高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題專(zhuān)題04大題好拿分提升版20題蘇

4、2-x+ 一a 0在R上恒成立(i) 16 16 2 a a =0 舍；ii) a .0,厶4 0,解得a 2 ；所以 a 2. 10-a 0 (2)由(1)知 p真，a 2,qM： { a 4 0 ,解得 -4：：：a；：：10 且 a = 3, p 或 q 為真即求 p 真 q 10-a = a 4 真的并集，所以a ? 4. 3?設(shè)命題p：已知點(diǎn)A 3,1 ,B -4,6，直線3x _2y ? a = 0與線段AB相交；命題q：函數(shù) f x = Ig lax 2_x+丄a ”勺定義域?yàn)镽。如果命題p、命題q有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù) a的取值 范圍。 【答案】-7

5、空a空2或a . 24 【解析】試題分析；化簡(jiǎn)命題卩可得~72,由小為真命題，為 假命題，可得測(cè)一真一假,分兩種情況討論，對(duì)于戸真g假以反芒假？算分別列PF等式組，分別解不等 式豈旦，然后求并集即可求得實(shí)數(shù)初的取值范圍. 試題解析；命題p為真命題， 命題Q為真命題，則不等式&-掘+丄口〉0恒成立』所嘆有? = 0時(shí)不可能」或匚1 2 n，解得a>2. 16 1 a <0 4 根將題意，命題P和嚷一真一假，對(duì)于P^q假{ -7<^j<24 a<2 可得一7壬口M2；對(duì)于p假彳鼻 0024 a>2 可得心如 因此有盤(pán)的取值范圍是

6、-7<^<2^a>24. 4?已知四棱錐 P-ABCD中，四邊形 ABCD是菱形，.BAD = 60°，又PD _平面ABCD, 點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PC上，且AD二PD = 4. (1) 證明：平面 BEF —平面PAD ； (2) 若 PA//平面BEF，求四棱錐F -BCDE的體積. 【解析】試題分析；⑴ 由加丄平面ABCD,可證PD丄囲』再由底面曲CD是2^ = 60°的菱形』且 點(diǎn)E罡棱血 的中點(diǎn)』可證剛丄血＞，即可證明BE丄平面,再根抿歸u平面BEFf即可證明平 面月麗丄平面PAD｝（2）連接/C交月E于。，連接叭 得GF為平面與平面月血的交線，由 平面BEF｝可

7、證PAHFG｝根據(jù)底面屈CD是菱形，且點(diǎn)E是棱血*的中晟 易得 AJEG^ACBG,則PF FC = AG GC=Az2 f 可得四 ^F-BCDE 的 高，根據(jù)梯形BCDE的面積，即可得四梭錐F-RSE的體積- 試題解析：（1）證明；T PD丄平面ABCD、 BEd平面ABCD :.PD 丄 EB, 又丁底面曲CD是4 = 3的菱形』且點(diǎn)E是棱血的中點(diǎn) 二丄血）, 又T PDcQ 二D ：.BE丄平面PAD, '：BE丄平面E4D $ HEu平面號(hào)￡F 二平面BEF丄平面PAD. （2）連接AC交BE于G，連接GF，則GF二平面PAC '平面BEF , ??? PA//

8、平面 BEF ??? PA//FG , '??底面ABCD是菱形，且點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn) ? AEG CBG, ??? AG:GC =AE:BC =1:2, ? PF : FC=AG :GC=1:2 , ???梯形 -63 (2 +4 ) n BCDE 的面積 S 4sin60 1 6 3 L3. 3 3 3 …Vf _BCDE 正【主）裸E） 5 .如圖，在三棱錐 P-ABC中，PA_平面ABC , AC _ BC , D為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，它的正視圖 和俯視圖如圖所示. （1）求證：AD _平面PBC ； ⑵求三棱錐D - ABC的體積； 【答案】（1）見(jiàn)解析

9、；（2） 16 . 3 【解析】試題分析：（1）由”丄平面ABCr知M丄月由/匕丄BCf知月C1丄平面PAC,從而得 到月C丄Q.由此能夠證明Q丄平面PBC ;（歷由三視團(tuán)得月C = 4,由（1） ^ZADC =舸,EC丄 平面PAC,由此能求出三棱錐的體積. 試題解析：⑴ 證明：因?yàn)槊髞A平面血6所以皿丄SU 又47丄BC,PAnAC=A ,所以召C丄平面PAC , 又因?yàn)閄Dc平面PACf所以月U丄蟲(chóng)D. 由三視團(tuán)可得』在^PAC中，PA = AC=4f D為PC的中點(diǎn)，所以Q丄円二 \\BCr\PC = CJ 所以Q丄平面PRC. ⑵ 由三視圖可得 BC =4，由（1 ）知

10、? ADC =90， BC _平面PAC， 又三棱錐D - ABC的體積即為三棱錐 B - ADC的體積, 所以，所求三棱錐的體積 VD ABC =1x： 1x：1如如疋厶二16. - 3 2 2 3 6 .一條光線經(jīng)過(guò) P(2,3)點(diǎn),射在直線l:x + y+ 1= 0上,反射后穿過(guò)點(diǎn) Q(1,1). (1)求入射光線的方程； (2) 求這條光線從P到Q的長(zhǎng)度. 9 【答案】(1) 5x — 4y + 2= 0. (2) ^41 【解析】試題分析；(1)設(shè)點(diǎn),八 為Q關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)且QQ'交［于札點(diǎn)，可得直線QM 的方程，與1聯(lián)立可得點(diǎn)」的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐

11、標(biāo)公式可得Q'的坐標(biāo)+設(shè)入射線與1交于點(diǎn)鵝利用Pf皿 $共線，得到入射光線PN的方程； (2) 利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PA即可. 試題解析： (1)設(shè)點(diǎn)L Z ?『)為Q關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)且2交1于］I點(diǎn). ，二切=1. ■ 所在直線方程為卩一 1=1 - (x _ 1) > 即 x — y—0. 由｛ jc +j + l = 0, 解得I與QQ的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔丄，-丄1 I 2 2丿 又??? M為QQ的中點(diǎn) 1 +x' 1 2 _ 2 ' x'= 由此得｛ 2 2 解得｛ 1 + y' 1 y'= =— 2 2、 設(shè)入射光線與 I交點(diǎn)為N

12、,則P、N Q共線. 又P(2,3),Q ' ( — 2, - 2),得入射光線的方程為 丫二2 = X二2 , 3+2 2 + 2 即 5x— 4y + 2 = 0. ⑵?/ l是QQ的垂直平分線,從而|NQ| =|NQ' ???|PN| + |NQ| = |PN| + |NQ' | =|PQ' | = J(3 + 2 , +( 2+2 $ =阿, 即這條光線從P到Q的長(zhǎng)度是 41. 點(diǎn)睛：在求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)，可以根據(jù)以下兩個(gè)條件列方程 (1) 兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)直線上； (2) 兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱(chēng)直線垂直 . 7 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A 0,

13、3，直線l : y = 2x -4與直線m : y = x -1的交點(diǎn)為圓C的 圓心，設(shè)圓C的半徑為1. (1) 過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； 1 (2) 過(guò)點(diǎn)A作斜率為一的直線I交圓于A , B兩點(diǎn)，求弦 AB的長(zhǎng). 2 4/5 【答案】(1)切線為y=3或3x+4y —12 =0;(2) AB =竺一 5 【解析】試題分析：⑴聯(lián)立j = 2x-4和尸工-1』解得點(diǎn)＜(3=2、則切線的斜率必存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)X63) 的圓U的切線方程為嚴(yán)Ax+3,則4^ = 1；解出上即可得方程 ⑵ 直線八工+2$-— 則圓 尿+ 1 心C到直線伽離対&=牛 根據(jù)勾股定理可得弦長(zhǎng)⑷|

14、試題解析： (1)由題設(shè)知，聯(lián)iy = 2x-4和pn—1,解得點(diǎn)0(良2), p王十1| 曲+1 則切線的斜率業(yè)存在』 設(shè)過(guò)點(diǎn)蟲(chóng)(Q3)的圓(7的粧戔方程為y = kx^f則 3 解得k =0 ,-，故切線為y =3或3x 4y -1^0 . 4 (2)直線l : x 2y-^0 ,則圓心C到直線l的距離為d — 5 , 5 則弦長(zhǎng) 2 2 MQ AP 二 o.aP 二 &已知點(diǎn)C為圓X 1 y=8的圓心，P是圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且有點(diǎn)A 1,0和AP 上的點(diǎn)M ，滿(mǎn)足 (1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程; (2) 若斜率為k的直線

15、I與圓X2 y2 -1相切，與(1 )中所求點(diǎn)Q的軌跡教育不同的兩點(diǎn) F,H, O是 坐標(biāo)原點(diǎn)，且3乞OF酣 4 5 【答案】 (1) x2 y2=1( 2) f 或-一程 k 一二 2 3 2 2 3 【解析】試題分析：(1)臨中線段/尸的垂直平分線，所以 \CP\^ \0C\ + \pP\ = \QC\^\QA\ 2^2> |Gi| = 2.所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C"為焦點(diǎn)」焦距為2,長(zhǎng)軸 為2血的橢圓」從而可得梆圓方程■⑵設(shè)直線二心十(卷Hh耳跳直線［與圓^ + / = 1 相切，可得滬二疋+1直絃方程與橢圓方程聯(lián)立可得；(1+2^)^+4^ + 2^-2 = 0^>0,可得

16、 七工0』再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系及其1|CX| = 2 所以點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn).C4為焦點(diǎn)，焦距為爼長(zhǎng)軸為2血的橢圜』 二 a — \f2,c = y/a1 — c1 = 1 故點(diǎn)女的軌跡方璨式y(tǒng) + /=l Nr (2)設(shè)直線 I ： y = kx b, F X1, y1 , H X2,y2 b 直線I與圓x2 + y2 =1相切二』 =1 n b2 = k2 +1 2 x 2 一 y 1

17、聯(lián)立｛ 2 dk2 +1 二(1 - 2k2) x2 4kbx 2b2 -2 =0 y = kx b 4kb 2b2 -2 X1 X2「2k2,X1X2S2k2 OF oH = x1x2 yiy2 二 1 k2 XjX2 kb 捲 x2 b2 1 k2 2b2 -2 2 1 2k + kb（"kb2）+ b2 1 2k J k2 2J4k2 k\1 ?k2 ,k2 ! 1+2k 2 1 2k 2 1 2k 所以 3 J2 !￡4=?k2 j='3 ￡k J2= 3 W2 或 4 1 +2k2 5 3 2 3 ^2 3 2 AV 為所求? 9.

18、如圖，在三棱錐 D-ABC中，已知△ BCD是正三角形，AB丄平面BCD,AB=BC=a,E為BC的中點(diǎn),F在棱AC上, 且 AF=3FC (1)求三棱錐D-ABC的體積 ⑵求證：平面DACL平面DEF; 3 ⑶ 若M為DB中點(diǎn),N在棱AC上,且CN= CA,求證:MN//平面 DEF 8 C 【答案】(1) 3 a3 ； (2)見(jiàn)解析; 12 (3) 見(jiàn)解析. 【解析】試題分析：(1)根據(jù)等積法，利用嶺亠貶求解。⑵ 由題意得DE±BC,又 AB —平面BCD，所以AB — DE,再線面垂直的判定得 DE —平面ABC，從而DE — AC。又根據(jù)題意 得到EF丄AC

19、,從而AC丄平面DEF ,根據(jù)面面垂直的判定可得平面 DACL平面DER( 3)連CM交DE CC 2 cf 2 于點(diǎn)C,則得 =一，又 二一，從而有OF //MN，根據(jù)線面平行的判定定理可得 MIN/平面DEF CM 3 CN 3 試題解析: (1)因?yàn)锳B _平面BCD, 所以AB是點(diǎn)A到平面BCD的距離, 所以V /BC -VA _BCD 1 3 SBCD 3 .3 3 a — a 12 （2）因?yàn)镸UD是正三角形，E為0C的中點(diǎn), 所以D西丄0C 因?yàn)?曲 丄平面BCD. DEu平面BCa 所以曲丄Q瓦 又因?yàn)镼E丄EC BCriAB=B:BC

20、u平面曲C曲 u平面ABC, 所以QE丄平面應(yīng)C』fi^Cc平面ABC, 所以DE丄 劭AECF與站側(cè)相饑 所以 ZCFE=ZCBAt 所以麗丄AC, 又因?yàn)?QE 丄 AC, DEcEF = E：EFu 平面QEF： DE c 平面DEF, 所以/C丄平面QEF, 因?yàn)?C u平面D/C, 所以平 面D/C丄平面 （3）連CM交DE于點(diǎn)O,則得 CO = 2 CM = 3 又因?yàn)? CF = 2 CN = 3 所以在面CMN中，OF//MN , 又OF 平面DEF，MN二平面DEF， 所以MN //平面DEF . 點(diǎn)睛：高考中對(duì)空間中線面位置關(guān)系的考查主要

21、體現(xiàn)在證明垂直、平行上，難度中等，主要考查線面平 行（垂直）間的相互轉(zhuǎn)化以及條件的尋求，解題時(shí)要結(jié)合圖形探索解題的思路和方法，注意添加適當(dāng)?shù)? 13 輔助線借以完成題目的求解，同時(shí)對(duì)解題過(guò)程的表達(dá)上要規(guī)范、完整，解題步驟到書(shū)寫(xiě)到位 10 ?如圖，三棱柱ABC -ABG中，底面ABC為正三角形， AA（ _底面ABC，且= AB = 3 , D 是BC的中點(diǎn). B （1） 求證： AB//平面ADG ； （2） 求證：平面 ADC, _平面DCC,； 9 （3） 在側(cè)棱CG上是否存在一點(diǎn)E，使得三棱錐C - ADE的體積是 ？若存在，求出CE的長(zhǎng)；若不 8 存在，說(shuō)明

22、理由? 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3） 3 【解析】試題分析；＜1＞連接4C交/q于點(diǎn)0,連仞』由三角形中位線的性質(zhì)得0DII4^.再根擔(dān) 線面平行的判定可得結(jié)論。＜2）先證的丄平面DCC}f再由面面垂直的判定定理可得平面QC；丄平面 ⑸ 假設(shè)存在點(diǎn)耳滿(mǎn)足題意，不妨設(shè)CEf 由吃一皿=兀.口可得懶從而可得點(diǎn)童確 實(shí)存在，且CE-屁 試題解析： ＜i）如圖，連接4匕交于點(diǎn)0,連m兒 ???四邊形匹心6點(diǎn)%為矩形， ???點(diǎn)為I 的中點(diǎn)? ?/ .為’的中點(diǎn)， ?/ di：匸平面 兀-;：i ,5 ■■■' .■-平面. ...A ,13//平面 ADC\.

23、 ⑵T底面ABC為正三角^D^BC的中點(diǎn)， .\AD1CD, ■/ CCS丄平面ABCAD匸平面ABCf -CCjLAD ■ ■ ■ …CC1 n cn = c ■ 5 二蟲(chóng)D丄平面 ■/ AD匸平面 二平面蟲(chóng)DC】丄平面DOC】 9 (3) 假設(shè)在側(cè)棱 '上存在一點(diǎn):,使三棱錐 ''的體積是^ ? 設(shè)，小.I . : ;：：!「 I x | x CD x 4D x CE = | <■ ■■砂 V j 113 3a/3 9 -X - X - X —— X W1 =- 即 3 2 2 2 8j 即CE =価. v 0< Vs < 3^ 9 二在

24、側(cè)犢°。上存在一點(diǎn)E使得三揍錐0一 ADE的體積是&此時(shí)CE =掐. 點(diǎn)、睛： <1）空間中線面位墨關(guān)系的證明，在細(xì)心看團(tuán)的基礎(chǔ)上將線面位墨關(guān)系判定的有關(guān)走理用團(tuán)形中的符號(hào)表 達(dá)岀來(lái)』達(dá)到解題的目的，解題時(shí)注意走理中的細(xì)節(jié)問(wèn)題，表達(dá)要完整。 （3）解決立休幾何中的採(cǎi)索性問(wèn)題，可先假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素存在，然后在此條件下進(jìn)行推理，看能否得 到矛看。若在推理中得到了矛盾的緒論，這說(shuō)明假設(shè)不成立，從而說(shuō)明所要的元素不存在,否則所聲的元 素存在* 11 .已知：三棱錐P - ABC中，側(cè)面PBC垂直底面， AB是底面最長(zhǎng)的邊；圖1是三棱錐P-ABC的 三視圖，其中的側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形；

25、圖 2是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的三棱錐 P-ABC的直觀圖 的一部分，其中點(diǎn) P在xOz平面內(nèi). （I）請(qǐng)?jiān)趫D2中將三棱錐 P- ABC的直觀圖補(bǔ)充完整，并指出三棱錐 P-ABC的哪些面是直角三角 形；陣=心= （n）設(shè)二面角 B-PA-C的大小為［，求tan a的值; （川）求點(diǎn)C到面PAB的距離. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） .6 （3） 【解析】試題分析：⑴由三視團(tuán)還原（如下團(tuán)）可知，面PBC丄面曲Uh為歐中點(diǎn)，PE丄面初6 /U丄面PBC,所以仙C和APC4是直角三甬形, = CH = 2, PH = 2書(shū)=4,FB = PC = BC =斗（R由等體積法由%_皿=嶺》可求得點(diǎn)

26、C到 15 試題解析：（I》補(bǔ)充完整的三棱錐P-ABC的直觀團(tuán)如團(tuán)所示; 罡直角三甬形. （n）如圖，過(guò)P作PH — BC交BC于點(diǎn) 由三視圖知OH二HC =2， PH =2.3， AC _ BC, AC =4 , ???在圖中所示的坐標(biāo)系下，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為: B 0,0,0 , C 4,0,0 , P 2,0,2 .3 , A 4,4,0 , BA 二 4,4,0 ， BP 二 2,0,2 .3， 乩 0,4,0 , -2,0,2,.3 . 設(shè)平面PAB、平面PAC的法向量分別為m= Xi,y

27、i,Zi , X2,y2,Z2 . 4xi 4% =0, 由 m BA = 0, m BP = 0 ,得｛ _ 2捲+2占乙=0, 令乙=1,得 x-^ = - 3 , y^ = . 3，即 m = -、、3, -、3,1 . 由 n CA =0 , n PC =0,得｛ 4y2 = 0 —2x2 ■ 2.3z2 - 0 3 7 -2 _ .7 令 Z2 =1 ,得 X2 =，3 , y2 = 0，即 n = \ 3,0,1 . cos m,n sin m,n 二竺 ' 7 T二面角0-尸/一0的犬小為銳角…：tans的值為 (III)記C到面

28、切的距離為為， 由 ￡(0,0,0). C(4:0±0),鞏20 洛卜 蟲(chóng)(44。)， 得 PA = ^(4-2)"+(0-4)3 +(2殲=W2、 AB=Q、PB=4, 又三棱錐P — 4BC的體積嶺.皿 由 ~ ^C-FJS、 可得: 12. (I)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上，拋物線上一點(diǎn) P m,1到焦點(diǎn)的距離為4,求拋物線的 標(biāo)準(zhǔn)方程； 2 2 (n)雙曲線C:冷―^=1 (a>0,b>0 )的左、右焦點(diǎn)分別為 R、F?, M (6,4 J3 )是雙曲線右支上 a b 一點(diǎn)，且|MFj |-|M

29、F2| =6，?求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程? 2 2 【答案】⑴ x2=12y; (2) — =1. 9 16 【解析】試題分析：(I )由題意設(shè)拋物線方程為*二2^>0>,根據(jù)定義可得-#二-3,求得p即可 得到方程；(II)由題意得MEIT肱引二6可知2*6,故“3,又皿(色4同在怨曲線上，代入坐標(biāo) 可得辦=4」從而得到曲線方程。 試題解析： < I )因?yàn)槭?｝在拋物線上，可設(shè)拋物線方程為云=2^>0), 由拋物線的定義可紙 到準(zhǔn)線尸一彳的距離為4, ￡ 2 解得P =6, 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/二12八 (n)由雙曲線定義及ImfJ-ImFzI =6可知2a =

30、6 , 所以a =3, 又因?yàn)镸 6,4、3是雙曲線上的點(diǎn)， 36 48 ’ 所以 2 一2 1 , a b 解得匹4 , 2 2 所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 —=1. 9 16 2 2 13 ?在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1: X2 y2 = 1 a b 0的左、右焦點(diǎn)分別為 F2, F2也是拋物 a b 線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=5. 3 (1) 求Ci的方程； (2) 平面上的點(diǎn)N滿(mǎn)足M^^MFi MF2，直線l //MN，且與G交于A B兩點(diǎn)，若OAOB=：0, 求直線I的方程? 2 2 【答案】

31、；(2) y = 6x —2.3，或 y = 6x 2 3 . (1)— 4 3 【解析】試題分析：(1)由拋輸線定義確定M點(diǎn)坐標(biāo).代人橢圓方程，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得 a =2,滬=3 <2)由面二碩+碩，直線得J與OM的斜率相同，再根^OA OB=^f 得珂花+ - Q.設(shè)直線方程y = ,并與橢圓萬(wàn)程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)走理代人化簡(jiǎn)可得m值 試題解析；(1)由 G：/=4xinJ5(i.o)# 設(shè)M(命丸M在C2±｝因?yàn)椋跘^| = |,所以西+ 1二扌, m在G上,且橢圓G的半焦距瞪=1,于是 4 _S_ ｛壽中房二1消去護(hù)并整理得9fl4-37o1+4=0? 解

32、得。二2 (口二丄不合題意，舍去). 3 故橢圓G的方程為鄉(xiāng)+ ￡“? 4 3 (2)由M胄 Mf2 =MN知四邊形MFiNF2是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O. 因?yàn)镮//MN，所以I與0M的斜率相同， 2 *6 故I的斜率k —3— >： 6 . 2 3 設(shè)I的方程為y = 6 x -m . 29 2 2 3x 4y =12, 由｛ y = .6 x -m . 設(shè) A Xi, , B X2,y2 , 因?yàn)镺A_OB, 所以x1x2 力y2 = 0 ? 消去y并化簡(jiǎn)得9x2 -16mx ? 8m2 -4 = 0 , 2 16m 8m -4

33、x1 x2 , x-i x2 9 9 x-x2 y1y^x1x2 6 % _m x2 _m 2 =7x1X2 -6m 為 X2 6m 2 8m -4 16m 2 =7 6m : 6m 9 9 1 2 二 14m -28 =0. 9 所以m二 2. 2 o 此時(shí)也=(16m) —4x9乂(8m2 —4 )a0, 故所求直線I的方程為y -2 ，或y =￡6x ? 2 3 . 14?已知過(guò)拋物線C : y2 =2px(p >0)的焦點(diǎn)F，斜率為J2的直線交拋物線于 代B兩點(diǎn)，且| AB| = 6. (1) 求該拋物線C的方程； (2) 已知過(guò)原點(diǎn)O作拋物

34、線的兩條弦 OD和OE，且OD _ OE，判斷直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理 由? 2 【答案】(1 ) y =4x (2) (4,0) 【解析】試題分析：(1)直線期的方程為：-彳］，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式根據(jù) |血| = 6列方程可求得p = 2,從而可得該拋物線C的方程直(2)直線DE的方程為：工二哪+匚聯(lián)立 廣 即十才，得於_4砂-= 根據(jù)韋迖走理及平面向量數(shù)量積公式可得24,從而可得結(jié)果* y =4x 二直線肋的方程為 聯(lián)立方程組｛ 2 試題解析：⑴ 拋物線的焦點(diǎn)F P --x-i x2 = 2 p, %x2 4 「? AB| = J補(bǔ)2&為 +x2

35、$ _4XjX2 =巧 J4p2 _ p2 =6 ???拋物線C的方程為： y2 =4x. (2)由(1)直線DE的斜率不為0,設(shè)直線DE的方程為： x二my ? t, x = my+t 2 聯(lián)立｛ 2 ，得 y- 4my - 4t = 0 , y 4x 則:-16m2 16t 0①. 設(shè) D Xi,yi , E X2,y2 ，貝V y- y^4m, y-y^ -4t. OD ?oE=X1X2 YlY2 = 2 16 y1y^ w 2 _4t =t2 _4t =0 所以t =4或t =0 （舍） 所以直線DE過(guò)定點(diǎn)(4,0 ) 15.如圖，已知拋物線C :

36、X2 = 4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線I交拋物線C于AB兩點(diǎn)，過(guò)代B作準(zhǔn)線的垂 線,垂足為P,Q,0為原點(diǎn). (1)求證:B,O, P三點(diǎn)共線; ⑵求三PFQ的大小. (2) 【解析】試題分析：⑴ 設(shè)直豈址嚴(yán)肚十芯代入拋物2訪程消元后，根振一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及 斜率公式可得%=%、所以可得三點(diǎn)共線。⑵ 通過(guò)帀冠=0可得Z円爐牛 試題解析: ⑴設(shè)直Hlzy = kx+K v =上+ 1 r 由V 1 消去y整理得＜一441一4=0 X =4j 設(shè)上(週/)』(花化)■ 則坷+ % =4拒畫(huà)花=—1= 所%%嚴(yán)如—二=切宀+J， 又線段0E0尸有公共點(diǎn)0』

37、 所以E0#三點(diǎn)共線. (2)因?yàn)? 孔 Xi, -2 所以 FP FQ= x1, -2 x2, -2 =%乂2 4 = -4 4 = 0 所以 -FQ , 3T 所以.PFQ二… 2 2 1 16 .已知拋物線 C: y2=2px過(guò)點(diǎn)P (1, 1).過(guò)點(diǎn)(0, )作直線I與拋物線 2 過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線 OP ON交于點(diǎn)A, B,其中O為原點(diǎn). (I)求拋物線 C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； C交于不同的兩點(diǎn) M, N, (n)求證：A為線段BM的中點(diǎn). 1 X . (2)見(jiàn)解析 4 =X.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程

38、為 4 【解析】試題分析：（I）代入點(diǎn)P求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; 【答案】（1）方程為y2 1 線I的方程為y二kx ? （ k = 0 ）,與拋物線方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系，及直線 2 （n）設(shè)直 on的方程為 y =^x，聯(lián)立求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 N , X2 ，再證明 y1 X1y2 -2x^0. X2 試題解析：（I）由拋物線C: y = 2px過(guò)點(diǎn) P (1,1),得 所以拋物線C的方程為y2二x. 1 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一，0）, 4 （II）由題竄 設(shè)直線1的方程為y = kx+- gg】與拋物線C的交點(diǎn)為M

39、（兀乃）『 ￡ =&+丄 由{y= ?得4芒云+（4帝一4）就+1 = 0. 則西十珂補(bǔ)占 因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為（b 1>,所決直線OP的方程為了 =… 點(diǎn)A的坐標(biāo)対（嗎$ } ? 直線on的方程為y — —x, 因?yàn)? X2 "J y . y2y1 _2Xl _ y“2 y2 0 —2x1x2 X2 I 1 ■. kx2 - x^2x1x2 2 X2 2k -2 x1x2 x2 x1 x (2k"4k 呆 X2 =0, 所以 yi - y" =2X1 . X2 故A為線段BM的中點(diǎn). 【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，當(dāng)看到

40、題目中出現(xiàn)直線與 圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系，找準(zhǔn) 題設(shè)條件 中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來(lái)即可，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來(lái)，可能需 要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量 17 ?已知橢圓 2 2 +占=1（a〉b:>0 ）的左右焦點(diǎn)分別為 a b Fi,F2，離心率為飛 3 ,直線y = kx與橢圓相交 于代B兩點(diǎn),|AF2| +|BF2| =2^3. （I）求橢圓的方程； （H）設(shè)M,N分別為線段AF2,BF2的中點(diǎn)，原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù) k的取值范圍 2 【

41、答案】(I) X ? y2 =1. ；(n) 3 【解析】試題分析：（I〉由橢圓的定義可得結(jié)合禽心率可求出G結(jié)合/二滬十止可求出山 故而可得橢圓的方程?。↖I）設(shè)/區(qū)小聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到爲(wèi)由題 意可得ZMF2N^ZMON為鈍角，將其輕化為向量的數(shù)量積瓦匸-麗即徑+1）球:>2』聯(lián)立可得 結(jié)果. 試題解析：（I >由I閩十隔|=加5得結(jié)合" ￡ =血丿得b = \｝故橢圓方程為 (II)設(shè)蟲(chóng)(和曲,月(-心f),曲立｛亍+ "=1得￡ =握^ (*) y-kx L 依題熱當(dāng)—0時(shí)，四邊形少創(chuàng)碼為平行四邊形，由原點(diǎn)。在臥顯N為直徑的圓內(nèi)，得 ZMF\N=ZMON為鈍

42、鼠 得麗 巫辺』即：（?！?孔—血廠旳）乜即卅+抹：>2 2 2 即k 1 xo 2.把*式代入得 3k2 1 ,得 3k2 ：：：1.得 6k「3 , 3 3 且k = 0當(dāng)k = 0時(shí)同樣 適合題意，所以, k的取值范圍為 3、、3 ,一 3 3 18 ?已知曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0,1的距離比它到直線 y二；的距離小2. (1) 求曲線C的方程； (2) 過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線I交曲線C于A , B兩點(diǎn)，若它，當(dāng)九丄S時(shí)，求k的取 ■ 12'3」 值范圍. 【答案】(1) x2 =4y ； (2) --2 〔4 【解析】試題分析：(1>由題意

43、得曲線C是以F(0, 1)為焦點(diǎn)‘ ^y=-l為準(zhǔn)線的翊線，進(jìn)而可得其方 程為去"八⑵ 設(shè)直線J為尸展+1,代入拋物纟妨程消去孑可得44氏設(shè)A tl>, E (矽 ya>,則碼+花=4広珂在=一4,由BF^>CBA得匹=】一丄，又 蜀 A 暉二佃+切 二卷+翌+ 2“斗二 +2』可構(gòu)造/'(對(duì)=藍(lán)+丄由函數(shù)的單調(diào)性可 —4 瑪孔 Xj jq X z—1 " 兀 [2 」 得2

44、跡是以F( 0, 1)為焦點(diǎn)，以y= - 1為準(zhǔn)線的拋物線， 設(shè)其方程為x2=2py(p 0), 由條件得p = 2 . ?-曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 =4y ； (2) 由題意設(shè)直線I的方程為y=kx+1 , y = kx +1 由r 2 消去y整理得X2—4kx-4 =0 , x =4y ???直線l與拋物線相交， 2 2 -4k 16 =16k 16 0, 設(shè) A (xi, yi), B (X2, y2),貝V 為 +x2 = 4k, x.|X2 =—4 , 即—X2,y2 )= (x— X2, y— y2), xi 1 1 二 I 一 一 x2 由 x

45、-i x2 = 4k, x1x2 =—4可得 -4 x1x2 」x2 2 亠1 ； _ ； 2, X? X〔 1 1 -1 ；3 iS/(x) = x+l1xE 則解")在［討上單調(diào)遞減。 由2<^^2<-^- —

46、 19 ?已知圓C過(guò)兩點(diǎn)M -3,3 , N 1,-5，且圓心C在直線2x-y-2=0 上. (I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (n)直線l過(guò)點(diǎn)-2,5且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A , B，若直線I的斜率k大于0,求k的取值范 圍； (川)在(n)的條件下，是否存在直線I使得弦AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn) P 3,-1 ,若存在，求出直線I的 方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 2 2 fi5 \ 【答案】(I) (x - 1) +y =25; (n) —，?::;(川)x+2y -仁0. 18 丿 【解析】試題分析：(1 )圓心C是順的垂直平分線與直線加-廠2=0的交點(diǎn)，CM長(zhǎng)為半徑，進(jìn)而可得圓的

47、方程, (II) 直線丄過(guò)點(diǎn)(-暑時(shí)且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，貝応到1的距離小于半徑，進(jìn)而得到k的取值范 動(dòng) (III) 求出AE的垂直平分線方程，將圓心坐標(biāo)代入求出斜率'迸而可得答案. 試題解析： (I) MT的垂直平分線方程為:x - 2y~ 1=0與細(xì)-y- 2=0聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)為C <1, 0) R^IcmI3- < - 3-1) 3+ (3-0)a=2E ■■-圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(X - 1) a+r=25 (II )設(shè)直線I的方程為：y-5=k (x+2 )即kx - y+2k+5=0，設(shè)C到直線I的距離為d, I 咨+51 則 d= ?: 2 由題意：d

48、v 5 即: 8k - 15k > 0 ??? kv 0 或 k> 又因?yàn)閗 > 0 15 ? k的取值范圍是( ，+s) (III )設(shè)符合條件的直線 I存在，則AB的垂直平分線方程為： 1 y+仁-：(x- 3)即：x+ky+k - 3=0 ???弦的垂直平分線過(guò)圓心( 1, 0).?.k- 2=0 即 k=2 ?/ k=2> 故符合條件的直線存在，I 1的方程：x+2y -仁0. 2 2 X y 20?已知橢圓C: 2 ? 2 =1 a?b .0的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓 C的長(zhǎng)軸長(zhǎng) a b 為直徑的圓

49、與直線 x y~2=0相切. (1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且不平行于 x軸的動(dòng)直線與橢圓 C相交于A、B兩點(diǎn)，探究在x軸上是否存在定點(diǎn) ? I E，使得EA 為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn) E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 04-0-2 1答案1( 1):宀1 ；(2)定點(diǎn)為 5,0 . 【解析】試題林⑴由橢斷何意義得再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得“飛 盤(pán)=血，^ = 1 (2)先根據(jù)問(wèn)量數(shù)量積化簡(jiǎn)EA EB ,再麻立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代人化 簡(jiǎn)得甌師4%+1艸+(十2} 1 +次 最后根JS k的任青?性確定點(diǎn)E的坐標(biāo)及定值 b-

50、c 0+0-2 試題解析：〔1)由題意知，3= 邁 a = y/l ,解得｛ b = \ , 2 x 2 y 1 聯(lián)立｛ 2 y 二k x-1 Xb 4k2 1 2k2 ,XaXb 2k2 -2 1 2k2 則橢圓C的方程為—+/ = L ￡ (2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 y = k x -1 k = 0 , 得 1 2k2 x2 —4k2x 2k2 —2 =0, r = 8k2 8 0 , 假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E X0,0，使得EA ￡B為定值， 二 EA EB =[Xa -心 yA Xb -X0, yB 1=XaXb -X0 Xa Xb %2 =英E _兀（兀1 +?！?斗+疋 比 一 L） E -1） ={1+巧丸吊-（％+2）（￡十勺）+%2+疋 _（2對(duì)-％+ 1）怒 + （好-2） 二 172? * 要使祐-麗為定值，則祐■亟的值與氐無(wú)關(guān)，二2皤一4兀+ 1 = 2（襯一2）, 解得花￡,此時(shí)EA EB=~為定值，定點(diǎn)為 4 16 \4