橋梁結(jié)構(gòu)理論與計(jì)算方法 第十一章 薄壁箱梁扭轉(zhuǎn)理論

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1、11 薄 壁 箱 梁 的 扭 轉(zhuǎn) 理 論n 薄 壁 箱 梁 的 自 由 扭 轉(zhuǎn) 簡(jiǎn) 介n 薄 壁 箱 梁 的 約 束 扭 轉(zhuǎn)n 扭 轉(zhuǎn) 中 心 位 置n 等 截 面 連 續(xù) 梁 扭 轉(zhuǎn) 的 三 翹 曲 雙 力 矩 方 程n 有 限 差 分 方 程 建 立 及 分 析n 小 結(jié)n 本 章 參 考 文 獻(xiàn) 承 受 偏 心 荷 載 的 薄 壁 箱 梁 ， 將 產(chǎn) 生 扭 矩 ， 此 扭 矩 可 分 解 為 剛 性 扭轉(zhuǎn) 和 畸 變 力薄 壁 箱 梁 的 自 由 扭 轉(zhuǎn) 簡(jiǎn) 介(1)單 箱 單 室 箱 梁眾 所 周 知 ， 在 剪 應(yīng) 力 沿 箱 壁 均 勻 分 布 的 假 定 下 ， 單 室 箱 梁

2、 自 由 扭轉(zhuǎn) 時(shí) 下 列 兩 式 成 立 kMq dkGIM稱 為 Bredt第 一 公 式 ， 即 箱梁 薄 壁 中 線 所 包 圍 的 面 積的 兩 倍 ds 扭率 扭 轉(zhuǎn) 剛 度 ， 稱 為 Bredt第 二公 式 ， 自 由 扭 轉(zhuǎn) 慣 矩 ds/2dI扭 率 與 剪 切 變 形 的 關(guān) 系 為 ss d)( (2) 單 箱 多 室 箱 梁 對(duì) 于 單 箱 多 室 截 面 中 的 某 箱 室 有 ii Gsq d而 相 鄰 室 之 間 的 關(guān) 系 可 寫 為 GAsqsqsq oiiii 2ddd 1ii,11ii,1 第 室 周 邊 中 線所 包 圍 的 面 積 i 2/ioiA

3、第 室 左 、 右 腹 板 范 圍 內(nèi) 積 分 1ii, 1ii, i總 扭 矩 與 各 室 剪 力 流 的 關(guān) 系 為 ni kii Mq1 或 ni dii GIq1 整 個(gè) 截 面 的總 抗 扭 慣 矩 ni iid GqI 1 / 箱 室 總 數(shù) (3) 分 離 式 多 室 箱若 多 室 箱 型 梁 的 截 面 有 連 續(xù) 上 部 翼 板 ， 但 無 公 共 肋 板 和 公 共 下 翼 板 ，則 稱 為 分 離 式 的 多 室 箱 ， 如 上 圖 所 示 。 現(xiàn) 忽 略 上 部 聯(lián) 系 板 的 扭 轉(zhuǎn) 剪 應(yīng) 力 ， 剪 應(yīng) 力 的 分 布 同 單 箱 多 室 截 面 ， 但 沒 有

4、共 同 肋 板 的 剪 力 流 ： 分 離 式 多 室 箱 在 室 或 i GAsq ii 02d GAq ii ds2 0 ni ni iii GsAq1 1 20d4 ni ini id ssAI 1 21 20 dd4 由 于 一 個(gè) 室 的 抗 扭 慣 矩從 上 式 可 知 截 面 總 抗 扭 慣 矩 等 于各 個(gè) 分 離 室 的 抗 扭 慣 矩 之 和 ， 即 sAI idi d/4 20 ni did II 1 （ 4） 縱 向 位 移箱 梁 自 由 扭 轉(zhuǎn) 的 縱 向 位 移 為 )()()0,(),(),( 00 zszuszuszu 稱 廣 義 扇 性 坐標(biāo) ， 其 意 義

5、見后 s s ssss 0 0 d/dd)( 處 的 縱 向 位 移0s且均 沿 梁 縱 向 是 常 數(shù) ， 梁 縱 向 纖 維 無 伸 縮 應(yīng) 變 ， 不 產(chǎn) 生 正 應(yīng) 力)(),0,(0 zzu ),( szu薄 壁 箱 梁 的 約 束 扭 轉(zhuǎn)（ 1） 基 本 假 定 眾 所 周 知 ， 烏 曼 斯 基 閉 口 薄 壁 直 桿 約 束 扭 轉(zhuǎn) 理 論 應(yīng) 用 以 下 三 個(gè) 基本 假 定 ： 橫 截 面 的 周 邊 不 變 形 ； 橫 截 面 上 法 向 應(yīng) 力 和 剪 應(yīng) 力 沿 壁 厚 是 均 勻 分 布 的 ； 橫 截 面 上 縱 向 位 移 沿 本 截 面 的 分 布 規(guī) 律 與

6、 自 由 扭 轉(zhuǎn) 時(shí) 是 相 同 的 令 縱 向 位 移 為 ， 表 示 沿 跨 徑 ， 表 示 沿 橫 截 面 周 邊 。當(dāng) 閉 口 截 面 只 發(fā) 生 自 由 扭 轉(zhuǎn) 時(shí) ， 有),( szu z s )()()0,(),( 0 zszuszu 根 據(jù) 基 本 假 定 ， 閉 口 截 面 約 束 扭 轉(zhuǎn) 軸 向 位 移 為 )()()0,(),( 0 zszuszu 表 示 截 面 的 翹 曲 程 度 ， 它 與扭 轉(zhuǎn) 角 有 一 定 的 關(guān) 系)(z（ 2） 約 束 扭 轉(zhuǎn) 翹 曲 應(yīng) 力現(xiàn) 將 上 式 對(duì) 微 分 一 次 ， 則 有z )()(),()( szozuz 約 束 扭 轉(zhuǎn)

7、翹 曲 應(yīng) 力 為 )()(),( 0 szozuE 薄 壁 桿 件 的 坐 標(biāo) 系 由 于 翹 曲 應(yīng) 力 是 自 相 平 衡 的 ， 根 據(jù) 力 的 平 衡 ， 可 列 出 的 三 個(gè) 方 程 ，即 0d ,0 0yd ,0 0d ,0 sxM sM sN yxz 得 到 0d)()(d),( 0d)()(d),( 0d)()(d),(000 sxszsxozu syszsyozu sszsozu 對(duì) 截 面 的 扭 轉(zhuǎn) 中 心 而 言 ， 廣 義 扇 性 慣 性 矩 應(yīng) 該 為 零 ， 即 0d)( sxsI x 0d)( sysI y 當(dāng) 選 擇 適 當(dāng) 的 積 分 起 始 點(diǎn) （ 扇

8、 性 零 點(diǎn) ） 時(shí) ， 使 廣 義 扇 性 靜 矩 也 等 于零 ， 則 0dssS )(當(dāng) 截 面 對(duì) 稱 ， 扇 性 零 點(diǎn) 為 對(duì) 稱 軸 上 周 邊 的 交 點(diǎn) ， 則常 數(shù)0)0,( zu )0,(zu )()( zsE 不 難 看 出 ， 截 面 上 約 束 扭 轉(zhuǎn) 正 應(yīng) 力 的 分 布 是 和 廣 義 扇 性 坐 標(biāo)： 成 正 比 的 。 扇 性 零 點(diǎn) 的 物 理 意 義 是 ： 該 點(diǎn) 上 廣 義 扇 性 坐 標(biāo) 為 零 ，或 者 說 正 應(yīng) 力 為 零 ， 因 而 在 該 點(diǎn) 上 的 積 分 起 始 值 也 是 零 ， 故 )(s廣 義 扇 性 慣 矩 ： ssI s

9、d)(2)( 約 束 扭 轉(zhuǎn) 雙 力 矩 ： ssB d)( )(d)()( )( zEIsszEB s 故 而 約 束 扭 轉(zhuǎn) 翹 曲 應(yīng) 力 的 表 達(dá) 式 為 I sB )( 平 面 彎 曲 應(yīng) 力 IMy 相 似 如 上 圖 所 示 ， 取 箱 壁 上 點(diǎn) 的 微 分 單 元 體 進(jìn) 行 分 析 （ 下 圖 ） ， 根據(jù) 力 的 平 衡 條 件 ， 則 有 A 箱梁承受外扭矩 kM （ 3） 約 束 扭 轉(zhuǎn) 剪 應(yīng) 力 ds . dz e e s dz . dss e e 0zN 0dddd sssszz 0 sz s sz0 0d 積 分 常 數(shù) ， 它表 示 截 面 上 的初 始

10、剪 應(yīng) 力 微 分 單 元 現(xiàn) 將 代 入 得 到 s szsE00 d)()( s sszE 00 d)()( SzE )(0 s ssS 0 d)( 為 了 決 定 初 始 剪 力 流 ， 從 內(nèi) 外 力 矩 平 衡 條 件 得 到 0 dd d d00 sSzEs sISzEsM K )( )( dsSdszEdsM K )(0 由 于 （ 為 封 閉 截 面 中 線 圍 繞 的 面 積 ）02Ads sSzEMK d)(0 得 到 d d SzEM sSSzEM SzEsSzEMKKK )( )( )()( sSSS d 故 約 束 扭 轉(zhuǎn) 剪 應(yīng) 力 為 SzEMK )(可 見 ，

11、約 束 扭 轉(zhuǎn) 在 截 面 上 的 剪 應(yīng) 力 為 兩 項(xiàng) 剪 應(yīng) 力 之 和 。第 一 項(xiàng) 是 自 由 扭 轉(zhuǎn) 剪 應(yīng) 力第 二 項(xiàng) 是 由 于 約 束 正 應(yīng) 力 的 變 化 而 引 起 的 剪 應(yīng) 力約 束 扭 轉(zhuǎn) 剪 應(yīng) 力 也 可 以 用 扭 轉(zhuǎn) 雙 力 矩 表 示 Kk M SzE )( I SB平 面 彎 曲 剪 應(yīng) 力 類 似 IbQS 類 似 （ 4） 函 數(shù) 的 確 定約 束 扭 轉(zhuǎn) 翹 曲 應(yīng) 力 及 剪 應(yīng) 力 均 是 函 數(shù) 的 函 數(shù) ， 要 求 扭 轉(zhuǎn) 應(yīng) 力 ，則 應(yīng) 先 確 定 函 數(shù) )(z )(z之 值 。 因 此 ， 列 出 約 束 扭 轉(zhuǎn) 微 分 方

12、程 式)(z Gzvsu 當(dāng) 截 面 周 邊 不 變 形 時(shí) ， 切 線 位 移 為 )(zv 微 分 一 次 ， 則 有 ， 則)(zzv zvGsu )()( zSG zEGMsu K 積 分 得 s ssK szsSG zEsGMuu 0 000 d)(d)(d 為 滿 足 周 期 條 件 （ 沿 周 邊 積 分 一 圈 后 ） 故 有0uu 0d)(d)(d szsSG zEsGM K 對(duì) 再 微 分 一 次 ， 并 將 各 項(xiàng) 除 以 ， 而 且 將 代 入后 得 到z /ds sd0d)(dd)(dd 2 szGsSszEzM K )(dd )(d dd 22 稱 為 扇 性 慣

13、矩稱 為 自 由 扭 轉(zhuǎn) 慣 矩令 IsSsI IsI zMm dd Kt 則 td mzGIzEI )()( 此 式 不 可 能 同 時(shí) 解 出 和 兩 個(gè) 未 知 量 ， 需 要 另 外 尋 求 和 之間 的 關(guān) 系 式 。 )(z)(z將 廣 義 扇 性 坐 標(biāo) sdsss sIsssss 0000 ddddd)( 代 入 約 束 扭 轉(zhuǎn) 軸 向 位 移 中 并 略 去 坐 標(biāo) 標(biāo) 記 ， 則 有s s sd ssIzzuzu 0 00 dd)()()( 沿 微 分 一 次 ， 并 注 意 到 是 常 量 ， 得 到s )(0 zu 1)()( dIzszu由 于 則)(zzv )(1)

14、( zIzG zvsuG d 又 知約 束 扭 轉(zhuǎn) 剪 應(yīng) 力 不 引 起 外 扭 矩 sM K d d1 )()( )()( IzIIzG szIzGM d dK IIzzGIM dK 1)()( )()( zzGIMK 扭 轉(zhuǎn) 中 心 距 剪 力流 的 垂 直 距 離 截 面 的 極慣 性 矩 dsI 2 截 面 約 束 系 數(shù) （ 或 稱 翹 曲 系 數(shù) ） 的 大 小 反 映 了 截 面 受 約 束 的 程 度對(duì) 于 圓 形 截 面 故 ， 即 桿 件 上 只 有 自 由 扭 轉(zhuǎn) 發(fā) 生 IId1IId 0對(duì) 于 箱 形 截 面 ， 當(dāng) 箱 的 高 寬 比 較 大 時(shí) ， 與 差 別

15、也 愈 大 ， 值就 大 ， 截 面 上 約 束 扭 轉(zhuǎn) 應(yīng) 力 也 相 應(yīng) 要 大 一 些 dII （ 5） 閉 口 箱 梁 約 束 扭 轉(zhuǎn) 微 分 方 程對(duì)求 導(dǎo) 一 次 )()( zzGIMK GImzz t )()(代 入 td mzGIzEI )()( 得 到 tmEIzkz )()( 2 EIGIk d2對(duì) 固 端 梁 ： 當(dāng) 當(dāng) 0,0,0 z 0,0, lz 扭 轉(zhuǎn) 中 心 位 置設(shè) 以 扭 轉(zhuǎn) 中 心 為 極 點(diǎn) 的 扇 性 坐 標(biāo) 為 ， 形 心 為 極 點(diǎn) 的扇 形 坐 標(biāo) 為 則 有A A BB 0d 0d 0d Ay AxABBB可 由 求 ， 具 體 公 式 如 下

16、 B A Byx xyBA 約 束 扭 轉(zhuǎn) 微 分 方 程 A xBxBxx A yByByy I AxsII I AysII d)( d)( 由 于 箱 梁 形 心 總 在 對(duì) 稱 軸 上 ， 則 0B 分 別 為 沿 形 心 對(duì) 軸 的 慣 性矩 yx,分 別 為 沿 形心 對(duì) 軸的 扭 轉(zhuǎn) 慣 性矩 yx,等 截 面 連 續(xù) 梁 扭 轉(zhuǎn) 的 三 翹 曲 雙 力 矩 方 程 前 面 求 解 了 等 截 面 簡(jiǎn) 支 梁 或 懸 臂 梁 的 扭 轉(zhuǎn) 問 題 。 若 將 簡(jiǎn) 支 梁 的解 看 作 是 基 本 結(jié) 構(gòu) 的 解 答 ， 應(yīng) 用 力 法 的 概 念 ， 可 建 立 連 續(xù) 梁 扭 轉(zhuǎn)

17、的三 翹 曲 雙 力 矩 方 程 如 下 圖 所 示 ， 現(xiàn) 將 各 支 承 處 的 翹 曲 雙 力 矩 作 為 贅 余 未 知 力 ， 把圖 a） 中 各 支 承 處 的 翹 曲 變 形 放 松 ， 分 別 用 贅 余 雙 力 矩 代 之 ， 如 圖 b）所 示 ， 取 簡(jiǎn) 支 梁 為 基 本 體 系 ， （ 若 遇 自 由 端 可 取 一 端 鉸 支 一 端 自 由的 懸 臂 體 系 ） 連 續(xù) 梁 扭 轉(zhuǎn) 基 本 體 系a)原 結(jié) 構(gòu) ； b)基 本 體 系對(duì) 于 箱 梁 翹 曲 變 形 ， 以 作 為 未 知 量 ， 因 為 縱 向 剛 性 移 動(dòng) 對(duì) 翹 曲變 形 沒 有 影 響 ，

18、 而 扇 性 坐 標(biāo) 系 表 示 翹 曲 位 移 在 截 面 中 分 布 規(guī) 律 ， 則 表 示 翹 曲 沿 梁 縱 向 變 化 的 大 小 程 度 ， 因 此 在 連 續(xù) 箱 梁 分 析 中 只把 它 作 為 未 知 量 ， 而 且 有 了 它 ， 通 過 基 本 體 系 及 其 邊 界 條 件 ， 所 有內(nèi) 力 與 變 形 均 可 獲 解 。 現(xiàn) 將 單 位 雙 力 矩 引 起 的 翹 曲 變 形 用 系 數(shù)表 示 。 則 某 支 座 左 右 兩 側(cè) 梁 跨 在 支 座 處 的 翹 曲 變 形 為 0u 第 跨 對(duì) 支 座 的 翹 曲 變 形 ii 11, iiiiiiipi BB 右右右

19、 第 跨 對(duì) 支 座 的 翹 曲 的 變 形 1ii 11, iiiiiiipi BB 左左左根 據(jù) 相 鄰 兩 跨 在 支 座 處 的 相 對(duì) 翹 曲 為 零 的 變 形 協(xié) 調(diào) 條 件 ， 有 0)()( 11,11, 右左右左 ipipiiiiiiiiiii BBB 或 0 11,11, ipiiiiiiiii BBB 式 中 ： 端 單 位 雙 力 矩 對(duì) 端 產(chǎn) 生 的 翹 曲)1,1(, iiijji j i 點(diǎn) 左 右 單 位 雙 力 矩 引 起 的 翹 曲 之 和ii i 右左 iiiiii 為 左 右 跨 外 扭 矩 引 起 的 翹 曲 之 和 ip 右左 ipipip 式

20、中 最 多 含 三 個(gè) 未 知 雙 力 矩 ， 因 此 把 它 叫 做 三 翹 曲 雙 力 矩 方 程 。對(duì) 于 連 續(xù) 梁 每 一 個(gè) 支 座 都 可 以 列 出 這 樣 一 個(gè) 方 程 ， 因 而 可 以 解 出 全部 贅 余 雙 力 矩 。 可 按 力 法 原 理 用 疊 加 方 法 求 得 最 后 解 答 有 限 差 分 方 程 建 立 及 分 析 對(duì) 于 變 截 面 T型 剛 構(gòu) 橋 ， 可 以 看 作 是 兩 端 固 結(jié) 的 梁 來 進(jìn) 行 扭 轉(zhuǎn)分 析 。 這 時(shí) ， 采 用 差 分 法 較 為 方 便（ 1） 差 分 方 程將 約 束 扭 轉(zhuǎn) 微 分 方 程 改 寫 為 tmE

21、IkzEI 2)(由 于 雙 力 矩故 有 EIB tmBkB 2是 以 雙 力 矩 表 示 的 約 束 扭 轉(zhuǎn) 微 分 方 程 式 。 若 將 固 端 梁 分 成 6段 ，如 下 圖 所 示 ， 根 據(jù) 邊 界 條 件 寫 出 的 差 分 方 程 如 下B 差 分 格 式 )7()1(2)7()1()7(22)1()6( 2)6()2()7()6(22 )2()5( 2)5()3()6()5(22 )3()4( 2)4()4()5()4(22 )4()3( 2)3()3()4()3(22 )3()2( 2)2()2()3()2(22 )2()1( )1()1( 2)1()1()2()1(22

22、)1( 221 )2( )2( )2( )2( )2( 221 MmBkB mBBKB mBBKB mBBKB mBBKB mBBKB MmBBK t ttt ttt 式 中 ： 點(diǎn) 上 的 約 束 扭 轉(zhuǎn) 雙 力 矩)(iB i 7,6,5,4,3,2,1i )mKN( 2 計(jì) 算 參 數(shù) ， ， ， 此 處 認(rèn) 為 梁 為 對(duì) 稱 的)(iK iidii EIGIK idii II 1 點(diǎn) 上 的 分 布 外 扭 矩 ，)(imt i 7,2,1, i )m /mKN( 兩 端 點(diǎn) 上 的 外 扭 矩)(iM m )KN( 差 分 間 隔 )m( （ 2） 荷 載 布 置 及 扭 矩 計(jì)

23、算 如 圖 a為 某 等 級(jí) 汽 車 荷 載 的 橫 向 布 置 （ 兩 列 車 隊(duì) 為 例 ） 。 圖 b為 其 縱向 布 置 則 A 汽 車 荷 載 橫 向 布 置 b 汽 車 荷 載 縱 向 布 置 rj jrj jit il ep il epm 11)( )7,1( 12/2 )6,5,4,3,2,1( 6/2汽 )2/()( rrit bbbqm 人人 人汽 )()()( ititit mmm )7,6,5,4,3,2,1( i在 第 段 內(nèi) 的汽 車 軸 數(shù)i 第 個(gè) 汽 車 軸 重 （ KN）i 22 1 )()1( lmllePM nk itKK 人 221 )()7( lml

24、llePM nk itKK 人車 隊(duì) 數(shù) 小 結(jié) （ 1） 簡(jiǎn) 介 閉 口 截 面 自 由 扭 轉(zhuǎn) 的 計(jì) 算 公 式 根 據(jù) 烏 曼 斯 基 薄 壁 桿 件 彎 曲 扭 轉(zhuǎn) 理 論 ， 將 梁 視 為 理 想勻 質(zhì) 體 ， 推 導(dǎo) 出 約 束 扭 轉(zhuǎn) 微 分 方 程 ， （ 2） 有 限 差 分 方 程 解 出 約 束 扭 轉(zhuǎn) 的 近 似 值 （ 3） 給 出 了 連 續(xù) 梁 約 束 扭 轉(zhuǎn) 的 三 翹 曲 雙 力 矩 方 程 （ 4） 在 扭 轉(zhuǎn) 理 論 中 還 有 瑞 斯 納 （ Reissner） 引 進(jìn) 翹 曲系 數(shù) 利 用 泛 函 推 導(dǎo) 的 理 論 ， 該 理 論 比 烏 氏 理 論 精 確 。 （ 5） 烏 氏 理 論 計(jì) 算 結(jié) 果 偏 大 。 但 工 程 計(jì) 算 中 多 采 用 傳統(tǒng) 的 烏 氏 理 論 本 章 參 考 文 獻(xiàn)n 1捷克.V.克里斯特克著，何福照，吳德心譯.箱梁理論。北京：人民交通出版社，1988.n 2郭金瓊.箱梁設(shè)計(jì)理論.北京：人民交通出版社,1991.n 3李明昭等.橋梁結(jié)構(gòu)力學(xué).北京：人民交通出版社,1990.n 4CP.漢斯.薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn).北京：人民交通出版社,1980. n 5項(xiàng)海帆.高等橋梁結(jié)構(gòu)理論.北京：人民交通出版社，2001.