) 1.(2018·廣東)在△ABC中,點D、E分別為邊AB、AC的中點,則△ADE與△ABC的面積之比為(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.13 C.14 D.16 答案C 解析相似三角形面積比等于相似比的平方,由中位線性質(zhì)知相似比為1∶2,所以△ADE與△ABC的面積之比為14. 2. (2018·浙江義烏)學(xué)校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為(　　) A.0.2 m

2、 B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m 答案C 解析∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABO=∠CDO=90°,∠AOB=∠COD(對頂角相等), ∴△AOB∽△COD, ∴AOAB=COCD,41.6=1CD, ∴CD=0.4m,故選C. 3. (2017·四川攀枝花)如圖,D是等邊△ABC邊AB上的點,AD=2,BD=4.現(xiàn)將△ABC折疊,使得點C與點D重合,折痕為EF,且點E,F分別在邊AC和BC上,則CFCE=　　　　　.? 答案54 解析由題易知∠A=∠B=∠EDF=60°, ∴∠AED=∠FDB. ∴△AED∽△BDF,∴EDDF=AE+ED+A

3、DDF+BF+DB. 由翻折易知EC=ED,FC=FD, ∴CFEC=BC+BDAC+AD.∴CFEC=54. 4. (2018·四川巴中)如圖,已知在△ABC中,BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,則△ABC的面積為　　　　　.? 答案60 解析先推導(dǎo)出△ABE是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=BE, 利用同角的余角相等求出∠1=∠2,然后利用“角邊角”證明△AFE和△BCE全等; 求出BC的長為6+4=10,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=BC=10,然后求出△ACD和△BFD相似,設(shè)DF=x.

4、∵△ADC∽△BDF, ∴ADDC=BDDF,∴10+x4=6x. 整理得x2+10x-24=0,解得x=2或-12(舍棄), ∴AD=AF+DF=12, ∴S△ABC=12·BC·AD=12×10×12=60. 5. (2018·江蘇常州)如圖,在△ABC紙板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一點,過點P沿直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板,如果有4種不同的剪法,那么AP長的取值范圍是　　　　　.? 答案3≤AP<4 解析如圖(1),當P在AC上運動時,都有PE∥BC,PG∥AB,∠APD=∠B,有三種相似,即△CPG∽△CAB,△APE∽△ABC,△AP

5、D∽△ABC, 圖(1) 當∠CPF=∠B時,點F如果與B重合如圖(2), 則△CBP∽△CAB,∴CBAC=CPCB,求得CP=1, ∴PA=3, 圖(2) 所以AP的取值范圍是3≤AP<4. 6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5 m,斜邊AC長為2.5 m,面積為1.5 m2,工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面,請甲、乙兩位同學(xué)進行設(shè)計加工方案,甲設(shè)計方案如圖1,乙設(shè)計方案如圖2.你認為哪位同學(xué)設(shè)計的方案較好?試說明理由.(加工損耗忽略不計,計算結(jié)果中可保留分數(shù)) 解甲同學(xué)設(shè)計的方案較好,理由如下: 由AB=1.5m,S△ABC=

6、1.5m2,可得BC=2m. 圖1中,甲設(shè)計的正方形桌面邊長為xm, 由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA. 所以DEAB=CDBC,即x1.5=2-x2. 所以3-1.5x=2x.解得x=67. 圖2中,乙設(shè)計的桌面的邊長為ym, 由AC·BH=AB·BC,得BH=1.2m. 因為DE∥AC,所以Rt△BDE∽Rt△BAC. 所以BPBH=DEAC.即1.2-y1.2=y2.5.解得y=3037. 因為67=3035>3037,所以x2>y2. 所以甲同學(xué)設(shè)計的方案較好. 7.(2018·山東萊蕪)已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分別是AB、A

7、C的中點,將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α(0°<α<90°)得到△AD'E',連接BD'、CE',如圖1. (1)求證:BD'=CE'. (2)如圖2,當α=60°時,設(shè)AB與D'E'交于點F,求BFFA的值. (1)證明∵AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點, ∴AD=BD=AE=EC. 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠DAD'=∠EAE'=α,AD'=AD,AE'=AE.∴AD'=AE', ∴△BD'A≌△CE'A,∴BD'=CE'. (2)解連接DD'. ∵∠DAD'=60°,AD=AD', ∴△ADD'是等邊三角形. ∴∠ADD'=∠AD'D=60°,D

8、D'=DA=DB. ∴∠DBD'=∠DD'B=30°,∴∠BD'A=90°. ∵∠D'AE'=90°,∴∠BAE'=30°, ∴∠BAE'=∠ABD'. ∵∠BFD'=∠AFE',∴△BFD'∽△AFE', ∴BFAF=BD'AE'=BD'AD'. ∵在Rt△ABD'中,tan∠BAD'=BD'AD'=3, ∴BFAF=3. 8.(2016·浙江寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中有一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線. (1

9、)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線; (2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù); (3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長. 解(1)證明:∵∠A=40°,∠B=60°, ∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°, ∴∠BCD=∠A=40°, 又∠A=40°,∴∠A=∠ACD, ∴AD=C

10、D,△ACD為等腰三角形, 又∵∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC. ∴CD是△ABC的完美分割線. (2)當AD=CD時(如圖①), ∠ACD=∠A=48°. ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. 當AD=AC時(如圖②), ∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°. ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. 當AC=CD時,∠ADC=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, 這與∠ADC>∠BCD矛盾,舍去. 綜上

11、所述,∠ACB=96°或114°. (3)由已知得AC=AD=2. ∵△BCD∽△BAC, ∴BCBA=BDBC,設(shè)BD=x, 則(2)2=x·(x+2),解得x=-1±3, ∵x>0,∴x=3-1. ∵△BCD∽△BAC,∴CDAC=BDBC=3-12, ∴CD=3-12×2=2(3-1)=6-2.?導(dǎo)學(xué)號16734121? 提升能力 9. (2018·內(nèi)蒙古包頭)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一個動點(不與點A、B重合),連接CD,將CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接DE,DE與AC相交于點F,連接AE.下列結(jié)論: ①△A

12、CE≌△BCD; ②若∠BCD=25°,則∠AED=65°; ③DE2=2CF·CA; ④若AB=32,AD=2BD,則AF=53. 其中正確的結(jié)論是　　　　　.(填寫所有正確結(jié)論的序號)? 答案①②③ 解析①由題意易得∠BCD=∠ACE,由“邊角邊”證明△ACE≌△BCD,故①正確; ②∵△ACE≌△BCD, ∴∠CAE=∠CBD=45°. ∵∠BCD=25°,∴∠ACE=∠BCD=25°. ∴∠AED=∠AEC-∠CED=(180°-25°-45°)-45°=65°,故②正確; ③∵∠CAE=∠CED=45°,∠ACE=∠FCE, ∴△ACE∽△ECF,∴ACEC=

13、ECFC, 即EC2=AC·FC. 在Rt△DCE中,DE2=2CE2=2FC·AC, ∴DE2=2CF·CA,故③正確; ④作DM⊥BC于點M,∴DM=BM=1. ∴CM=3-1=2,∴DC=CE=5. 由③可知DE2=2CF·CA, ∴(2CE)2=2×3×FC. ∴FC=106=53. ∴AF=3-53=43,故④錯誤. 10.(2018·海南)已知,如圖1,在?ABCD中,點E是AB中點,連接DE并延長,交CB的延長線于點F. 圖1 圖2 (1)求證:△ADE≌△BFE; (2)如圖2,點G是邊BC上任意一點(點G不與點B,C重合),連接AG

14、交DF于點H,連接HC,過點A作AK∥HC,交DF于點K. ①求證:HC=2AK; ②當點G是邊BC中點時,恰有HD=n·HK(n為正整數(shù)),求n的值. 解(1)證明:在?ABCD中,有AD∥BC, ∴∠ADE=∠F. ∵點E是AB中點,∴AE=BE. ∵∠AED=∠BEF,∴△ADE≌△BFE. (2)①在?ABCD中,有AB∥CD,AB=CD. ∴∠AEK=∠CDH,∵AK∥HC, ∴∠AKE=∠CHD,∴△AEK∽△CDH. ∴AECD=AKCH. ∵E是邊AB的中點,∴2AE=AB=CD, ∴HC=2AK. ②當點G是邊BC中點時, 在?ABCD中,有AD∥

15、BC,AD=BC, ∴△AHD∽△GHF, ∴ADGF=HDHF. 由(1)得,△ADE≌△BFE,∴AD=BF. ∵G是BC中點,∴2BG=AD=BF, ∴ADGF=23=DHHF,∴DH=23HF. ∵AD∥FC,∴∠ADK=∠F.∵AK∥HC, ∴∠AKH=∠CHK,∴∠AKD=∠CHF. ∴△AKD∽△CHF. ∴ADCF=KDHF=12,∴KD=12HF,HK=HD-KD=16HF,∴HDHK=4,∴n=4. 11.(2017·遼寧大連)如圖1,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+∠ADB=∠AC

16、B. (1)填空:∠BAD與∠ACB的數(shù)量關(guān)系為　;? (2)求mn的值; (3)將△ACD沿CD翻折,得到△A'CD(如圖2),連接BA',與CD相交于點P.若CD=5+12,求PC的長. 解(1)∠BAD+∠ACB=180° (2)如圖,作DE∥AB,交AC于點E, 則∠DEA=∠BAE, ∠OBA=∠ODE, 又∵OB=OD, ∴△OAB≌△OED(AAS). ∴AB=DE,OA=OE. 設(shè)AB=DE=CE=x,OA=OE=y, ∵∠EDA+∠DAB=180°, ∴∠EDA=∠ACB. ∵∠DEA=∠EAB,∴△EAD∽△ABC. ∴EDAC=AEA

17、B=DACB=mn, 即xx+2y=2yx,4y2+2xy-x2=0. ∴2yx2+2yx-1=0,解得2yx=-1+52. ∴mn=5-12. (3)∵DE=CE,∠DCA=∠DCA', ∴DE∥CA'. ∵AB∥DE,∴AB∥CA'. ∴∠ABC+∠A'CB=180°. ∵△EAD∽△ACB, ∴∠DAE=∠BCA=∠DA'E. ∴∠DA'E+∠BCA'=180°,∴A'D∥BC. ∴△PA'D∽△PBC,∴PC=nm+nCD=1.?導(dǎo)學(xué)號16734122? 創(chuàng)新拓展 12.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,∠BAC=60°,動點M

18、從點B出發(fā),在BA邊上以每秒2 cm的速度向點A勻速運動,同時動點N從點C出發(fā),在CB邊上以每秒3 cm的速度向點B勻速運動,設(shè)運動時間為t秒(0≤t≤5),連接MN. (1)若BM=BN,求t的值; (2)若△MBN與△ABC相似,求t的值; (3)當t為何值時,四邊形ACNM的面積最小?并求出最小值. 解(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°, ∴AB=10,BC=53. 由題意知BM=2t,CN=3t,BN=53-3t, 由BM=BN,得2t=53-3t. 解得t=532+3=103-15. (2)①當△MBN∽△ABC時,MBAB=BN

19、BC, 即2t10=53-3t53.解得t=52. ②當△NBM∽△ABC時,NBAB=BMBC, 即53-3t10=2t53.解得t=157. 綜上所述,當t=52或t=157時,△MBN與△ABC相似. (3)如圖,過M作MD⊥BC于點D,則MD=t.設(shè)四邊形ACNM的面積為y, 則y=S△ABC-S△BMN =12AC·BC-12BN·MD =12×5×53-12(53-3t)·t=32t2-532t+2532 =32t-522+7583. 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當t=52時, y的值最小,此時,y最小=7583.?導(dǎo)學(xué)號16734123? 10