2017年高中物理 第6章 磁場對電流和運(yùn)動電荷的作用 第4講 洛倫茲力的應(yīng)用學(xué)案 魯科版選修3-1

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1、 第4講　洛倫茲力的應(yīng)用 [目標(biāo)定位]　1.知道洛倫茲力做功的特點(diǎn).2.掌握帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的規(guī)律和分析方法.3.知道回旋加速器、質(zhì)譜儀的原理以及基本用途． 一、帶電粒子在磁場中的運(yùn)動 1．垂直射入勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動電荷受到的洛倫茲力不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，而且與速度方向垂直，這表明，洛倫茲力對粒子不做功，它不改變粒子的速率，只改變粒子的運(yùn)動方向． 2．當(dāng)運(yùn)動電荷垂直射入勻強(qiáng)磁場中． (1)洛倫茲力提供向心力．即qvB＝. (2)軌道半徑r＝. (3)運(yùn)動周期T＝. 二、回旋加速器和質(zhì)譜儀 1．回旋加速器 回旋加速器的工作原理如圖1所示，D1和D2是

2、兩個中空的半圓金屬盒，它們之間有一定的電勢差U.A處粒子源產(chǎn)生的帶電粒子，在兩盒間被電場加速．勻強(qiáng)磁場B與兩個D形盒面垂直，所以粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動．經(jīng)過半個圓周后再次到達(dá)兩盒間的縫隙處，控制兩盒間的電勢差，使其恰好改變正負(fù)，于是粒子經(jīng)過盒縫時再次被加速．如此反復(fù)，粒子的速度就能增加到很大． 圖1 想一想　隨著粒子速度的增加，縫隙處電勢差的正負(fù)改變是否越來越快，以便能使粒子在縫隙處剛好被加速？ 答案　雖然粒子每經(jīng)過一次加速，其速度和軌道半徑就增大，但是粒子做圓周運(yùn)動的周期不變，所以電勢差的改變頻率保持不變就行． 2．質(zhì)譜儀 (1)原理如圖2所示 圖2 (2)加速：帶

3、電粒子進(jìn)入質(zhì)譜儀的加速電場，由動能定理： qU＝mv2① (3)偏轉(zhuǎn)：帶電粒子進(jìn)入質(zhì)譜儀的偏轉(zhuǎn)磁場，洛倫茲力提供向心力：qvB＝② (4)由①②兩式可以求出粒子的比荷、質(zhì)量、磁感應(yīng)強(qiáng)度等． (5)應(yīng)用：可以測定帶電粒子的質(zhì)量和分析同位素． 想一想　質(zhì)譜儀是如何區(qū)分同位素的呢？ 答案　由上述①②兩式可求得r＝，同種同位素電荷量相同，質(zhì)量不同，在質(zhì)譜儀熒光屏上顯示的半徑就不同，故能通過半徑大小區(qū)分同位素. 一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動 1．勻速直線運(yùn)動：若帶電粒子(不計(jì)重力)的速度方向與磁場方向平行(相同或相反)，此時帶電粒子所受洛倫茲力為零，帶電粒子將以入射速度v做勻速直線

4、運(yùn)動 2．勻速圓周運(yùn)動：若帶電粒子垂直磁場方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，洛倫茲力提供了勻速圓周運(yùn)動的向心力． 設(shè)粒子的速度為v，質(zhì)量為m，電量為q，由于洛倫茲力提供向心力，則有qvB＝m，得到軌道半徑r＝. 由軌道半徑與周期的關(guān)系得周期T＝＝＝. 溫馨提示　①由公式r＝知，軌道半徑跟運(yùn)動速率成正比；②由公式T＝知，周期跟軌道半徑和運(yùn)動速率均無關(guān)，而與比荷成反比． 例1　質(zhì)子和α粒子由靜止出發(fā)經(jīng)過同一加速電場加速后，沿垂直磁感線方向進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場，則它們在磁場中的各運(yùn)動量間的關(guān)系正確的是(　　) A．速度之比為2∶1 B．周期之比為1∶2 C．半徑之比為1∶2 D．角速度之比為1∶1

5、 答案　B 解析　由qU＝mv2　①　qvB＝?、冢胷＝，而mα＝4mH，qα＝2qH，故rH∶rα＝1∶，又T＝，故TH∶Tα＝1∶2.同理可求其他物理量之比． 二、帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動 1．著重把握“一找圓心，二求半徑，三定時間”的方法． (1)圓心的確定方法：兩線定一“心” ①圓心一定在垂直于速度的直線上． 如圖3甲所示已知入射點(diǎn)P(或出射點(diǎn)M)的速度方向，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作速度的垂線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓心. 圖3 ②圓心一定在弦的中垂線上． 如圖3乙所示，作P、M連線的中垂線，與其一速度的垂線的交點(diǎn)為圓心． (2)“求半徑” 方法①　由公式qv

6、B＝m，得半徑r＝ 方法②　由軌跡和約束邊界間的幾何關(guān)系求解半徑r (3)“定時間” 方法①　粒子在磁場中運(yùn)動一周的時間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動的圓弧所對應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動時間可由下式表示：t＝T(或t＝T)． 方法②　t＝(其中s為粒子軌跡的長度，即弧長)，在周期T不可知時可考慮上式． 2．圓心角與偏向角、圓周角的關(guān)系 兩個重要結(jié)論：①帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向之間的夾角φ叫做偏向角，偏向角等于圓弧軌道對應(yīng)的圓心角α，即α＝φ，如圖4所示． 圖4 ②圓弧軌道所對圓心角α等于PM弦與切線的夾角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如圖4所示． 例2　如圖5所示

7、，一束電荷量為e的電子以垂直于磁場方向(磁感應(yīng)強(qiáng)度為B)并垂直于磁場邊界的速度v射入寬度為d的磁場中，穿出磁場時速度方向和原來射入方向的夾角為θ＝60°.求電子的質(zhì)量和穿越磁場的時間． 圖5 答案　　 解析　過M、N作入射方向和出射方向的垂線，兩垂線交于O點(diǎn)，O點(diǎn)即電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心，連接ON，過N作OM的垂線，垂足為P，如圖所示．由直角三角形OPN知，電子的軌跡半徑r＝＝d① 由圓周運(yùn)動知evB＝m② 解①②得m＝. 電子在無界磁場中運(yùn)動周期為T＝·＝. 電子在磁場中的軌跡對應(yīng)的圓心角為θ＝60°，故電子在磁場中的運(yùn)動時間為t＝T＝×＝. 三、回旋加速器

8、問題 1．周期：周期T＝，由此看出：帶電粒子的周期與速率、半徑均無關(guān)，運(yùn)動相等的時間(半個周期)后進(jìn)入電場． 2．帶電粒子的最大能量：由r＝得，當(dāng)帶電粒子的速度最大時，其運(yùn)動半徑也最大，若D形盒半徑為R，則帶電粒子的最終動能Em＝.可見，要提高加速粒子的最終能量，應(yīng)盡可能增大磁感應(yīng)強(qiáng)度B和D形盒的半徑R. 例3　回旋加速器是用來加速一群帶電粒子使它們獲得很大動能的儀器，其核心部分是兩個D形金屬盒，兩盒分別和一高頻交流電源兩極相接，以便在盒內(nèi)的窄縫中形成勻強(qiáng)電場，使粒子每次穿過狹縫時都得到加速，兩盒放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圓心附近，若粒子源射出的

9、粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，粒子最大回旋半徑為Rmax.求： (1)粒子在盒內(nèi)做何種運(yùn)動； (2)所加交變電流頻率及粒子角速度； (3)粒子離開加速器時的最大速度及最大動能． 答案　(1)勻速圓周運(yùn)動　(2)　 (3)　 解析　(1)帶電粒子在盒內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，每次加速之后半徑變大． (2)粒子在電場中運(yùn)動時間極短，因此高頻交變電流頻率要符合粒子回旋頻率，因?yàn)門＝，回旋頻率f＝＝，角速度ω＝2πf＝. (3)由牛頓第二定律知＝qBvmax 則Rmax＝，vmax＝ 最大動能Ekmax＝mv＝ 借題發(fā)揮　(1)洛倫茲力永遠(yuǎn)不做功，磁場的作用是讓帶電粒子“轉(zhuǎn)圈圈”，電場的作用

10、是加速帶電粒子． (2)兩D形盒窄縫所加的是與帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動周期相同的交流電，且粒子每次過窄縫時均為加速電壓，每旋轉(zhuǎn)一周被加速兩次． (3)粒子射出時的最大速度(動能)由磁感應(yīng)強(qiáng)度和D形盒的半徑?jīng)Q定，與加速電壓無關(guān)． 四、質(zhì)譜儀 原理：利用磁場對帶電粒子的偏轉(zhuǎn)，由帶電粒子的電荷量、軌道半徑確定其質(zhì)量，粒子由加速電場加速后進(jìn)入速度選擇器，勻速運(yùn)動，電場力和洛倫茲力平衡qE＝qvB1，v＝粒子勻速直線通過進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場B2，偏轉(zhuǎn)半徑r＝，可得比荷＝. 溫馨提示?、偎俣冗x擇器兩極板間距離極小，粒子稍有偏轉(zhuǎn)，即打到極板上． ②速度選擇器對正負(fù)電荷均適用． ③速度選擇器中的E、B1的

11、方向具有確定的關(guān)系，僅改變其中一個方向，就不能對速度做出選擇． 例4　質(zhì)譜儀的構(gòu)造如圖6所示，離子從離子源出來經(jīng)過板間電壓為U的加速電場后進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，沿著半圓周運(yùn)動到達(dá)記錄它的照相底片上，測得圖中PQ的距離為L，則該粒子的比荷為多大？ 圖6 答案　 解析　粒子在電壓為U的電場中加速時，根據(jù)動能定理得： qU＝mv2① 粒子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律有： qvB＝m② r＝③ 解①②③得＝. 帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動 1．處于勻強(qiáng)磁場中的一個帶電粒子，僅在磁場力作用下做勻速圓周運(yùn)動．將該粒子的運(yùn)動等效為環(huán)形電流，那么此電流值(　　)

12、 A．與粒子電荷量成正比 B．與粒子速率成正比 C．與粒子質(zhì)量成正比 D．與磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比 答案　D 解析　假設(shè)帶電粒子的電荷量為q，在磁場中做圓周運(yùn)動的周期為T＝，則等效電流I＝＝， 故答案選D. 帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動 2．如圖7所示，在第Ⅰ象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一對正、負(fù)電子分別以相同速率沿與x軸成30°角的方向從原點(diǎn)射入磁場，則正、負(fù)電子在磁場中運(yùn)動的時間之比為(　　) 圖7 A．1∶2　　　 B．2∶1 C．1∶　　　 D．1∶1 答案　B 解析　正、負(fù)電子在磁場中運(yùn)動軌跡如圖所示，正電子做勻速圓周運(yùn)動在磁場中的部分對應(yīng)圓心角為1

13、20°，負(fù)電子圓周部分所對應(yīng)圓心角為60°，故時間之比為2∶1. 回旋加速器問題 3．回旋加速器是加速帶電粒子的裝置，其核心部分是分別與高頻交流電源相連接的兩個D形金屬盒，兩盒間的狹縫中形成的周期性變化的電場，使粒子在通過狹縫時都能得到加速，兩D形金屬盒處于垂直于盒底面的勻強(qiáng)磁場中，如圖8所示，要增大帶電粒子射出時的動能，下列說法中正確的是(　　) 圖8 A．增加交流電的電壓 B．增大磁感應(yīng)強(qiáng)度 C．改變磁場方向 D．增大加速器半徑 答案　BD 解析　當(dāng)帶電粒子的速度最大時，其運(yùn)動半徑也最大，由牛頓第二定律qvB＝m，得v＝.若D形盒的半徑為R，則R＝r時，帶電粒子

14、的最終動能Ekm＝mv2＝.所以要提高加速粒子射出的動能，應(yīng)盡可能增大磁感應(yīng)強(qiáng)度B和加速器的半徑R. 質(zhì)譜儀問題 4．A、B是兩種同位素的原子核，它們具有相同的電荷量、不同的質(zhì)量．為測定它們的質(zhì)量比，使它們從質(zhì)譜儀的同一加速電場由靜止開始加速，然后沿著與磁場垂直的方向進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場，打到照相底片上．如果從底片上獲知A、B在磁場中運(yùn)動軌跡的半徑之比是1.08∶1，求A、B的質(zhì)量比． 答案　1.17∶1 解析　A、B是兩種同位素的原子核，電荷量相同、質(zhì)量不同．其運(yùn)動過程分為兩步：一是在電場中加速，二是在磁場中偏轉(zhuǎn)． 設(shè)A、B的電荷量皆為q，質(zhì)量分別為mA和mB 則經(jīng)電壓為U的電場加速

15、時：qU＝mv2 在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場中偏轉(zhuǎn)時：r＝ 聯(lián)立解得：m＝ 即＝()2＝()2≈1.17∶1. 題組一　帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動 1．如圖1所示，ab是一彎管，其中心線是半徑為R的一段圓弧，將它置于一給定的勻強(qiáng)磁場中，方向垂直紙面向里．有一束粒子對準(zhǔn)a端射入彎管，粒子的質(zhì)量、速度不同，但都是一價負(fù)粒子，則下列說法正確的是(　　) 圖1 A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 B．只有質(zhì)量大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 C．只有質(zhì)量和速度乘積大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 D．只有動能大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 答案　C 解析

16、　由R＝可知，在相同的磁場，相同的電荷量的情況下，粒子做圓周運(yùn)動的半徑?jīng)Q定于粒子的質(zhì)量和速度的乘積． 2．如圖2所示，水平導(dǎo)線中有電流I通過，導(dǎo)線正下方的電子初速度的方向與電流I的方向相同，則電子將(　　) 圖2 A．沿路徑a運(yùn)動，軌跡是圓 B．沿路徑a運(yùn)動，軌跡半徑越來越大 C．沿路徑a運(yùn)動，軌跡半徑越來越小 D．沿路徑b運(yùn)動，軌跡半徑越來越小 答案　B 解析　由左手定則可判斷電子運(yùn)動軌跡向下彎曲．又由r＝知，B減小，r越來越大，故電子的徑跡是a.故選B. 3．如圖3所示，一帶電粒子(重力不計(jì))在勻強(qiáng)磁場中沿圖中軌道運(yùn)動，中央是一薄絕緣板，粒子在穿過絕緣板時有動能損失，

17、由圖可知(　　) 圖3 A．粒子的運(yùn)動方向是abcde B．粒子帶正電 C．粒子的運(yùn)動方向是edcba D．粒子在下半周期比上半周期所用時間長 答案　BC 題組二　帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動 4．空間存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，圖4中的正方形為其邊界．一細(xì)束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點(diǎn)入射．這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質(zhì)量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不計(jì)重力．下列說法正確的是(　　) 圖4 A．入射速度不同的粒子在磁場中的運(yùn)動時間一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡一定相同 C．在磁場中運(yùn)動時間相同的

18、粒子，其運(yùn)動軌跡一定相同 D．在磁場中運(yùn)動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大 答案　BD 解析　由于粒子比荷相同，由R＝可知速度相同的粒子軌跡半徑相同，運(yùn)動軌跡也必相同，B正確．對于入射速度不同的粒子在磁場中可能的運(yùn)動軌跡如圖所示，由圖可知，粒子的軌跡直徑不超過磁場邊界一半時轉(zhuǎn)過的圓心角都相同，運(yùn)動時間都為半個周期，而由T＝知所有粒子在磁場運(yùn)動周期都相同，A、C皆錯誤．再由t＝T＝可知D正確，故選B、D. 5．如圖5所示，有界勻強(qiáng)磁場邊界線SP∥MN，速率不同的同種帶電粒子從S點(diǎn)沿SP方向同時射入磁場．其中穿過a點(diǎn)的粒子速度v1與MN垂直；穿過b點(diǎn)的粒子速度v2與MN成60

19、°角，設(shè)粒子從S到a、b所需時間分別為t1和t2，則t1∶t2為(重力不計(jì))(　　) 圖5 A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2 答案　D 解析　如圖所示，可求出從a點(diǎn)射出的粒子對應(yīng)的圓心角為90°.從b點(diǎn)射出的粒子對應(yīng)的圓心角為60°.由t＝T，T＝，可得：t1∶t2＝3∶2，故選D. 6．如圖6所示，直角三角形ABC中存在一勻強(qiáng)磁場，比荷相同的兩個粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點(diǎn)射出，則(　　) 圖6 A．從P射出的粒子速度大 B．從Q射出的粒子速度大 C．從P射出的粒子，在磁場中運(yùn)動的時間長 D．兩粒子在磁場中運(yùn)動的時間一

20、樣長 答案　BD 解析　作出各自的運(yùn)動軌跡如圖所示，根據(jù)圓周運(yùn)動特點(diǎn)知，分別從P、Q點(diǎn)射出時，與AC邊夾角相同，故可判定從P、Q點(diǎn)射出時，半徑Rp＜RQ，由R＝，所以，從Q點(diǎn)射出的粒子速度大，B正確；根據(jù)圖示，可知兩個圓心角相等，由T＝，所以，從P、Q點(diǎn)射出時，兩粒子在磁場中的運(yùn)動時間相等．正確選項(xiàng)應(yīng)是B、D. 題組三　質(zhì)譜儀和回旋加速器問題 7．如圖7是質(zhì)譜儀的工作原理示意圖．帶電粒子被加速電場加速后，進(jìn)入速度選擇器．速度選擇器內(nèi)相互正交的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場的強(qiáng)度分別為B和E.平板S上有可讓粒子通過的狹縫P和記錄粒子位置的膠片A1A2.平板S下方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場．下列

21、表述正確的是(　　) 圖7 A．質(zhì)譜儀是分析同位素的重要工具 B．速度選擇器中的磁場方向垂直紙面向里 C．能通過狹縫P的帶電粒子的速率等于 D．粒子打在膠片上的位置越靠近狹縫P，粒子的荷質(zhì)比越小 答案　AC 解析　質(zhì)譜儀是測量帶電粒子的質(zhì)量和分析同位素的重要工具，故A選項(xiàng)正確；速度選擇器中電場力和洛倫茲力是一對平衡力，即：qvB＝qE，故v＝，根據(jù)左手定則可以確定，速度選擇器中的磁場方向垂直紙面向外，故B選項(xiàng)錯誤、C選項(xiàng)正確．粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑r＝，即粒子的比荷＝，由此看出粒子的運(yùn)動半徑越小，粒子打在膠片上的位置越靠近狹縫P，粒子的荷質(zhì)比越大，故D選項(xiàng)錯誤． 8．一

22、個用于加速質(zhì)子的回旋加速器，其核心部分如圖8所示，D形盒半徑為R，垂直D形盒底面的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，兩盒分別與交流電源相連．下列說法正確的是(　　) 圖8 A．質(zhì)子被加速后的最大速度隨B、R的增大而增大 B．質(zhì)子被加速后的最大速度隨加速電壓的增大而增大 C．只要R足夠大，質(zhì)子的速度可以被加速到任意值 D．不需要改變?nèi)魏瘟?，這個裝置也能用于加速α粒子 答案　A 解析　由r＝知，當(dāng)r＝R時，質(zhì)子有最大速度vm＝，即B、R越大，vm越大，vm與加速電壓無關(guān)，A對、B錯．隨著質(zhì)子速度v的增大、質(zhì)量m會發(fā)生變化，據(jù)T＝知質(zhì)子做圓周運(yùn)動的周期也變化，所加交流電與其運(yùn)動不再同步，即

23、質(zhì)子不可能一直被加速下去，C錯．由上面周期公式知α粒子與質(zhì)子做圓周運(yùn)動的周期不同，故此裝置不能用于加速α粒子，D錯． 題組四　綜合應(yīng)用 9．如圖9所示，兩個板間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶正電的質(zhì)子以速度v0從O點(diǎn)垂直射入．已知兩板之間距離為d.板長為d，O點(diǎn)是NP板的正中點(diǎn)，為使質(zhì)子能從兩板之間射出，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件(已知質(zhì)子帶電荷量為q，質(zhì)量為m)． 圖9 答案　≤B≤ 解析　如圖所示，由于質(zhì)子在O點(diǎn)的速度垂直于板NP，所以粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心O′一定位于NP所在的直線上． (1)如果質(zhì)子恰好從N點(diǎn)射出，R1＝，qv0B1＝.所以B1＝. (2

24、)如果質(zhì)子恰好從M點(diǎn)射出 R－d2＝(R2－)2，qv0B2＝m，得B2＝. 為使質(zhì)子能從兩板之間射出， 所以B應(yīng)滿足≤B≤. 10．如圖10所示，一個質(zhì)量為m，電荷量為－q，不計(jì)重力的帶電粒子從x軸上的P(a,0)點(diǎn)以速度v，沿與x軸正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限，求： 圖10 (1)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B； (2)穿過第一象限的時間． 答案　(1)　(2) 解析　(1)作出帶電粒子做圓周運(yùn)動的圓心和軌跡，由圖中幾何關(guān)系知： Rcos30°＝a，得：R＝ Bqv＝m得：B＝＝. (2)運(yùn)動時間：t＝·＝. 14