《大學數(shù)學》教案

第一章 函數(shù) 第一節(jié):函數(shù) 教學目標：1、理解和掌握函數(shù)相關概念 2、掌握絕對值的性質(zhì) 教學重點：絕對值的性質(zhì) 教學難點：函數(shù)的定義 教學過程： 1、 常量與變量 一個量是變量還是常量是相對而言的 例如：g （1） 表示：常量abc 變量xyz （2） 變量的范圍：區(qū)間表示 2、 絕對值與鄰域 （1） 絕對值 定義：任意實數(shù)a的絕對值，用符號|a|表示，定義|a|= （2） 絕對值的性質(zhì) ① ②|x| < k , (k>0) 同理|x-a|<k (k > 0) ③|x| > k , (k>0) x>k 或 x<-k ④ 證明：由性質(zhì)①可證 ⑤ 證明：由性質(zhì)④可證 ⑥|a.b| = |a| *| b| ⑦ （3） 鄰域 定義：設a與是兩個實數(shù)，且>0，則滿足不等式|x - a|<的全體實數(shù)x稱為點a的鄰域，點a稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑 記作：U（a, ） 3、 函數(shù)的概念 定義：設A是非空數(shù)集，若存在對應關系f，對A中的任何x，按照對應關系f, 對應唯一一個，則稱f是定義在A上的函數(shù)。 表示： 定義域 值域 自變量 因變量 習慣表示：y=f(x) （1）函數(shù)的定義域 注意符合實際意義；注意一般代數(shù)式的有意義 （2）函數(shù)相同 定義域相同；表達式 （3） 函數(shù)的記號 （4） 函數(shù)值 注意區(qū)別與f(x) 例：設f(x+1)=, 求f(x) 解法一： 解法二： 4、 函數(shù)的表示 （1） 表格法 （2） 圖示法 （3） 公式法（解析法） 5、 幾個常見函數(shù) （1） y=a( 常數(shù)函數(shù)) （2） 二次函數(shù) （3） 絕對值函數(shù) （4） 高斯函數(shù) （5） 符號函數(shù) 第二節(jié) 四種具有特殊性質(zhì)的函數(shù) 教學目標：了解四種具有特殊性質(zhì)的函數(shù) 教學重點：有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、周期函數(shù)、函數(shù)的奇偶性。 教學難點：有界函數(shù)、周期函數(shù) 教學過程： 1、 有界函數(shù) 定義：設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間ID,如果存在正數(shù)M，使得與任一xI所對應的函數(shù)值都滿足不等式|f(x)|M，則稱函數(shù)f(x)在I上有界。 例1：f(x)=sinx 是有界的 例2：函數(shù)f(x)=在（0，1）內(nèi)無界，在 （1，2）內(nèi)有界 注意：函數(shù)是否有界不僅與函數(shù)有關，還與指定的區(qū)間有關。 2、 單調(diào)函數(shù) 定義：設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間ID，如果對于區(qū)間I上任意兩點,當時，恒有，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的（單調(diào)減少的） 如果時，恒有，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是嚴格單調(diào)增加的（嚴格單調(diào)減少的） 例：高斯函數(shù)與符號函數(shù)都是單調(diào)增加的 3、 奇函數(shù)與偶函數(shù) 定義：設函數(shù)f(x)的定義域是D關于原點對稱，如果對于任一恒有f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)是偶函數(shù)（奇函數(shù)） 4、 周期函數(shù) 定義：設函數(shù)f(x)的定義域是D，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得對于任一有,且f(x+T)=f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x) 是周期函數(shù)，T稱為函數(shù)f(x)的周期。 最小正周期 例：的最小正周期 解：設所求周期為T f(x+T)=f(x) 5、習題 第三節(jié) 復合函數(shù)與反函數(shù) 教學目標：1、理解復合函數(shù)的構成 2、了解反函數(shù)的定義和性質(zhì) 教學重點：復合函數(shù)的構成 教學難點：復合函數(shù)的分解 教學過程： 1、 復合函數(shù) 定義：設函數(shù)y=f(u)定義在數(shù)集B上，函數(shù)定義在數(shù)集A上，G是A中使的x的非空子集。對G中任意x，按照對應關系，對應唯一一個y，即對G中任意x都對應唯一一個y，于是，在G上定義了一個函數(shù)，稱為函數(shù)與y=f(u)的復合函數(shù)。 記作：y=f[(x)] 2、 反函數(shù) 定義：設函數(shù)y=f(x)，定義域為D，如果對其值域f(D)中的每一個y值，都可以通過關系式y(tǒng)=f(x)在D中有唯一一個確定的x值與它對應，則得到一個定義在f(D)上以y為自變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)。 記作：（或 定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是嚴格單調(diào)的，則它的反函數(shù)存在且是嚴格單調(diào)的。 例：反正弦函數(shù) 由y=sinx 反解出y=Arcsinx是多值的 所以，需要限定原函數(shù)的區(qū)間使其是單調(diào)的。 3、 初等函數(shù) （1） 基本初等函數(shù) 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù) （2） 初等函數(shù) 定義：由基本的初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及復合步驟所構成的，且用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。 4、 習題 本章的復習總結 一、基本知識結構 二、基本方法技巧 三、典型例題 四、鞏固提高練習題 五、小結