2019年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第五章 機(jī)械能 第1講 功 功率 動(dòng)能定理學(xué)案

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1、 第1講 功 功率 動(dòng)能定理 [高考命題解讀] 高考(全國卷)四年命題情況對照分析 1.考查方式 能量觀點(diǎn)是高中物理解決問題的三大方法之一,既在選擇題中出現(xiàn),也在綜合性的計(jì)算題中應(yīng)用,常將功、功率、動(dòng)能、勢能等基礎(chǔ)知識(shí)融入其他問題考查,也常將動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、功能關(guān)系作為解題工具在綜合題中應(yīng)用. 2.命題趨勢 通過比較,動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系的應(yīng)用在近兩年有增加的趨勢,常將功和能的知識(shí)和方法融入其他問題考查,情景設(shè)置為多過程,具有較強(qiáng)的綜合性. 題號 命題點(diǎn) 2013年 Ⅰ卷21題 將功率融入直線運(yùn)動(dòng)考查 Ⅱ卷20題 通過萬有引力與航天考查能量

2、問題 Ⅱ卷22題 通過實(shí)驗(yàn)考查彈性勢能的測量 Ⅱ卷24題 將動(dòng)能、動(dòng)能定理融入電場中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行考查 2014年 Ⅰ卷16題 將動(dòng)能知識(shí)融入帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)考查 Ⅰ卷25題 通過帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)綜合考查動(dòng)能知識(shí) Ⅱ卷15題 結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)考查動(dòng)能、勢能知識(shí) Ⅱ卷16題 通過摩擦力做功考查做功知識(shí) 2015年 Ⅰ卷17題 在單物體多過程中考查功能關(guān)系 Ⅰ卷21題 將機(jī)械能知識(shí)融入天體運(yùn)動(dòng)考查 Ⅱ卷17題 通過機(jī)車啟動(dòng)模型考查功和功率問題 Ⅱ卷21題 通過連接體模型綜合考查機(jī)械能守恒定律和運(yùn)動(dòng)的合成與分解 Ⅱ卷24題 通過帶電粒子在電場中

3、的運(yùn)動(dòng)考查動(dòng)能定理的應(yīng)用 2016年 Ⅰ卷20題 在電場中考查物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、勢能關(guān)系 Ⅰ卷22題 在直線運(yùn)動(dòng)中綜合考查加速度求解及機(jī)械能守恒定律 Ⅰ卷25題 通過單物體多過程考查動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系的靈活應(yīng)用 Ⅱ卷16題 將動(dòng)能融入在曲線運(yùn)動(dòng)考查 Ⅱ卷21題 通過彈簧模型綜合考查彈力做功、功率、機(jī)械能守恒定律 Ⅱ卷25題 通過單物體多過程考查彈性勢能、機(jī)械能守恒定律 Ⅲ卷20題 在曲線運(yùn)動(dòng)中考查摩擦力做功問題 Ⅲ卷24題 通過單物體多過程考查動(dòng)能的計(jì)算 一、功 1.定義:一個(gè)物體受到力的作用,如果在力的方向上發(fā)生了一段位移,就說這個(gè)

4、力對物體做了功. 2.必要因素:力和物體在力的方向上發(fā)生的位移. 3.物理意義:功是能量轉(zhuǎn)化的量度. 4.計(jì)算公式 (1)恒力F的方向與位移l的方向一致時(shí):W=Fl. (2)恒力F的方向與位移l的方向成某一夾角α?xí)r:W=Flcosα. 5.功的正負(fù) (1)當(dāng)0≤α<時(shí),W>0,力對物體做正功. (2)當(dāng)<α≤π時(shí),W<0,力對物體做負(fù)功,或者說物體克服這個(gè)力做了功. (3)當(dāng)α=時(shí),W=0,力對物體不做功. 6.一對作用力與反作用力的功 做功情形 圖例 備注 都做正功 (1)一對相互作用力做的總功與參考系無關(guān) (2)一對相互作用力做的總功W=Flcosα.l

5、是相對位移,α是F與l間的方向夾角 (3)一對相互作用力做的總功可正、可負(fù),也可為零 都做負(fù)功 一正一負(fù) 一為零 一為正 一為負(fù) 7.一對平衡力的功 一對平衡力作用在同一個(gè)物體上,若物體靜止,則兩個(gè)力都不做功;若物體運(yùn)動(dòng),則這一對力所做的功一定是數(shù)值相等,一正一負(fù)或均為零. 二、功率 1.定義:功與完成這些功所用時(shí)間的比值. 2.物理意義:描述力對物體做功的快慢. 3.公式: (1)P=,P為時(shí)間t內(nèi)物體做功的快慢. (2)P=Fv ①v為平均速度,則P為平均功率. ②v為瞬時(shí)速度,則P為瞬時(shí)功率. ③當(dāng)力F和速度v不在同一直線上時(shí),可以將力F

6、分解或者將速度v分解. [深度思考] 由公式P=Fv得到F與v成反比正確嗎? 答案 不正確,在P一定時(shí),F(xiàn)與v成反比. 三、動(dòng)能 動(dòng)能定理 1.動(dòng)能 (1)定義:物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能叫動(dòng)能. (2)公式:Ek=mv2. (3)矢標(biāo)性:動(dòng)能是標(biāo)量,只有正值. (4)狀態(tài)量:動(dòng)能是狀態(tài)量,因?yàn)関是瞬時(shí)速度. 2.動(dòng)能定理 (1)內(nèi)容:在一個(gè)過程中合外力對物體所做的功,等于物體在這個(gè)過程中動(dòng)能的變化量. (2)表達(dá)式:W=mv22-mv12=Ek2-Ek1. (3)適用條件: ①既適用于直線運(yùn)動(dòng),也適用于曲線運(yùn)動(dòng). ②既適用于恒力做功,也適用于變力做功. ③力可以是各

7、種性質(zhì)的力,既可以同時(shí)作用,也可以分階段作用. (4)應(yīng)用技巧:若整個(gè)過程包含了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同的分過程,既可以分段考慮,也可以整個(gè)過程考慮. [深度思考] 物體的速度改變,動(dòng)能一定改變嗎? 答案 不一定.如勻速圓周運(yùn)動(dòng). 1.(粵教版必修2P67第5題)用起重機(jī)將質(zhì)量為m的物體勻速吊起一段距離,那么作用在物體上的各力做功情況應(yīng)是下列說法中的哪一種?(  ) A.重力做正功,拉力做負(fù)功,合力做功為零 B.重力做負(fù)功,拉力做正功,合力做正功 C.重力做負(fù)功,拉力做正功,合力做功為零 D.重力不做功,拉力做正功,合力做正功 答案 C 2.(粵教版必修2P77第2題)(多選)

8、一個(gè)物體在水平方向的兩個(gè)恒力作用下沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),若撤去其中的一個(gè)力,則(  ) A.物體的動(dòng)能可能減少 B.物體的動(dòng)能可能不變 C.物體的動(dòng)能可能增加 D.余下的力一定對物體做功 答案 ACD 3.(多選)關(guān)于功率公式P=和P=Fv的說法正確的是(  ) A.由P=知,只要知道W和t就可求出任意時(shí)刻的功率 B.由P=Fv既能求某一時(shí)刻的瞬時(shí)功率,也可以求平均功率 C.由P=Fv知,隨著汽車速度的增大,它的功率也可以無限增大 D.由P=Fv知,當(dāng)汽車發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定時(shí),牽引力與速度成反比 答案 BD 4.(人教版必修2P59第1題改編)如圖1所示,兩個(gè)物體與水平

9、地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等,它們的質(zhì)量也相等.在甲圖中用力F1拉物體,在乙圖中用力F2推物體,夾角均為 α,兩個(gè)物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng),通過相同的位移.設(shè)F1和F2對物體所做的功分別為W1和W2,物體克服摩擦力做的功分別為W3和W4,下列判斷正確的是(  ) 圖1 A.F1=F2 B.W1=W2 C.W3=W4 D.W1-W3=W2-W4 答案 D 5.有一質(zhì)量為m的木塊,從半徑為r的圓弧曲面上的a點(diǎn)滑向b點(diǎn),如圖2所示.若由于摩擦使木塊的運(yùn)動(dòng)速率保持不變,則以下敘述正確的是(  ) 圖2 A.木塊所受的合外力為零 B.因木塊所受的力都不對其做功,所以合外力做的功為零 C

10、.重力和摩擦力的合力做的功為零 D.重力和摩擦力的合力為零 答案 C 命題點(diǎn)一 功的分析與計(jì)算 1.常用辦法:對于恒力做功利用W=Flcosα;對于變力做功可利用動(dòng)能定理(W=ΔEk);對于機(jī)車啟動(dòng)問題中的定功率啟動(dòng)問題,牽引力的功可以利用W=Pt. 2.幾種力做功比較 (1)重力、彈簧彈力、電場力、分子力做功與位移有關(guān),與路徑無關(guān). (2)滑動(dòng)摩擦力、空氣阻力、安培力做功與路徑有關(guān). (3)摩擦力做功有以下特點(diǎn): ①單個(gè)摩擦力(包括靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力)可以做正功,也可以做負(fù)功,還可以不做功. ②相互作用的一對靜摩擦力做功的代數(shù)和總等于零;相互作用的一對滑動(dòng)摩擦力做功

11、的代數(shù)和不為零,且總為負(fù)值. ③相互作用的一對滑動(dòng)摩擦力做功過程中會(huì)發(fā)生物體間機(jī)械能轉(zhuǎn)移和機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,內(nèi)能Q=Ffx相對. 例1 (2014·新課標(biāo)Ⅱ·16)一物體靜止在粗糙水平地面上.現(xiàn)用一大小為F1的水平拉力拉動(dòng)物體,經(jīng)過一段時(shí)間后其速度變?yōu)関.若將水平拉力的大小改為F2,物體從靜止開始經(jīng)過同樣的時(shí)間后速度變?yōu)?v.對于上述兩個(gè)過程,用WF1、WF2分別表示拉力F1、F2所做的功,Wf1、Wf2分別表示前后兩次克服摩擦力所做的功,則(  ) A.WF2>4WF1,Wf2>2Wf1 B.WF2>4WF1,Wf2=2Wf1 C.WF2<4WF1,Wf2=2Wf1 D.WF2<

12、4WF1,Wf2<2Wf1 物體從靜止開始經(jīng)過同樣的時(shí)間. 答案 C 解析 根據(jù)x=t得,兩過程的位移關(guān)系x1=x2,根據(jù)加速度的定義a=,得兩過程的加速度關(guān)系為a1=.由于在相同的粗糙水平地面上運(yùn)動(dòng),故兩過程的摩擦力大小相等,即Ff1=Ff2=Ff,根據(jù)牛頓第二定律得,F(xiàn)1-Ff1=ma1,F(xiàn)2-Ff2=ma2,所以F1=F2+Ff,即F1>.根據(jù)功的計(jì)算公式W=Fl,可知Wf1=Wf2,WF1>WF2,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤. 判斷力是否做功及做正、負(fù)功的方法 1.看力F的方向與位移l的方向間的夾角α——常用于恒力做功的情形. 2.看力F的方向與速度v的方向間的夾

13、角α——常用于曲線運(yùn)動(dòng)的情形. 3.根據(jù)動(dòng)能的變化:動(dòng)能定理描述了合外力做功與動(dòng)能變化的關(guān)系,即W合=ΔEk,當(dāng)動(dòng)能增加時(shí)合外力做正功;當(dāng)動(dòng)能減少時(shí)合外力做負(fù)功. 1.如圖3所示,質(zhì)量為m的物體置于傾角為θ的斜面上,物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,在外力作用下,斜面以加速度a沿水平方向向左做勻加速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)中物體m與斜面體相對靜止.則關(guān)于斜面對m的支持力和摩擦力的下列說法中錯(cuò)誤的是(  ) 圖3 A.支持力一定做正功 B.摩擦力一定做正功 C.摩擦力可能不做功 D.摩擦力可能做負(fù)功 答案 B 解析 支持力方向垂直斜面向上,故支持力一定做正功.而摩擦力是否存在需要討論,若

14、摩擦力恰好為零,物體只受重力和支持力,如圖所示,此時(shí)加速度a=gtanθ,當(dāng)a>gtanθ時(shí),摩擦力沿斜面向下,摩擦力與位移夾角小于90°,則做正功;當(dāng)a

15、 1.平均功率與瞬時(shí)功率 (1)平均功率的計(jì)算方法 ①利用=. ②利用=Fcosα,其中為物體運(yùn)動(dòng)的平均速度. (2)瞬時(shí)功率的計(jì)算方法 ①利用公式P=Fvcosα,其中v為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度. ②P=FvF,其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度. ③P=Fvv,其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力. 2.機(jī)車的兩種啟動(dòng)模型 啟動(dòng)方式 恒定功率啟動(dòng) 恒定加速度啟動(dòng) P-t圖和 v-t圖 3.機(jī)車啟動(dòng)問題常用的三個(gè)公式 (1)牛頓第二定律:F-Ff=ma. (2)功率公式:P=F·v. (3)速度公式:v=at. 說明:F為牽引

16、力,F(xiàn)f為機(jī)車所受恒定阻力. 例2 在檢測某種汽車性能的實(shí)驗(yàn)中,質(zhì)量為3×103kg的汽車由靜止開始沿平直公路行駛,達(dá)到的最大速度為40m/s,利用傳感器測得此過程中不同時(shí)刻該汽車的牽引力F與對應(yīng)速度v,并描繪出如圖4所示的F-圖象(圖線ABC為汽車由靜止到達(dá)到最大速度的全過程,AB、BO均為直線).假設(shè)該汽車行駛中所受的阻力恒定,根據(jù)圖線ABC: 圖4 (1)求該汽車的額定功率; (2)該汽車由靜止開始運(yùn)動(dòng),經(jīng)過35s達(dá)到最大速度40m/s,求其在BC段的位移. ①最大速度在圖象中對應(yīng)的力;②AB、BO均為直線. 答案 (1)8×104W (2)75m 解析 (1)由圖線分

17、析可知:圖線AB表示牽引力F不變即F=8000N,阻力Ff不變,汽車由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng);圖線BC的斜率表示汽車的功率P不變,達(dá)到額定功率后,汽車所受牽引力逐漸減小,汽車做加速度減小的變加速直線運(yùn)動(dòng),直至達(dá)到最大速度40m/s,此后汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng). 由圖可知:當(dāng)最大速度vmax=40m/s時(shí),牽引力為Fmin=2000N 由平衡條件Ff=Fmin可得Ff=2000N 由公式P=Fminvmax得額定功率P=8×104W. (2)勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度vB=,代入數(shù)據(jù)解得vB=10m/s 汽車由A到B做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為 a==2m/s2 設(shè)汽車由A到B所用時(shí)間為t1,由B

18、到C所用時(shí)間為t2,位移為x,則t1==5s,t2=35s-5s=30s B點(diǎn)之后,對汽車由動(dòng)能定理可得 Pt2-Ffx=mvC2-mvB2,代入數(shù)據(jù)可得x=75m. 1.求解功率時(shí)應(yīng)注意的“三個(gè)”問題 (1)首先要明確所求功率是平均功率還是瞬時(shí)功率; (2)平均功率與一段時(shí)間(或過程)相對應(yīng),計(jì)算時(shí)應(yīng)明確是哪個(gè)力在哪段時(shí)間(或過程)內(nèi)做功的平均功率; (3)瞬時(shí)功率計(jì)算時(shí)應(yīng)明確是哪個(gè)力在哪個(gè)時(shí)刻(或狀態(tài))的功率. 2.機(jī)車啟動(dòng)中的功率問題 (1)無論哪種啟動(dòng)過程,機(jī)車的最大速度都等于其勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度,即vm==(式中Fmin為最小牽引力,其值等于阻力F阻). (2)機(jī)

19、車以恒定加速度啟動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過程中,勻加速過程結(jié)束時(shí),功率最大,但速度不是最大,v=

20、繼續(xù)加速,由P2=F2v可知F2減小,又因F2-Ff=ma2,所以加速度逐漸減小,直到F2=Ff時(shí),速度最大vm′=,此后汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng).綜合以上分析可知選項(xiàng)A正確. 4.一起重機(jī)的鋼繩由靜止開始勻加速提起質(zhì)量為m的重物,當(dāng)重物的速度為v1時(shí),起重機(jī)的功率達(dá)到最大值P,以后起重機(jī)保持該功率不變,繼續(xù)提升重物,直到以最大速度v2勻速上升,重物上升的高度為h,則整個(gè)過程中,下列說法正確的是(  ) A.鋼繩的最大拉力為 B.鋼繩的最大拉力為mg C.重物勻加速的末速度為 D.重物勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為-g 答案 D 解析 加速過程重物處于超重狀態(tài),鋼繩拉力較大,勻速運(yùn)動(dòng)階段鋼繩的拉

21、力為,故A錯(cuò)誤;加速過程重物處于超重狀態(tài),鋼繩拉力大于重力,故B錯(cuò)誤;重物勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度不是運(yùn)動(dòng)的最大速度,此時(shí)鋼繩對重物的拉力大于其重力,故其速度小于,故C錯(cuò)誤;重物勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度為v1,此時(shí)的拉力為F=,由牛頓第二定律得:a==-g,故D正確. 命題點(diǎn)三 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 1.動(dòng)能定理 (1)三種表述 ①文字表述:所有外力對物體做的總功等于物體動(dòng)能的增加量; ②數(shù)學(xué)表述:W合=mv2-mv02或W合=Ek-Ek0; ③圖象表述:如圖6所示,Ek-l圖象中的斜率表示合外力. 圖6 (2)適用范圍 ①既適用于直線運(yùn)動(dòng),也適用于曲線運(yùn)動(dòng); ②既適用于恒力做功,也適

22、用于變力做功; ③力可以是各種性質(zhì)的力,既可同時(shí)作用,也可分階段作用. 2.解題的基本思路 (1)選取研究對象,明確它的運(yùn)動(dòng)過程; (2)分析受力情況和各力的做功情況; (3)明確研究對象在過程的初末狀態(tài)的動(dòng)能Ek1和Ek2; (4)列動(dòng)能定理的方程W合=Ek2-Ek1及其他必要的解題方程,進(jìn)行求解. 例3 (2016·天津理綜·10)我國將于2022年舉辦冬奧會(huì),跳臺(tái)滑雪是其中最具觀賞性的項(xiàng)目之一.如圖7所示,質(zhì)量m=60kg的運(yùn)動(dòng)員從長直助滑道AB的A處由靜止開始以加速度a=3.6m/s2勻加速滑下,到達(dá)助滑道末端B時(shí)速度vB=24 m/s,A與B的豎直高度差H=48m,為了

23、改變運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)方向,在助滑道與起跳臺(tái)之間用一段彎曲滑道銜接,其中最低點(diǎn)C處附近是一段以O(shè)為圓心的圓?。滥┒薆與滑道最低點(diǎn)C的高度差h=5m,運(yùn)動(dòng)員在B、C間運(yùn)動(dòng)時(shí)阻力做功W=-1530J,取g=10m/s2. 圖7 (1)求運(yùn)動(dòng)員在AB段下滑時(shí)受到阻力Ff的大??; (2)若運(yùn)動(dòng)員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍,則C點(diǎn)所在圓弧的半徑R至少應(yīng)為多大. 答案 (1)144N (2)12.5m 解析 (1)運(yùn)動(dòng)員在AB上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng),設(shè)AB的長度為x,則有vB2=2ax① 由牛頓第二定律有mg-Ff=ma ② 聯(lián)立①②式,代入數(shù)據(jù)解得F

24、f=144N ③ (2)設(shè)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為vC,在由B到達(dá)C的過程中,由動(dòng)能定理得 mgh+W=mvC2-mvB2 ④ 設(shè)運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)所受的支持力為FN,由牛頓第二定律有 FN-mg=m ⑤ 由題意和牛頓第三定律知FN=6mg ⑥ 聯(lián)立④⑤⑥式,代入數(shù)據(jù)解得R=12.5m. 5.(多選)我國科學(xué)家正在研制航母艦載機(jī)使用的電磁彈射器.艦載機(jī)總質(zhì)量為3.0×104kg,設(shè)起飛過程中發(fā)動(dòng)機(jī)的推力恒為1.0×105N;彈射器有效作用長度為100m,推力恒定.要求艦載機(jī)在水平彈射結(jié)束時(shí)速度大小

25、達(dá)到80m/s.彈射過程中艦載機(jī)所受總推力為彈射器和發(fā)動(dòng)機(jī)推力之和,假設(shè)所受阻力為總推力的20%,則(  ) A.彈射器的推力大小為1.1×106N B.彈射器對艦載機(jī)所做的功為1.1×108J C.彈射器對艦載機(jī)做功的平均功率為8.8×107W D.艦載機(jī)在彈射過程中的加速度大小為32m/s2 答案 ABD 解析 設(shè)總推力為F,位移x=100m,阻力F阻=20%F,對艦載機(jī)加速過程由動(dòng)能定理得Fx-20%F·x=mv2,解得F=1.2×106N,彈射器推力F彈=F-F發(fā)=1.2×106N-1.0×105N=1.1×106N,A正確;彈射器對艦載機(jī)所做的功為W=F彈·x=1.1×1

26、06×100J=1.1×108J,B正確;彈射器對艦載機(jī)做功的平均功率=F彈·=4.4×107W,C錯(cuò)誤;根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v2=2ax,得a==32m/s2,D正確. 6.(多選)如圖8所示為一滑草場.某條滑道由上下兩段高均為h,與水平面傾角分別為45°和37°的滑道組成,滑草車與草地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.質(zhì)量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由下滑,經(jīng)過上、下兩段滑道后,最后恰好靜止于滑道的底端(不計(jì)滑草車在兩段滑道交接處的能量損失,sin37°=0.6,cos37°=0.8).則(  ) 圖8 A.動(dòng)摩擦因數(shù)μ= B.載人滑草車最大速度為 C.載人滑草車克服摩擦力做功為mgh

27、 D.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為g 答案 AB 解析 對滑草車從坡頂由靜止滑下,到底端靜止的全過程,得mg·2h-μmgcos45°·-μmgcos37°·=0,解得μ=,選項(xiàng)A正確;對經(jīng)過上段滑道過程,根據(jù)動(dòng)能定理得,mgh-μmgcos45°·=mv2,解得v=,選項(xiàng)B正確;載人滑草車克服摩擦力做功為2mgh,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為a==g,選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 7.如圖9所示,用跨過光滑定滑輪的纜繩將海面上一艘失去動(dòng)力的小船沿直線拖向岸邊.已知拖動(dòng)纜繩的電動(dòng)機(jī)功率恒為P,小船的質(zhì)量為m,小船受到的阻力大小恒為Ff,經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度大小為v0,小船從A點(diǎn)沿

28、直線加速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)經(jīng)歷時(shí)間為t1,A、B兩點(diǎn)間距離為d,纜繩質(zhì)量忽略不計(jì).求: 圖9 (1)小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的全過程克服阻力做的功Wf; (2)小船經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小v1; (3)小船經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的加速度大小a. 答案 (1)Ffd (2) (3)- 解析 (1)小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)克服阻力做功 Wf=Ffd ① (2)小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),電動(dòng)機(jī)牽引纜繩對小船做功 W=Pt1 ② 由動(dòng)能定理有 W-Wf=mv12-mv02 ③ 由①②③式解得v1= ④ (3)設(shè)小船經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)纜繩的拉力大小為F,

29、纜繩與水平方向的夾角為θ,電動(dòng)機(jī)牽引纜繩的速度大小為v,則 P=Fv ⑤ v=v1cosθ ⑥ 由牛頓第二定律有 Fcosθ-Ff=ma ⑦ 由④⑤⑥⑦式解得a=-. 求解變力做功的五種方法 一、用動(dòng)能定理求變力做功 動(dòng)能定理既適用于直線運(yùn)動(dòng),也適用于曲線運(yùn)動(dòng),既適用于求恒力做功,也適用于求變力做功,因?yàn)槭褂脛?dòng)能定理可由動(dòng)能的變化來求功,所以動(dòng)能定理是求變力做功的首選. 典例1 如圖10所示,質(zhì)量為m的小球用長L的細(xì)線懸掛而靜止在豎直位置.現(xiàn)用水平拉力F將小球緩慢拉到細(xì)線與豎直方向成θ角的位置.在此過程中,拉力F做的功為

30、(  ) 圖10 A.FLcosθ B.FLsinθ C.FL(1-cosθ) D.mgL(1-cosθ) 答案 D 解析 在小球緩慢上升過程中,拉力F為變力,此變力F的功可用動(dòng)能定理求解.由WF-mgL(1-cosθ)=0得WF=mgL(1-cosθ),故D正確. 二、利用微元法求變力做功 將物體的位移分割成許多小段,因小段很小,每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力,這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無數(shù)個(gè)無窮小的位移上的恒力所做功的代數(shù)和,此法在中學(xué)階段常應(yīng)用于求解大小不變、方向改變的變力做功問題. 典例2 如圖11所示,在一半徑為R=6m的圓弧形橋面的底端A,某人把一質(zhì)量

31、為m=8kg的物塊(可看成質(zhì)點(diǎn)).用大小始終為F=75N的拉力從底端緩慢拉到橋面頂端B(圓弧AB在一豎直平面內(nèi)),拉力的方向始終與物塊在該點(diǎn)的切線成37°角,整個(gè)圓弧橋面所對的圓心角為120°,g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.求這一過程中: 圖11 (1)拉力F做的功; (2)橋面對物塊的摩擦力做的功. 答案 (1)376.8J (2)-136.8J 解析 (1)將圓弧分成很多小段l1、l2、…、ln,拉力在每一小段上做的功為W1、W2、…、Wn.因拉力F大小不變,方向始終與物塊在該點(diǎn)的切線成37°角,所以W1=Fl1cos37°、W2=Fl2cos

32、37°、…、Wn=Flncos37° 所以WF=W1+W2+…+Wn=Fcos37°(l1+l2+…+ln)=Fcos37°··2πR=376.8J. (2)因?yàn)橹亓做的功WG=-mgR(1-cos60°)=-240J,而因物塊在拉力F作用下緩慢移動(dòng),動(dòng)能不變,由動(dòng)能定理知WF+WG+Wf=0 所以Wf=-WF-WG=-376.8J+240J=-136.8J. 三、化變力為恒力求變力做功 變力做功直接求解時(shí),通常都比較復(fù)雜,但若通過轉(zhuǎn)換研究對象,有時(shí)可化為恒力做功,可以用W=Flcosα求解,此法常常應(yīng)用于輕繩通過定滑輪拉物體的問題中. 四、用平均力求變力做功 在求解變力做功時(shí)

33、,若物體受到的力的方向不變,而大小隨位移是成線性變化的,即為均勻變化,則可以認(rèn)為物體受到一大小為=的恒力作用,F(xiàn)1、F2分別為物體初、末狀態(tài)所受到的力,然后用公式W=lcosα求此力所做的功. 五、用F-x圖象求變力做功 在F-x圖象中,圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移所做的功,且位于x軸上方的“面積”為正,位于x軸下方的“面積”為負(fù),但此方法只適用于便于求圖線所圍面積的情況(如三角形、矩形、圓等規(guī)則的幾何圖). 典例3 輕質(zhì)彈簧右端固定在墻上,左端與一質(zhì)量m=0.5kg的物塊相連,如圖12甲所示,彈簧處于原長狀態(tài),物塊靜止且與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2.以物塊所在

34、處為原點(diǎn),水平向右為正方向建立x軸,現(xiàn)對物塊施加水平向右的外力F,F(xiàn)隨x軸坐標(biāo)變化的情況如圖乙所示,物塊運(yùn)動(dòng)至x=0.4m處時(shí)速度為零,則此時(shí)彈簧的彈性勢能為(g=10m/s2)(  ) 圖12 A.3.1J B.3.5J C.1.8J D.2.0J 答案 A 解析 物塊與水平面間的摩擦力為Ff=μmg=1N.現(xiàn)對物塊施加水平向右的外力F,由F-x圖象面積表示功可知F做功W=3.5J,克服摩擦力做功Wf=Ffx=0.4J.由功能關(guān)系可知,W-Wf=Ep,此時(shí)彈簧的彈性勢能為Ep=3.1J,選項(xiàng)A正確. 題組1 功和功率的分析與計(jì)算 1.一個(gè)成年人以正常的速度騎自行車,受到的

35、阻力為總重力的0.02倍,則成年人騎自行車行駛時(shí)的功率最接近于(  ) A.1W B.10W C.100W D.1000W 答案 C 解析 設(shè)人和車的總質(zhì)量為100kg,勻速行駛時(shí)的速率為5m/s,勻速行駛時(shí)的牽引力與阻力大小相等F=0.02mg=20N,則人騎自行車行駛時(shí)的功率為P=Fv=100W,故C正確. 2.(多選)一質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)靜止于光滑水平面上,從t=0時(shí)刻開始,受到水平外力F作用,如圖1所示.下列判斷正確的是(  ) 圖1 A.0~2s內(nèi)外力的平均功率是4W B.第2s內(nèi)外力所做的功是4J C.第2s末外力的瞬時(shí)功率最大 D.第1s末與第2s末外力的瞬

36、時(shí)功率之比為9∶4 答案 AD 解析 第1s末質(zhì)點(diǎn)的速度 v1=t1=×1m/s=3 m/s. 第2s末質(zhì)點(diǎn)的速度 v2=v1+t2=(3+×1) m/s=4 m/s. 則第2s內(nèi)外力做功W2=mv22-mv12=3.5J 0~2s內(nèi)外力的平均功率 P==W=4W. 選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤; 第1s末外力的瞬時(shí)功率P1=F1v1=3×3W=9W, 第2s末外力的瞬時(shí)功率P2=F2v2=1×4W=4W,故 P1∶P2=9∶4.選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)D正確. 3.如圖2所示,靜止于光滑水平面上坐標(biāo)原點(diǎn)處的小物塊,在水平拉力F作用下,沿x軸方向運(yùn)動(dòng),拉力F隨物塊所在位置坐標(biāo)x的變

37、化關(guān)系如圖乙所示,圖線為半圓.則小物塊運(yùn)動(dòng)到x0處時(shí)F所做的總功為(  ) 圖2 A.0 B.Fmx0 C.Fmx0 D.x02 答案 C 解析 F為變力,但F-x圖象包圍的面積在數(shù)值上表示拉力做的總功.由于圖線為半圓,又因在數(shù)值上Fm=x0,故W=π·Fm2=π·Fm·x0=Fmx0. 題組2 動(dòng)能定理及其簡單應(yīng)用 4.如圖3所示,光滑斜面的頂端固定一彈簧,一小球向右滑行,并沖上固定在地面上的斜面.設(shè)小球在斜面最低點(diǎn)A的速度為v,壓縮彈簧至C點(diǎn)時(shí)彈簧最短,C點(diǎn)距地面高度為h,則小球從A到C的過程中彈簧彈力做功是(  ) 圖3 A.mgh-mv2 B.mv2-mgh

38、 C.-mgh D.-(mgh+mv2) 答案 A 解析 小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中,重力和彈簧的彈力對小球做負(fù)功,由于支持力與位移始終垂直,則支持力對小球不做功,由動(dòng)能定理,可得WG+WF=0-mv2,重力做功為WG=-mgh,則彈簧的彈力對小球做功為WF=mgh-mv2,所以正確選項(xiàng)為A. 5.(多選)質(zhì)量為1kg的物體靜止在水平粗糙的地面上,在一水平外力F的作用下運(yùn)動(dòng),如圖4甲所示,外力F和物體克服摩擦力Ff做的功W與物體位移x的關(guān)系如圖乙所示,重力加速度g取10m/s2.下列分析正確的是(  ) 圖4 A.物體與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2 B.物體運(yùn)動(dòng)的位移為13m

39、 C.物體在前3m運(yùn)動(dòng)過程中的加速度為3m/s2 D.x=9m時(shí),物體的速度為3m/s 答案 ACD 解析 由Wf=Ffx對應(yīng)圖乙可知,物體與地面之間的滑動(dòng)摩擦力Ff=2N,由Ff=μmg可得μ=0.2,A正確;由WF=Fx對應(yīng)圖乙可知,前3m內(nèi),拉力F1=5N,3~9m內(nèi)拉力F2=2N,物體在前3m內(nèi)的加速度a1==3m/s2,C正確;由動(dòng)能定理得:WF-Ffx=mv2可得:x=9m時(shí),物體的速度為v=3m/s,D正確;物體的最大位移xm==13.5m,B錯(cuò)誤. 6.(多選)如圖5所示,質(zhì)量為M的木塊放在光滑的水平面上,質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿水平方向射中木塊,并最終留在木塊中與

40、木塊一起以速度v運(yùn)動(dòng).已知當(dāng)子彈相對木塊靜止時(shí),木塊前進(jìn)距離為l,子彈進(jìn)入木塊的深度為d,若木塊對子彈的阻力Ff視為恒定,則下列關(guān)系式中正確的是(  ) 圖5 A.Ffl=Mv2 B.Ffd=Mv2 C.Ffd=mv02-(M+m)v2 D.Ff(l+d)=mv02-mv2 答案 ACD 解析 畫出如圖所示的運(yùn)動(dòng)過程示意圖,從圖中不難看出,當(dāng)木塊前進(jìn)距離l,子彈進(jìn)入木塊的深度為d時(shí),子彈相對于地發(fā)生的位移為l+d,由牛頓第三定律,子彈對木塊的作用力大小也為Ff. 子彈對木塊的作用力對木塊做正功,由動(dòng)能定理得: Ffl=Mv2 木塊對子彈的作用力對子彈做負(fù)功,由動(dòng)能定

41、理得: -Ff(l+d)=mv2-mv02 兩式聯(lián)立得:Ffd=mv02-(M+m)v2 所以,本題正確答案為A、C、D. 題組3 動(dòng)能定理在多過程問題中的應(yīng)用 7.(2014·福建·21)如圖6所示為某游樂場內(nèi)水上滑梯軌道示意圖,整個(gè)軌道在同一豎直平面內(nèi),表面粗糙的AB段軌道與四分之一光滑圓弧軌道BC在B點(diǎn)水平相切.點(diǎn)A距水面的高度為H,圓弧軌道BC的半徑為R,圓心O恰在水面.一質(zhì)量為m的游客(視為質(zhì)點(diǎn))可從軌道AB的任意位置滑下,不計(jì)空氣阻力. 圖6 (1)若游客從A點(diǎn)由靜止開始滑下,到B點(diǎn)時(shí)沿切線方向滑離軌道落在水面D點(diǎn),OD=2R,求游客滑到B點(diǎn)時(shí)的速度vB大小及運(yùn)動(dòng)

42、過程軌道摩擦力對其所做的功Wf; (2)某游客從AB段某處滑下,恰好停在B點(diǎn),又因受到微小擾動(dòng),繼續(xù)沿圓弧軌道滑到P點(diǎn)后滑離軌道,求P點(diǎn)離水面的高度h.(提示:在圓周運(yùn)動(dòng)過程中任一點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)所受的向心力與其速率的關(guān)系為F向=m) 答案 (1)?。?mgH-2mgR) (2)R 解析 (1)游客從B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng),有 2R=vBt ① R=gt2 ② 由①②式得vB= ③ 從A到B,根據(jù)動(dòng)能定理,有 mg(H-R)+Wf=mvB2-0 ④ 由③④式得Wf=-(mgH-2mgR) (2)設(shè)OP與OB間夾角為θ,游客在P點(diǎn)時(shí)的速

43、度為vP,受到的支持力為N,從B到P由機(jī)械能守恒定律,有 mg(R-Rcosθ)=mvP2-0 ⑤ 過P點(diǎn)時(shí),根據(jù)向心力公式,有 mgcosθ-N=m ⑥ N=0 ⑦ cosθ= ⑧ 由⑤⑥⑦⑧式解得h=R. 8.如圖7甲所示,輕彈簧左端固定在豎直墻上,右端點(diǎn)在O位置.質(zhì)量為m的物塊A(可視為質(zhì)點(diǎn))以初速度v0從距O點(diǎn)右方x0處的P點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng),與彈簧接觸后壓縮彈簧,將彈簧右端壓到O′點(diǎn)位置后,A又被彈簧彈回.A離開彈簧后,恰好回到P點(diǎn).物塊A與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.求: 圖7 (1)物塊A從P點(diǎn)出發(fā)又回到P點(diǎn)的過

44、程,克服摩擦力所做的功. (2)O點(diǎn)和O′點(diǎn)間的距離x1. (3)如圖乙所示,若將另一個(gè)與A完全相同的物塊B(可視為質(zhì)點(diǎn))與彈簧右端拴接,將A放在B右邊,向左推A、B,使彈簧右端壓縮到O′點(diǎn)位置,然后從靜止釋放,A、B共同滑行一段距離后分離.分離后物塊A向右滑行的最大距離x2是多少? 答案 (1)mv02 (2)-x0 (3)x0- 解析 (1)物塊A從P點(diǎn)出發(fā)又回到P點(diǎn)的過程,根據(jù)動(dòng)能定理得克服摩擦力所做的功為Wf=mv02. (2)物塊A從P點(diǎn)出發(fā)又回到P點(diǎn)的過程,根據(jù)動(dòng)能定理得 2μmg(x1+x0)=mv02 解得x1=-x0 (3)A、B在彈簧處于原長處分離,設(shè)此時(shí)它

45、們的共同速度是v1,彈出過程彈力做功為WF 只有A時(shí),從O′到P有 WF-μmg(x1+x0)=0-0 A、B共同從O′到O有 WF-2μmgx1=×2mv12 分離后對A有mv12=μmgx2 聯(lián)立以上各式可得x2=x0-. 9.如圖8所示,半徑R=0.5m的光滑圓弧面CDM分別與光滑斜面體ABC和斜面MN相切于C、M點(diǎn),斜面傾角分別如圖所示.O為圓弧圓心,D為圓弧最低點(diǎn),C、M在同一水平高度.斜面體ABC固定在地面上,頂端B安裝一定滑輪,一輕質(zhì)軟細(xì)繩跨過定滑輪(不計(jì)滑輪摩擦)分別連接小物塊P、Q(兩邊細(xì)繩分別與對應(yīng)斜面平行),并保持P、Q兩物塊靜止.若PC間距為L1=0.25

46、m,斜面MN足夠長,物塊P的質(zhì)量m1=3kg,與MN間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=,重力加速度g=10m/s2,求:(sin37°=0.6,cos37°=0.8) 圖8 (1)小物塊Q的質(zhì)量m2; (2)燒斷細(xì)繩后,物塊P第一次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大?。? (3)物塊P在MN斜面上滑行的總路程. 答案 (1)4kg (2)78N (3)1.0m 解析 (1)根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件,兩物塊的重力沿斜面的分力相等,有: m1gsin53°=m2gsin37° 解得:m2=4kg 即小物塊Q的質(zhì)量m2為4kg. (2)小物塊P第一次到達(dá)D點(diǎn)過程,由動(dòng)能定理得m1gh=m1vD2 根據(jù)幾何關(guān)系,有: h=L1sin53°+R(1-cos53°) 在D點(diǎn),支持力和重力的合力提供向心力: FD-m1g=m1 解得:FD=78N 由牛頓第三定律得,物塊P對軌道的壓力大小為78N. (3)分析可知最終物塊在CDM之間往復(fù)運(yùn)動(dòng),C點(diǎn)和M點(diǎn)速度為零. 由全過程動(dòng)能定理得: m1gL1sin53°-μm1gcos53°L總=0 解得L總=1.0m 即物塊P在MN斜面上滑行的總路程為1.0m. 24

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