2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題28 綜合能力提升(含解析)
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2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題28 綜合能力提升(含解析)
專(zhuān)題28 綜合能力提升專(zhuān)題卷
(時(shí)間:90分鐘 滿(mǎn)分120分)
一、選擇題(每小題3分,共36分)
1.(2018·福建廈門(mén)一中初二期中)化簡(jiǎn)的結(jié)果正確的是( )
A.﹣2 B.2 C.±2 D.4
【答案】B
【解析】
根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得原式=2,故選B.
2.(2019·黑龍江初三月考)下列等式正確的是( )
A.()2=3 B.=﹣3 C.=3 D.(﹣)2=﹣3
【答案】A
【解析】
()2=3,A正確;
=3,B錯(cuò)誤;
=,C錯(cuò)誤;
(-)2=3,D錯(cuò)誤;
故選:A.
點(diǎn)睛:本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn),掌握二次根式的性質(zhì):=|a|是解題的關(guān)鍵.
3.(2019·重慶八中初二開(kāi)學(xué)考試)估計(jì)的值應(yīng)在( )
A.4和5之間 B.5和6之間 C.6和7之間 D.7和8之間
【答案】C
【解析】
解:=2+6=2+
又因?yàn)?<<5
所以6<2+<7
故答案為C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次根式的化簡(jiǎn),其中明確化簡(jiǎn)方向和正確的估值是解題的關(guān)鍵.
4.(2019·河南初三期中)已知2是關(guān)于x的方程x2-2mx+3m=0的一個(gè)根,并且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長(zhǎng),則三角形ABC的周長(zhǎng)為( ?。?
A.10 B.14 C.10或14 D.8或10
【答案】B
【解析】
∵2是關(guān)于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一個(gè)根,
∴22﹣4m+3m=0,m=4,
∴x2﹣8x+12=0,
解得x1=2,x2=6.
①當(dāng)6是腰時(shí),2是底邊,此時(shí)周長(zhǎng)=6+6+2=14;
②當(dāng)6是底邊時(shí),2是腰,2+2<6,不能構(gòu)成三角形.
所以它的周長(zhǎng)是14.
考點(diǎn):解一元二次方程-因式分解法;一元二次方程的解;三角形三邊關(guān)系;等腰三角形的性質(zhì).
5.(2019·保定市樂(lè)凱中學(xué)初三期中)若關(guān)于的方程的解為,則關(guān)于的方程的解為( )
A. B.或 C.或 D.
【答案】C
【解析】
∵關(guān)于的方程的解為,
∴對(duì)于方程,,
∴,
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查方程的解的定義,掌握方程的解的定義以及解一元二次方程的方法,是解題的關(guān)鍵.
6.(2019·湖南省新化縣明德學(xué)校初二期中)已知直線(xiàn)與的交點(diǎn)為,則方程組的解為( )
A. B. C. D.無(wú)法確定
【答案】A
【解析】
∵已知直線(xiàn)與的交點(diǎn)為,
∴方程組的解為
故選A.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)交點(diǎn)的含義.
7.(2019·四川初二期末)直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y)在第三象限,且P到x軸和y軸的距離分別為3、4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(-3,-4) B.(3,4) C.(-4,-3) D.(4,3)
【答案】C
【解析】
解:∵點(diǎn)P(x,y)在第三象限,
∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù),
∵P到x軸和y軸的距離分別為3、4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,-3).
故選:C.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo),關(guān)鍵是掌握到x軸的距離=縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,到y(tǒng)軸的距離=橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.
8.(2019·四川初三)有七張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的卡片,它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)將它們背面朝上,洗勻后從中隨機(jī)抽取一張,記卡片上的數(shù)字為a,則使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a(a﹣3)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且以x為自變量的二次函數(shù)y=x2﹣(a2+1)x﹣a+2的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)的概率是( ?。?
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
令△=[﹣2(a﹣1)]2﹣4a(a﹣3)=4a+4>0,
解得:a>﹣1,
∴使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a(a﹣3)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的數(shù)有0,1,2,3.
當(dāng)二次函數(shù)y=x2﹣(a2+1)x﹣a+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí),1﹣(a2+1)﹣a+2=0,
解得:a1=﹣2,a2=1,
∴使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a(a﹣3)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且以x為自變量的二次函數(shù)y=x2﹣(a2+1)x﹣a+2的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)的數(shù)字為0,2,3,
∴該事件的概率為,
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了概率公式、根的判別式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,利用根的判別式△>0及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,找出使得事件成立的a的值是解題的關(guān)鍵.
9.(2020·山東初三)如圖,A、B、C是小正方形的頂點(diǎn),且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則tan∠BAC的值為( )
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】
如圖,連接BC,
由網(wǎng)格可得AB=BC=,AC=,即AB2+BC2=AC2,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
則tan∠BAC=1,
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,解直角三角形,以及勾股定理,熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.
10.(2020·河北初三期中)設(shè)α、β是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則 的值為( )
A.-2014 B.2014 C.2013 D.-2013
【答案】D
【解析】
∵α是方程x2+x+2012=0的根,
∴α2+α+2012=0,即α2+α=-2012,
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β,
∵α,β是方程x2+x+2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴α+β=-1,
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013.
故選D.
【點(diǎn)睛】
考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí),x1+x2=,x1x2=.
11.(2020·長(zhǎng)沙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初三月考)如圖,正方形ABCD和正方形CGFE的頂點(diǎn)C,D,E在同一條直線(xiàn)上,頂點(diǎn)B,C,G在同一條直線(xiàn)上.O是EG的中點(diǎn),∠EGC的平分線(xiàn)GH過(guò)點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)H,連接FH交EG于點(diǎn)M,連接OH.以下四個(gè)結(jié)論:①GH⊥BE;②△EHM∽△GHF;③﹣1;④=2﹣,其中正確的結(jié)論是( ?。?
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】A
【解析】
解:如圖,
∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCE=∠DCG,
在△BCE和△DCG中,
∴△BCE≌△DCG(SAS),
∴∠BEC=∠BGH,
∵∠BGH+∠CDG=90°,∠CDG=∠HDE,
∴∠BEC+∠HDE=90°,
∴GH⊥BE.
故①正確;
∵△EHG是直角三角形,O為EG的中點(diǎn),
∴OH=OG=OE,
∴點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上,
∵EF=FG,
∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°,∠HEG=∠HFG,
∴△EHM∽△GHF,
故②正確;
∵△BGH≌△EGH,
∴BH=EH,
又∵O是EG的中點(diǎn),
∴HO∥BG,
∴△DHN∽△DGC,
設(shè)EC和OH相交于點(diǎn)N.
設(shè)HN=a,則BC=2a,設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b,則NC=b,CD=2a,
即a2+2ab﹣b2=0,
解得:a=b=(﹣1+)b,或a=(﹣1﹣)b(舍去),
故③正確;
∵△BGH≌△EGH,
∴EG=BG,
∵HO是△EBG的中位線(xiàn),
∴HO=BG,
∴HO=EG,
設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b,
∴EG=2b,
∴HO=b,
∵OH∥BG,CG∥EF,
∴OH∥EF,
∴△MHO△MFE,
∴,
∴EM=OM,
∴,
∴
∵EO=GO,
∴S△HOE=S△HOG,
∴
故④錯(cuò)誤,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì),以及全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),正確求得兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的比是解決本題的關(guān)鍵.
12.(2020·河北初三期中)如圖,在中,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以點(diǎn)為圓心作圓心角為的扇形,點(diǎn)恰在弧上,則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
連接CD,作DM⊥BC,DN⊥AC.
∵CA=CB,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),
∴DC=AB=1,四邊形DMCN是正方形,DM=.
則扇形FDE的面積是:.
∵CA=CB,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),
∴CD平分∠BCA,
又∵DM⊥BC,DN⊥AC,
∴DM=DN,
∵∠GDH=∠MDN=90°,
∴∠GDM=∠HDN,
則在△DMG和△DNH中,
,
∴△DMG≌△DNH(AAS),
∴S四邊形DGCH=S四邊形DMCN=.
則陰影部分的面積是:-.
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計(jì)算的綜合題,正確證明△DMG≌△DNH,得到S四邊形DGCH=S四邊形DMCN是關(guān)鍵.
二、填空題(每小題3分,共18分)
13.(2019·重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二)已知點(diǎn)在軸上,則的值是__________.
【答案】-2
【解析】
∵點(diǎn)在軸上
∴
解得
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查坐標(biāo)軸上的坐標(biāo),熟記x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵.
14.(2019·四川石室中學(xué)初二期中)若分式方程產(chǎn)生增根,則________.
【答案】
【解析】
∵分式方程有增根
∴
解得
將代入中
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的問(wèn)題,掌握分式方程有增根的條件是解題的關(guān)鍵.
15.(2019·山東初三)若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程=4的解為正數(shù),且使關(guān)于y,不等式組的解集為y<-2,則符合條件的所有整數(shù)a的和為_(kāi)_____.
【答案】10
【解析】
解:分式方程+=4的解為且x≠1,
∵關(guān)于x的分式方程+=4的解為正數(shù),
∴>0 且≠1,
∴a<6且a≠2.
解不等式①得:y<-2;
解不等式②得:y≤a.
∵關(guān)于y的不等式組的解集為y<-2,
∴a≥-2.
∴-2≤a<6且a≠2.
∵a為整數(shù),
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5,
(-2)+(-1)+0+1+3+4+5=10.
故答案為:10.
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式,根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不等式組的解集為y<-2,找出-2≤a<6且a≠2是解題的關(guān)鍵.
16.(2019·河北初一期末)若關(guān)于x的一元一次不等式組無(wú)解,則a的取值范圍是________.
【答案】a≥1
【解析】
不等式組變形為
由不等式組無(wú)解,則a≥1.
故答案為a≥1.
點(diǎn)睛:不等式組無(wú)解,即x>a與x<b無(wú)交集,在數(shù)軸上即畫(huà)出的兩弧無(wú)交集,可知數(shù)軸上a點(diǎn)在b點(diǎn)右邊或重合.則a≥b.
17.(2019·四川初二期末)如圖,有一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),C在x軸上,OA=6,OC=10,如圖,在OA上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn)處,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)______。
【答案】
【解析】
由矩形的性質(zhì)得:
由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得:
在中,
則
設(shè),則
在中,,即
解得
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)、圖形翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理,根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和勾股定理求出BD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.
18.(2019·浙江初二期中)如圖,在平行四邊ABCD中,AD=2AB,F(xiàn)是AD的中點(diǎn),作CE⊥AB,垂足E在線(xiàn)段AB上,連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是 (把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上)
(1)∠DCF=∠BCD,(2)EF=CF;(3)SΔBEC=2SΔCEF;(4)∠DFE=3∠AEF
【答案】①②④
【解析】
試題解析:①∵F是AD的中點(diǎn),
∴AF=FD,
∵在?ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
∴∠DCF=∠BCD,故此選項(xiàng)正確;
延長(zhǎng)EF,交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于M,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDF,
∵F為AD中點(diǎn),
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中,
,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90°,
∵FM=EF,
∴FC=FM,故②正確;
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM,
∵M(jìn)C>BE,
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF錯(cuò)誤;
④設(shè)∠FEC=x,則∠FCE=x,
∴∠DCF=∠DFC=90°-x,
∴∠EFC=180°-2x,
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,
∵∠AEF=90°-x,
∴∠DFE=3∠AEF,故此選項(xiàng)正確.
考點(diǎn):1.平行四邊形的性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.直角三角形斜邊上的中線(xiàn).
三、解答題(每小題6分,共12分)
19.(2020·河南初三期末)計(jì)算:.
【答案】1
【解析】
原式
=1.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算:先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中,如能結(jié)合題目特點(diǎn),靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,往往能事半功倍.
20.(2020·山東新城實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三月考)先化簡(jiǎn),再求值:,其中a,b滿(mǎn)足.
【答案】-1
【解析】
解:原式
,
∵a,b滿(mǎn)足,
∴,,
,,
原式.
【點(diǎn)睛】
本題考查平方差公式和二次根式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和二次根式的性
四、解答題(每小題8分,共16分)
21.(2020·成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二開(kāi)學(xué)考試)如圖所示,正方形網(wǎng)格中,△ABC為格點(diǎn)三角形(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,點(diǎn)A移到點(diǎn)A1,在網(wǎng)格中畫(huà)出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1繞點(diǎn)A1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,在網(wǎng)格中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2;
(3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1,求點(diǎn)B經(jīng)過(guò)(1)、(2)變換的路徑總長(zhǎng).
【答案】(1)(2)作圖見(jiàn)解析;(3).
【解析】
解:(1)如答圖,連接AA1,然后從C點(diǎn)作AA1的平行線(xiàn)且A1C1=AC,同理找到點(diǎn)B1,分別連接三點(diǎn),△A1B1C1即為所求.
(2)如答圖,分別將A1B1,A1C1繞點(diǎn)A1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到B2,C2,連接B2C2,△A1B2C2即為所求.
(3)∵,
∴點(diǎn)B所走的路徑總長(zhǎng)=.
考點(diǎn):1.網(wǎng)格問(wèn)題;2.作圖(平移和旋轉(zhuǎn)變換);3.勾股定理;4.弧長(zhǎng)的計(jì)算.
22.(2018·廣東深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考)“端午節(jié)”是我國(guó)的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來(lái)有吃“粽子”的習(xí)俗.我市某食品廠(chǎng)為了解市民對(duì)去年銷(xiāo)量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛(ài)情況,在節(jié)前對(duì)某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整).
請(qǐng)根據(jù)以上信息回答:
(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?
(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整;
(3)若居民區(qū)有8000人,請(qǐng)估計(jì)愛(ài)吃D粽的人數(shù);
(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一個(gè),煮熟后,小王吃了兩個(gè).用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法,求他第二個(gè)吃到的恰好是C粽的概率.
【答案】(1)600(2)見(jiàn)解析(3)3200(4)
【解析】
(1)60÷10%=600(人).
答:本次參加抽樣調(diào)查的居民有600人.
(2)如圖;…
(3)8000×40%=3200(人).
答:該居民區(qū)有8000人,估計(jì)愛(ài)吃D粽的人有3200人.
(4)如圖;
(列表方法略,參照給分).…
P(C粽)==.
答:他第二個(gè)吃到的恰好是C粽的概率是.…
五、解答題(每小題9分,共18分)
23.(2019·山東初三期中)已知關(guān)于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若x1,x2滿(mǎn)足x12+x22=16+x1x2,求實(shí)數(shù)k的值.
【答案】(1) k≤;(2)-2.
【解析】
(1)∵關(guān)于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,
∴△=(2k﹣1)2﹣4(k2﹣1)=﹣4k+5≥0,解得:k≤,
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≤.
(2)∵關(guān)于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,
∴x1+x2=1﹣2k,x1x2=k2﹣1.∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=16+x1x2,
∴(1﹣2k)2﹣2×(k2﹣1)=16+(k2﹣1),即k2﹣4k﹣12=0,
解得:k=﹣2或k=6(不符合題意,舍去).∴實(shí)數(shù)k的值為﹣2.
考點(diǎn):一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式.
24.(2020·江蘇省如皋中學(xué)初三)近期豬肉價(jià)格不斷走高,引起市民與政府的高度關(guān)注,當(dāng)市場(chǎng)豬肉的平均價(jià)格達(dá)到一定的單價(jià)時(shí),政府將投入儲(chǔ)備豬肉以平抑豬肉價(jià)格.
(1)從今年年初至5月20日,豬肉價(jià)格不斷走高,5月20日比年初價(jià)格上漲了60%,某市民在今年5月20日購(gòu)買(mǎi)2.5千克豬肉至少要花100元錢(qián),那么今年年初豬肉的最低價(jià)格為每千克多少元?
(2)5月20日豬肉價(jià)格為每千克40元,5月21日,某市決定投入儲(chǔ)備豬肉,并規(guī)定其銷(xiāo)售價(jià)格在5月20日每千克40元的基礎(chǔ)上下調(diào)a%出售,某超市按規(guī)定價(jià)出售一批儲(chǔ)備豬肉,該超市在非儲(chǔ)備豬肉的價(jià)格仍為40元的情況下,該天的兩種豬肉總銷(xiāo)量比5月20日增加了a%,且儲(chǔ)備豬肉的銷(xiāo)量占總銷(xiāo)量的,兩種豬肉銷(xiāo)售的總金額比5月20日提高了,求a的值.
【答案】(1)25元;(2)a=20.
【解析】
解:(1)設(shè)今年年初豬肉價(jià)格為每千克x元;
根據(jù)題意得:2.5×(1+60%)x≥100,解得:x≥25.
答:今年年初豬肉的最低價(jià)格為每千克25元;
(2)設(shè)5月20日兩種豬肉總銷(xiāo)量為1;
根據(jù)題意得:40(1﹣a%)×(1+a%)+40×(1+a%)=40(1+a%),
令a%=y,
原方程化為:40(1﹣y)×(1+y)+40×(1+y)=40(1+y),
整理得:,
解得:y=0.2,或y=0(舍去),
則a%=0.2,
∴a=20.
答:a的值為20.
六、解答題(每小題10分,共20分)
25.(2020·安徽初三)如圖,點(diǎn)O是△ABC的邊AB上一點(diǎn),⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E,與邊BC,AB分別相交于點(diǎn)D,F(xiàn),且DE=EF,
(1)求證:∠C=90°;
(2)當(dāng)BC=3,sinA=時(shí),求AF的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】
解:(1)連接OE,BE,
∵DE=EF,
∴=
∴∠OBE=∠DBE
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠DBE,
∴OE∥BC
∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E,
∴OE⊥AC
∴BC⊥AC
∴∠C=90°
(2)在△ABC,∠C=90°,BC=3,sinA=,
∴AB=5,
設(shè)⊙O的半徑為r,則AO=5﹣r,
在Rt△AOE中,sinA=
∴
∴
【點(diǎn)睛】
本題考查圓的綜合問(wèn)題,涉及平行線(xiàn)的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù),解方程等知識(shí),綜合程度較高,需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).
26.(2019·河南初三)在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線(xiàn)y=ax-a為拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)的“衍生直線(xiàn)”;有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“衍生三角形”.已知拋物線(xiàn)與其“衍生直線(xiàn)”交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.
(1)填空:該拋物線(xiàn)的“衍生直線(xiàn)”的解析式為 ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(2)如圖,點(diǎn)M為線(xiàn)段CB上一動(dòng)點(diǎn),將△ACM以AM所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸翻折,點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,若△AMN為該拋物線(xiàn)的“衍生三角形”,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),在該拋物線(xiàn)的“衍生直線(xiàn)”上,是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(-2,);(1,0);
(2)N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,),(0,);
(3)E(-1,-)、F(0,)或E(-1,),F(xiàn)(-4,)
【解析】
(1)∵,a=,則拋物線(xiàn)的“衍生直線(xiàn)”的解析式為;
聯(lián)立兩解析式求交點(diǎn),解得或,
∴A(-2,),B(1,0);
(2)如圖1,過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D,
在中,令y=0可求得x= -3或x=1,
∴C(-3,0),且A(-2,),
∴AC=
由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=,
∵△AMN為該拋物線(xiàn)的“衍生三角形”,
∴N在y軸上,且AD=2,
在Rt△AND中,由勾股定理可得
DN=,
∵OD=,
∴ON=或ON=,
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,),(0,);
(3)①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí),如圖2 ,過(guò)F作對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)FH,過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K,則有AC∥EF且AC=EF,
∴∠ ACK=∠ EFH,
在△ ACK和△ EFH中
∴△ ACK≌△ EFH,
∴FH=CK=1,HE=AK=,
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1,
∴ F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或-2,
∵點(diǎn)F在直線(xiàn)AB上,
∴當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0時(shí),則F(0,),此時(shí)點(diǎn)E在直線(xiàn)AB下方,
∴E到y(tǒng)軸的距離為EH-OF=-=,即E的縱坐標(biāo)為-,
∴ E(-1,-);
當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2時(shí),則F與A重合,不合題意,舍去;
②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí),
∵ C(-3,0),且A(-2,),∴線(xiàn)段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2.5, ),
設(shè)E(-1,t),F(xiàn)(x,y),
則x-1=2×(-2.5),y+t=,∴x= -4,y=-t,
-t=-×(-4)+,解得t=,
∴E(-1,),F(xiàn)(-4,);
綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F,此時(shí)E(-1,-)、(0,)或E(-1,),F(xiàn)(-4,)
【點(diǎn)睛】
本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合知識(shí)考查,熟練掌握二次函數(shù),幾何圖形及輔助線(xiàn)方法是解決本題的關(guān)鍵,屬于壓軸題.