高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編概率.doc
2009年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編——概率
1、(湖北卷理) 3、投擲兩顆骰子,得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)(m+ni)(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為
A、 B、
C、 D、
3.【答案】C
2、(江蘇卷)5.現(xiàn)有5根竹竿,它們的長(zhǎng)度(單位:m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿,則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為 ▲ .
【解析】 考查等可能事件的概率知識(shí)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所求概率為0.2。
3、(安徽卷理)(10)考察正方體6個(gè)面的中心,甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線,乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線,則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于高.考.資.源.網(wǎng)
(A) (B) (C) (D)
A
B
C
D
E
F
[解析] 如圖,甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線,乙也從這
6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線,共有
種不同取法,其中所得的兩條直線相互平行但不重合有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
共12對(duì),所以所求概率為,選D
4、(福建卷)8.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%。現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),
指定1,2,3,4表示命中,5,6,,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果。經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為
A.0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15
8.【答案】:B
5、(廣東卷)12.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如右表.若,,則 , .
【解析】由題知,,,解得,.
6、(湖南卷) 13、一個(gè)總體分為A,B兩層,其個(gè)體數(shù)之比為4:1,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本,已知B層中甲、乙都被抽到的概率為,則總體中的個(gè)數(shù)數(shù)位 。
【答案】:40
7、(上海)7.某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者,若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù),則數(shù)學(xué)期望____________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).
8、(重慶卷)6.鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè),花生餡湯圓5個(gè),豆沙餡湯圓4個(gè),這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個(gè)湯圓,則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為( C )
A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9、(重慶卷)17.(本小題滿分13分,(Ⅰ)問(wèn)7分,(Ⅱ)問(wèn)6分)
某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為和,且各株大樹(shù)是否成活互不影響.求移栽的4株大樹(shù)中:
(Ⅰ)兩種大樹(shù)各成活1株的概率;
(Ⅱ)成活的株數(shù)的分布列與期望.w.w.
(17)(本小題13分)
解:設(shè)表示甲種大樹(shù)成活k株,k=0,1,2
表示乙種大樹(shù)成活l株,l=0,1,2
則,獨(dú)立. 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有
, .
據(jù)此算得
, , .
, , .
(Ⅰ) 所求概率為
.
(Ⅱ) 解法一:
的所有可能值為0,1,2,3,4,且
,
,
= ,
.
.
綜上知有分布列
0
1
2
3
4
P
1/36
1/6
13/36
1/3
1/9
從而,的期望為
(株)
解法二:
分布列的求法同上
令分別表示甲乙兩種樹(shù)成活的株數(shù),則
故有
從而知
10、(四川卷)18. (本小題滿分12分)
為振興旅游業(yè),四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡,向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱金卡),向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱銀卡)。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游,其中是省外游客,其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡,在省內(nèi)游客中有持銀卡。
(I)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客,求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率;
(II)在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客,設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望。
(18)本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算,考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
解:(Ⅰ)由題意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人,其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中,恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”,
事件為“采訪該團(tuán)3人中,1人持金卡,0人持銀卡”,
事件為“采訪該團(tuán)3人中,1人持金卡,1人持銀卡”。
所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人,恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。
…………………………………………………………6分
(Ⅱ)的可能取值為0,1,2,3
,
,,
所以的分布列為
0
1
2
3
所以, ……………………12分
11、(天津卷)(18)(本小題滿分12分)
在10件產(chǎn)品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件,求:
(I) 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II) 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小題主要考查古典概型及計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、互斥事件等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。
(Ⅰ)解:由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為,從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為,那么從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)= ,k=0,1,2,3.
所以隨機(jī)變量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
X的數(shù)學(xué)期望EX=
(Ⅱ)解:設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰好取出2件一等品“為事件A2,”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3而
P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,
所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++=
12、(浙江卷) 20090423
19.(本題滿分14分)在這個(gè)自然數(shù)中,任取個(gè)數(shù).
(I)求這個(gè)數(shù)中恰有個(gè)是偶數(shù)的概率;
(II)設(shè)為這個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如:若取出的數(shù)為,則有兩組相鄰的數(shù)
和,此時(shí)的值是).求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
解析:(I)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A,則;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)隨機(jī)變量的取值為的分布列為
0
1
2
P
所以的數(shù)學(xué)期望為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
13、(遼寧卷)(19)(本小題滿分12分)
某人向一目射擊4次,每次擊中目標(biāo)的概率為。該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分,第一、二、三部分面積之比為1:3:6。擊中目標(biāo)時(shí),擊中任何一部分的概率與其面積成正比。
(Ⅰ)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù),求X的分布列;
(Ⅱ)若目標(biāo)被擊中2次,A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”,求P(A)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(19)解:
(Ⅰ)依題意X的分列為
………………6分
(Ⅱ)設(shè)A1表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí),擊中第i部分”,i=1,2.
B1表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí),擊中第i部分”,i=1,2.
依題意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,
,
所求的概率為
………12分
14、(全國(guó)1)19.(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽,約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利,比賽結(jié)束,假設(shè)在一局中,甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,已知前2局中,甲、乙各勝1局。
(I)求甲獲得這次比賽勝利的概率;
(II)設(shè)表示從第3局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù),求得分布列及數(shù)學(xué)期望。
分析:本題較常規(guī),比08年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。
需提醒的是:認(rèn)真審題是前提,部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分,這是很可惜的,主要原因在于沒(méi)讀懂題。
另外,還要注意表述,這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。
15、(山東卷) (19)(本小題滿分12分)
在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投3次;在A處每投進(jìn)一球得3分,在B處每投進(jìn)一球得2分;如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃,否則投第三次,某同學(xué)在A處的命中率q為0.25,在B處的命中率為q,該同學(xué)選擇先在A處投一球,以后都在B處投,用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分,其分布列為
0
2
3
4
5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p
0.03
P1
P2
P3
P4
(1) 求q的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E;
(3) 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小。
解:(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.
根據(jù)分布列知: =0時(shí)=0.03,所以,q=0.8.
(2)當(dāng)=2時(shí), P1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
=0.75 q( )2=1.5 q( )=0.24
當(dāng)=3時(shí), P2 ==0.01,
當(dāng)=4時(shí), P3==0.48,
當(dāng)=5時(shí), P4=
=0.24
所以隨機(jī)變量的分布列為
0
2
3
4
5
p
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率為
;
該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過(guò)3分的概率為0.48+0.24=0.72.
由此看來(lái)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大.
【命題立意】:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運(yùn)用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
16、(全國(guó)卷2)20(本小題滿分12分)
某車(chē)間甲組有10名工人,其中有4名女工人;乙組有5名工人,其中有3名女工人,現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核。
(I)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù);
(II)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(III)記表示抽取的3名工人中男工人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
分析:(I)這一問(wèn)較簡(jiǎn)單,關(guān)鍵是把握題意,理解分層抽樣的原理即可。另外要注意此分層抽樣與性別無(wú)關(guān)。
(II)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上,這一問(wèn)處理起來(lái)也并不困難。
從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率
(III)的可能取值為0,1,2,3
,,
,
分布列及期望略。
評(píng)析:本題較常規(guī),比08年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。在計(jì)算時(shí),采用分類(lèi)的方法,用直接法也可,但較繁瑣,考生應(yīng)增強(qiáng)靈活變通的能力。
(江西卷)18.(本小題滿分12分)
某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè),現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專(zhuān)家,獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審.假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”,則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助;若只獲得一個(gè)“支持”,則給予5萬(wàn)元的資助;若未獲得“支持”,則不予資助,令表示該公司的資助總額.
(1) 寫(xiě)出的分布列; (2) 求數(shù)學(xué)期望.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解:(1)的所有取值為
(2).
17、(湖南卷)17.(本小題滿分12分)
為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類(lèi),這三類(lèi)工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、、,現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率;
(II)記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù),求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。
解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件 ,,,i=1,2,3.由題意知相互獨(dú)立,相互獨(dú)立,相互獨(dú)立,,,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互獨(dú)立,且P()=,P()=,P()=
(1) 他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率
P=3!P()=6P()P()P()=6=
(2) 解法1 設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為,由己已知,-B(3,),且=3。
所以P(=0)=P(=3)==,
P(=1)=P(=2)= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
P(=2)=P(=1)==
P(=3)=P(=0)= =
故的分布是
0
1
2
3
P
的數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3=2
解法2 第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件,
i=1,2,3 ,由此已知,D,相互獨(dú)立,且
P()-(,)= P()+P()=+=
所以--,既, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故的分布列是
1
2
3
18、(福建卷)16.(13分)
從集合的所有非空子集中,等可能地取出一個(gè)。
(1) 記性質(zhì)r:集合中的所有元素之和為10,求所取出的非空子集滿足性質(zhì)r的概率;
(2) 記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望E
16、解:(1)記”所取出的非空子集滿足性質(zhì)r”為事件A
基本事件總數(shù)n==31
事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}
事件A包含的基本事件數(shù)m=3
所以
(II)依題意,的所有可能取值為1,2,3,4,5
又, ,
,
故的分布列為:
1
2
3
4
5
P
從而E+2+3+4+5