創(chuàng)新設(shè)計2022高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)29導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的運算隨堂訓(xùn)練文蘇教版

第9課時 導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的運算 一、填空題 1．函數(shù)f(x)＝2x2－1圖象上一點(1,1)及鄰近點(1＋Δx,1＋Δy)，那么＝________. 解析：我們把＝稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率，這里 ＝ 0時，―→4,4是f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 答案：4＋2Δx 2．曲線y＝2x3在x＝1處的切線的斜率是________． 解析：令y＝f(x)＝2x3，∴y′＝f′(x)＝6x2，∴f′(1)＝6. 答案：6 3．f(x)＝x2＋2xf′(1)，那么f′(0)等于________． 解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4， ∴f′(0)＝－4. 答案：－4 4．(2022·江蘇姜堰中學(xué)、如皋中學(xué)、淮陰中學(xué)、前黃中學(xué)四校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝x·ex， 那么f′(0)＝________. 解析：f′(x)＝(x·ex)′＝ex＋xex，∴f′(0)＝1. 答案：1 5．(南通市高三調(diào)研考試)曲線C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0處的切線方程為________. 解析：由f(x)＝sin x＋ex＋2得f′(x)＝cos x＋ex，從而f′(0)＝2，又f(0)＝3，所以切 線方程為y＝2x＋3. 答案：y＝2x＋3 6．(鹽城市調(diào)研測試)設(shè)P為曲線C：y＝x2－x＋1上一點，曲線C在點P處的切線的 斜率范圍是[－1，3]，那么點P縱坐標(biāo)的取值范圍是________． 解析：由題知，y′＝2x－1，所以－1≤2x－1≤3，即0≤x≤2. 此時y＝x2－x＋1＝2＋的值域為，故點P縱坐標(biāo)的取值范圍是. 答案： 7．(蘇北四市高三第二次聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝f′sin x＋cos x，那么f ＝________. 解析：由題意f′(x)＝f′()cos x－sin x，得f′( )＝f′·cos－sin， 即f′＝－1， ∴f(x)＝－sin x＋cos x，那么f ＝－sin＋cos＝0. 答案：0 二、解答題 8．求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝x2ex；(2)f(x)＝(2x＋1)ln x；(3)f(x)＝sin·cos(1＋2x)． 解：(1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex； (2)f′(x)＝((2x＋1)ln x)′＝(2x＋1)′ln x＋(2x＋1)·(ln x)′＝2ln x＋； (3)f(x)＝sin x(1＋2x)，f′(x)＝(sin x)′(1＋2x)＋sinx(1＋2x)′ ＝cos x(1＋2x)＋sin x·2xln 2. 9．(2022·句容高級中學(xué)高三調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x2＋aln x. (1)當(dāng)a＝－2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)假設(shè)g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由題意f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)a＝－2時，f′(x)＝， 令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0；當(dāng)x>1時，f′(x)>0； 所以f(x)的遞減區(qū)間為(0,1)，遞增區(qū)間為(1，＋∞)，極小值為f(1)＝1，無極大值． (2)由g(x)＝x2＋aln x＋得g′(x)＝2x＋－， 假設(shè)函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，那么g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立． 即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝－2x2，那么h′(x)＝－－4x<0 所以h(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，因此h(x)有最大值h(1)＝0，所以a的取值范圍是 [0，＋∞)． 10．(2022·金陵中學(xué)上學(xué)期期中卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝p－2ln x，g(x)＝(p是實數(shù)，e 是自然對數(shù)的底數(shù))． (1)當(dāng)p＝2時，求與函數(shù)y＝f(x)的圖象在點A(1,0)處相切的切線方程； (2)假設(shè)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)p的取值范圍； (3)假設(shè)在[1，e]上至少存在一點x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求實數(shù)p的取值范圍． 解：(1)∵f′(x)＝p＋－，當(dāng)p＝2時，點A(1,0)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上， ∴f′(1)＝2.那么y＝f(x)在該點處的切線方程為y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. (2)∵f′(x)＝，要使f(x)為單調(diào)增函數(shù)，須f′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立， 即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)恒成立，即p≥＝在(0，＋∞)恒成立， 又≤1，所以當(dāng)p≥1時，f(x)在(0，＋∞)為單調(diào)增函數(shù)； (3)因g(x)＝在[1，e]上為減函數(shù)，所以g(x)∈[2,2e]． ①當(dāng)p≤0時，f′(x)＝p＋－<0對于x∈[1，e]恒成立，那么f(x)在[1，e]上遞減， 所以f(x)max＝f(1)＝0<2，不合題意； ②當(dāng)p≥1時，由(2)知f(x)在[1，e]上遞增，f(x)min＝f(1)<2，又g(x)在[1，e]上為減函數(shù)， 故只需f(x)max>g(x)min，即f(e)＝p－2ln e>2，解得p>； ③當(dāng)0<p<1時，因x－≥0，所以f(x)＝p－2ln x≤x－－2ln x 由(2)知x－－2ln x在[1，e]上為增函數(shù)，所以x－－2ln x≤e－－2ln e<3－－2 ＝<2，不合題意．綜上，p的取值范圍為. 1．(創(chuàng)新題)設(shè)點P是曲線y＝x3－ x＋2上的任意一點，P點處切線的傾斜角為α， 那么角α的取值范圍是________． 解析：設(shè)P(x0，y0)，那么y′|x＝x0＝3x－ ，∴tan α＝3x－ ，∴tan α≥－ ， ∴α∈∪. 答案：∪ 2．曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程． 解：(1)∵y′＝x2，∴在點P(2,4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A， 那么切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝x.∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋.∵點P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.