《保險(xiǎn)精算學(xué)》筆記：多重?fù)p失模型

編號(hào)： 時(shí)間：2021年x月x日 書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟 頁(yè)碼：第7頁(yè) 共7頁(yè) 《保險(xiǎn)精算學(xué)》筆記：多重?fù)p失模型 第一節(jié)        簡(jiǎn)介 一、 背景介紹 如果被保險(xiǎn)人投保壽險(xiǎn)且在繳費(fèi)期間死亡，那就意味著他將獲得保險(xiǎn)賠付而且不再繳納保險(xiǎn)費(fèi)了。就這人而言，保險(xiǎn)人遭受到了損失。在前面七章中我們都是討論在以死亡為唯一損失變量時(shí)，各種保險(xiǎn)要素的確定。在實(shí)際中，除了死亡這個(gè)損失變量，我們可能還會(huì)遇到其它的提前終止繳費(fèi)的損失變量，比如，壽險(xiǎn)中，被保險(xiǎn)人退保；勞動(dòng)力計(jì)劃中，雇員辭職、殘疾或者退休等，都會(huì)對(duì)單一考慮死亡因素時(shí)的繳納——賠付之間的平衡構(gòu)成影響。多重?fù)p失模型就是在這種背景下產(chǎn)生的。 二、 多損失模型的構(gòu)造 1、兩變量模型 多種損失模型的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)兩變量模型。變量一是狀況終止的時(shí)間 ，在壽險(xiǎn)場(chǎng)合它可以表示為剩余壽命；變量二是狀況終止的原因 ，這是一個(gè)離散隨機(jī)變量，比如在壽險(xiǎn)場(chǎng)合，我們可以令 ,表示死亡， ，表示退保。           2、聯(lián)合密度函數(shù) 3、邊際分布函數(shù) 4、事件的概率 5、多重?fù)p失函數(shù) ：由原因 引起的，且損失發(fā)生在時(shí)間 之前的概率 ：由原因 引起的損失發(fā)生的概率 ： 的密度函數(shù) ： 的分布函數(shù) ：由各種原因引起的損失發(fā)生在時(shí)間 之前的概率 ：損失不會(huì)發(fā)生在時(shí)間 之前的概率 ： 時(shí)刻由原因 引起的損失效力 ： 時(shí)刻由各種原因引起的總損失效力 ：給定損失時(shí)間 ， 的條件概率 第二節(jié)        殘存組的確定 一、 隨機(jī)殘存組 1、  隨機(jī)殘存組的定義：考察一組 歲的 個(gè)生命，每一個(gè)生命的終止（損失）時(shí)間與原因的分布由下列聯(lián)合概率密度函數(shù)確定： 2、  隨即殘存組函數(shù) ：在年齡 與 之間因原因 而離開(kāi)的成員的期望個(gè)數(shù) ：在年齡 與 之間因各種原因而總共離開(kāi)的成員的期望個(gè)數(shù) ：原先 個(gè) 歲的成員在 歲時(shí)的期望殘存?zhèn)€數(shù) 二、 決定性殘存組 1、確定性殘存組的定義：總的損失效力可以看作總的損失率，而不作為條件密度函數(shù)。則一組 個(gè) 歲成員隨著年齡的增加按決定性損失效力演變 ，則原先 個(gè)歲成員在 歲時(shí)的殘存數(shù)為 2、確定性殘存組函數(shù) ：在年齡 與 之間因各種原因而離開(kāi)的成員數(shù) ：現(xiàn)年 歲，將來(lái)因?yàn)樵?而終結(jié)的個(gè)體數(shù) ：因原因 引起的損失效力 ：因各種原因引起的總損失效力 第三章        多重?fù)p失表的構(gòu)造 一、 單重?fù)p失函數(shù) 1、  絕對(duì)損失率 （1）       單重?fù)p失函數(shù)定義 （2）       絕對(duì)損失函數(shù)定義 稱為絕對(duì)損失率，是指原因 在 的決定過(guò)程中不與其它損失原因競(jìng)爭(zhēng)。它也稱為凈損失率（net probabilities of decrement）或獨(dú)立損失率(independent rate of decrement)。 2、  基本關(guān)系 由此可以推導(dǎo)出 3、  常數(shù)損失效力假定 （1）       假定：每一年內(nèi)死亡效力恒定，即 等價(jià)推出 （2）       關(guān)系時(shí)式 4、  多重?fù)p失均勻分布假定 （1）       假定： 每種損失在每一年內(nèi)均勻分布 等價(jià)推出 （2）       關(guān)系式 與常數(shù)損失效力假定情況下的關(guān)系式相同。 二、 多重?fù)p失表的構(gòu)造 1、  由單重?fù)p失函數(shù)推導(dǎo)多重?fù)p失函數(shù) 2、  多重?fù)p失表構(gòu)造 示例 年齡 單重?fù)p失表 多重?fù)p失表 …… …… 65 0.02 …… 0.04 0.01941 …… 0.03921 66 0.025 …… 0.06 0.02401 …… 0.05866 第 7 頁(yè) 共 7 頁(yè)