2020年中考數(shù)學必考考點 專題20 矩形（含解析）

專題20 矩形 專題知識回顧 1．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。 2．矩形的性質：（1）矩形的四個角都是直角； （2）矩形的對角線平分且相等。 3．矩形判定定理： （1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形； （3）有三個角是直角的四邊形是矩形。 4．矩形的面積：S矩形=長×寬=ab 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019廣西桂林）將矩形按如圖所示的方式折疊，，，為折痕，若頂點，，都落在點處，且點，，在同一條直線上，同時點，，在另一條直線上，則的值為　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由折疊可得，，， ，分別為，的中點， 設，，則，，，， ， 中，， 即， ， 即，，的值為 【例題2】（2019貴州省安順市） 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點D為斜邊BC上的一個動點，過D分別作DM⊥AB于點M，作DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為 . B D M N C A 【答案】 【解析】連接AD，即可證明四邊形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MN＝AD，再由三角形的面積關系求出AD的最小值，即可得出結果． 連接AD，如圖所示： B D M N C A ∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°， 又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AMDN是矩形；∴MN＝AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5， 當AD⊥BC時，AD最短， 此時△ABC的面積＝BC?AD＝AB?AC， ∴AD的最小值＝， ∴線段MN的最小值為。 專題典型訓練題 一、選擇題 1.（2019?廣東廣州）如圖，矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于點E，F(xiàn)，若BE＝3，AF＝5，則AC的長為（　?。? A．4 B．4 C．10 D．8 【答案】A 【解析】連接AE，由線段垂直平分線的性質得出OA＝OC，AE＝CE，證明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可． 連接AE，如圖： ∵EF是AC的垂直平分線， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF和△COE中，， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝5， ∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8， ∴AB＝＝＝4， ∴AC＝＝＝4； 故選：A． 2.（2019?貴州省銅仁市）如圖為矩形ABCD，一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為a和b，則a+b不可能是（　　） A．360° B．540° C．630° D．720° 【答案】C． 【解答】一條直線將該矩形ABCD分割成兩個多邊形，每一個多邊形的內角和都是180°的 倍數(shù)，都能被180整除，分析四個答案， 只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°． 3．（2019?山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（　?。? A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)中位線定理可得出點點P的運動軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當BP⊥P1P2時，PB取得最小值；由矩形的性質以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為BP1的長，由勾股定理求解即可． 如圖： 當點F與點C重合時，點P在P1處，CP1＝DP1， 當點F與點E重合時，點P在P2處，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝CE 當點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP＝FP 由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF ∴點P的運動軌跡是線段P1P2， ∴當BP⊥P1P2時，PB取得最小值 ∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點， ∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝2 ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90° ∴∠DP2P1＝90° ∴∠DP1P2＝45° ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值為BP1的長 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2 ∴BP1＝2 ∴PB的最小值是2 4.（2019湖北荊州）如圖，矩形ABCD的頂點A，B，C分別落在∠MON的邊OM，ON上，若OA＝OC，要求只用無刻度的直尺作∠MON的平分線．小明的作法如下：連接AC，BD交于點E，作射線OE，則射線OE平分∠MON．有以下幾條幾何性質：①矩形的四個角都是直角，②矩形的對角線互相平分，③等腰三角形的“三線合一”．小明的作法依據(jù)是（　?。? A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】∵四邊形ABCD為矩形， ∴AE＝CE， 而OA＝OC， ∴OE為∠AOC的平分線． 二、填空題 5．（2019重慶）如圖，在矩形ABCD中，，，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點E，圖中陰影部分的面積是___________（結果保留）． 【答案】 【解析】 6.（2019湖南婁底）如圖，要使平行四邊形 ABCD 是矩形，則應添加的條件是 （添加一個條件即可）． 【答案】∠ABC=90°或 AC=BD． 【解析】解：根據(jù)矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形；故添加條件：∠ABC=90°或 AC=BD． 故答案為：∠ABC=90°或 AC=BD． 7.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內一動點，且S△PAB＝ S△PCD，則PC＋PD的最小值是________． 【答案】. 【解析】結合已知條件，根據(jù)S△PAB＝ S△PCD可判斷出點P在平行于AB，與AB的距離為2、與CD的距離為4的直線上，再根據(jù)“將軍飲馬問題”的解法解之即可. 過點P作直線l∥AB，作點D關于直線l的對稱點D1，連接CD1，∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∴CD=4,DD1=8, 在Rt△CDD1中，由勾股定理得CD1=，∴PC＋PD的最小值是. 8．（2019內蒙古通遼）如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為點E，且AE平分∠BAC，則AB的長為　 ?。? 【答案】． 【解答】∵四邊形ABCD是矩形 ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵AE平分∠BAO ∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO， ∴△ABE≌△AOE（ASA） ∴AO＝AB，且AO＝OB ∴AO＝AB＝BO＝DO， ∴BD＝2AB， ∵AD2+AB2＝BD2， ∴64+AB2＝4AB2， ∴AB＝ 9.（2019?湖北省咸寧市）如圖，先有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P，點D落在G處，連接PC，交MN于點Q，連接CM．下列結論： ①CQ＝CD； ②四邊形CMPN是菱形； ③P，A重合時，MN＝2； ④△PQM的面積S的取值范圍是3≤S≤5． 其中正確的是　 　（把正確結論的序號都填上）． 【答案】②③． 【解析】先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質可得CN＝NP，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，進而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不一定成立，判斷①錯誤；點P與點A重合時，設BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進而用勾股定理求得MN，判斷出③正確；當MN過D點時，求得四邊形CMPN的最小面積，進而得S的最小值，當P與A重合時，S的值最大，求得最大值便可． 如圖1， ∵PM∥CN， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN， ∵NC＝NP，∴PM＝CN， ∵MP∥CN， ∴四邊形CNPM是平行四邊形， ∵CN＝NP，∴四邊形CNPM是菱形，故②正確； ∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP， ∴∠MQC＝∠D＝90°， ∵CP＝CP， 若CQ＝CD，則Rt△CMQ≌△CMD， ∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不一定成立， 故①錯誤； 點P與點A重合時，如圖2， 設BN＝x，則AN＝NC＝8﹣x， 在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CN＝8﹣3＝5，AC＝， ∴， ∴， ∴MN＝2QN＝2． 故③正確； 當MN過點D時，如圖3， 此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S＝， 當P點與A點重合時，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S＝， ∴4≤S≤5，故④錯誤．故答案為：②③． 10.（2019·貴州貴陽）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，點F是對角線AC上的一個動點，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使點E和點A位于DF兩側，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是　 ?。? 【答案】． 【解析】E的運動路徑是EE'的長； ∵AB＝4，∠DCA＝30°， ∴BC＝， 當F與A點重合時， 在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°， ∴DE'＝，∠CDE'＝30°， 當F與C重合時，∠EDC＝60°， ∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在Rt△DEE'中，EE'＝. 11．（2019?山東濰坊）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2．將∠A向內翻折，點A落在BC上，記為A′，折痕為DE．若將∠B沿EA′向內翻折，點B恰好落在DE上，記為B′，則AB＝　?。? 【答案】． 【解析】利用矩形的性質，證明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，設AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通過勾股定理可求出AB的長度． ∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC， 由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°， ∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E， ∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°， ∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°， ∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°， 又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'， ∴△DB'A'≌△DCA'（AAS）， ∴DC＝DB'， 在Rt△AED中， ∠ADE＝30°，AD＝2， ∴AE＝＝， 設AB＝DC＝x，則BE＝B'E＝x﹣ ∵AE2+AD2＝DE2， ∴（）2+22＝（x+x﹣）2， 解得，x1＝（負值舍去），x2＝ 12.（2019北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合）．對于任意矩形ABCD，下面四個結論中， ①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形； ②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形； ③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形； ④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形． 所有正確結論的序號是_______． 【答案】①②③ 【解析】如圖，O為矩形ABCD對角線的交點， ①圖中任過點O的兩條線段PM，QN，則四邊形MNPQ是平行四邊形；顯然有無數(shù)個.本結論正確. ②圖中任過點O的兩條相等的線段PM，QN，則四邊形MNPQ是矩形；顯然有無數(shù)個.本結論正確. ③圖中任過點O的兩條垂直的線段PM，QN，則四邊形MNPQ是菱形；顯然有無數(shù)個.本結論正確. ④圖中過點O的兩條相等且垂直的線段PM，QN，則四邊形MNPQ是正方形；顯然有一個.本結論錯誤. 故填：①② ③. 13.（2019遼寧本溪）如圖，BD是矩形ABCD的對角線，在BA和BD上分別截取BE，BF，使BE=BF；分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF的長為半徑作弧，兩弧在∠ABD內交于點G，作射線BG交AD于點P，若AP=3，則點P到BD的距離為 . 【答案】3. 【解析】過點P作PQ⊥BD，垂足為Q， 根據(jù)題意可得BP平分∠ABD. ∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠A=90°， ∴PA=PQ. ∵PA=3， ∴PQ=3， 故答案為3. 14．（2019遼寧撫順）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB邊上一點，AE＝2，F(xiàn)是直線CD上一動點，將△AEF沿直線EF折疊，點A的對應點為點A'，當點E、A'、C三點在一條直線上時，DF的長度為　 　． 【答案】1或11； 【解析】在旋轉過程中A有兩次和E，C在一條直線上，第一次在EC線段上，第二次在CE線段的延長線上，利用平行的性質證出CF＝CE，即可求解； 如圖1： 將△AEF沿直線EF折疊，點A的對應點為點A'， ∴∠AEF＝∠EA'F，AE＝A'E， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴CF＝CE， ∵AB＝6，AD＝3，AE＝2， ∴CF＝CE＝6﹣DF，A'E＝2，BE＝4，BC＝3， ∴EC＝5， ∴6﹣DF＝5， ∴DF＝1； 如圖2： 由折疊∠FEA'＝∠FEA， ∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴CF＝5， ∴DF＝11； 故答案為1或11； 三、解答題 15．（2019湖南懷化）已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F(xiàn)分別為垂足． （1）求證：△ABE≌△CDF； （2）求證：四邊形AECF是矩形． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）證明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四邊形AECF是矩形． 16．（2019湖南郴州）如圖1，矩形ABCD中，點E為AB邊上的動點（不與A，B重合）， 把△ADE沿DE翻折，點A的對應點為A1，延長EA1交直線DC于點F，再把∠BEF折疊， 使點B的對應點B1落在EF上，折痕EH交直線BC于點H． （1）求證：△A1DE∽△B1EH； （2）如圖2，直線MN是矩形ABCD的對稱軸，若點A1恰好落在直線MN上，試判斷△DEF的形狀，并說明理由； （3）如圖3，在（2）的條件下，點G為△DEF內一點，且∠DGF＝150°，試探究DG，EG，F(xiàn)G的數(shù)量關系． 【答案】（1）見解析；（2）△DEF是等邊三角形，理由見解析；（3）DG2+GF2＝GE2． 【解析】解：（1）證明：由折疊的性質可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH， ∴∠DEA1+∠HEB1＝90°． 又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°， ∴∠DEA1＝∠EHB1， ∴△A1DE∽△B1EH； （2）結論：△DEF是等邊三角形； 理由如下： ∵直線MN是矩形ABCD的對稱軸， ∴點A1是EF的中點，即A1E＝A1F， ∴△A1DE≌△A1DF（SAS）， ∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1， 又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°． ∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF是等邊三角形； （3）DG，EG，F(xiàn)G的數(shù)量關系是DG2+GF2＝GE2， 理由如下：由（2）可知△DEF是等邊三角形；將△DGE逆時針旋轉60°到△DG'F位置，如解圖（1）， ∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°， ∴△DGG'是等邊三角形， ∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°， ∵∠DGF＝150°， ∴∠G'GF＝90°， ∴G'G2+GF2＝G'F2， ∴DG2+GF2＝GE2， 17．（2019湖南益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若 不改變矩形ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另 一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動． （1）當∠OAD＝30°時，求點C的坐標； （2）設AD的中點為M，連接OM、MC，當四邊形OMCD的面積為時，求OA的長； （3）當點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cos∠OAD的值． 【答案】（1）（2，3+2）；（2）OA＝3； （3）當O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8，cos∠OAD＝． 【解析】解：（1）如圖1，過點C作CE⊥y軸于點E， ∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°， ∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2， 在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝AD＝3， ∴點C的坐標為（2，3+2）； （2）∵M為AD的中點， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又S四邊形OMCD＝， ∴S△ODM＝， ∴S△OAD＝9， 設OA＝x、OD＝y(tǒng)，則x2+y2＝36，xy＝9， ∴x2+y2＝2xy，即x＝y(tǒng)， 將x＝y(tǒng)代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝3（負值舍去）， ∴OA＝3； （3）OC的最大值為8， 如圖2，M為AD的中點， ∴OM＝3，CM＝＝5， ∴OC≤OM+CM＝8， 當O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8， 連接OC，則此時OC與AD的交點為M，過點O作ON⊥AD，垂足為N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴＝＝，即＝＝， 解得MN＝，ON＝， ∴AN＝AM﹣MN＝， 在Rt△OAN中，OA＝＝， ∴cos∠OAD＝＝． 18.（2019?湖北省鄂州市）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點O是對角線BD的中點，過點O的直線分別交AB、CD邊于點E、F． （1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形； （2）當DE＝DF時，求EF的長． 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)矩形的性質得到AB∥CD，由平行線的性質得到∠DFO＝∠BEO，根據(jù)全等三角形的性質得到DF＝BE，于是得到四邊形BEDF是平行四邊形；推出四邊形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，設AE＝x，則DE＝BE＝8﹣x根據(jù)勾股定理即可得到結論． （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO， 又因為∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（ASA）， ∴DF＝BE， 又因為DF∥BE， ∴四邊形BEDF是平行四邊形； （2）解：∵DE＝DF，四邊形BEDF是平行四邊形 ∴四邊形BEDF是菱形， ∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF， 設AE＝x，則DE＝BE＝8﹣x 在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，有AE2+AD2＝DE2 ∴x2+62＝（8﹣x）2， 解之得：x＝， ∴DE＝8﹣＝， 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，有AB2+AD2＝BD2 ∴BD＝， ∴OD＝ BD＝5， 在Rt△DOE中，根據(jù)勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2， ∴OE＝， ∴EF＝2OE＝． 19. (2019黑龍江大慶)如圖在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在對角線AC上,且AM＝CN,E,F分別是AD,BC的中點. (1)求證:△ABM≌△CDN; (2)點G是對角線AC上的點,∠EGF＝90°,求AG的長. 【答案】見解析。 【解析】(1)在矩形ABCD中,AB∥CD,所以∠BAM＝∠DCN, 又因為AB＝CD,AM＝CN, 所以△ABM≌△CDN(SAS); （2）以EF為直徑作圓,交AC于點G1,G2,連接EG1,FG1,EG2,FG2,則∠EG1F＝∠EG2F＝90°, 因為EF＝AB＝3,所以G1H＝G2H＝EF＝, 在Rt△ABC中,AC＝＝5, 所以AH＝AC＝, 所以AG1＝1,AG2＝4. 21