隨機過程 泊松過程

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1、會計學(xué)1隨機過程隨機過程 泊松過程泊松過程 定義定義3.13.1(計數(shù)過程)隨機過程 稱為計數(shù)過程,如果0),(ttN)(tN表示t時刻為止,某一特定事件A發(fā)生的次數(shù). 由定義,計數(shù)過程具有以下兩個特點: (1) 取值為非負(fù)的整數(shù);)(tN (2) 時, 且 表示時段 內(nèi) 事件A發(fā)生的次數(shù).ts )()(tNsN)()(sNtN,( ts 如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件數(shù)是獨立的,則該計數(shù)過程有獨立增量.即到時刻t已發(fā)生的事件個數(shù)必須獨立于時刻t與t+s之間所發(fā)生的事件數(shù).這就意味著, 與)(tN)()(tNstN相互獨立.第2頁/共58頁 定義定義3.2(泊松過程泊松過程)計數(shù)過程 稱為

2、參數(shù)為 0),(ttN)0(的泊松過程過程,如果: (1); 0)0(N (2) 有獨立增量;)(tN (3)對任意的 ,有0, ts,!)()()(tnentnsNstNP,2, 1 ,0n 由條件(3)可知泊松過程有平穩(wěn)增量并且在任一長度為t的區(qū)間中事件的個數(shù)服從參數(shù)(均值)為 的泊松分布.t 在實際過程中,條件(3)的驗證存在著一定的困難,為此我們給出泊松過程另一個等價定義. 若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù) 的分布只依賴于時間區(qū)間的長度,則稱計數(shù)過程 有平穩(wěn)增量平穩(wěn)增量.這就意味著此時 與 有相同的分布.)(tN)()(12stNstN)()(12tNtN)(tN第3頁/共58頁第4頁

3、/共58頁第5頁/共58頁第6頁/共58頁 定理3.1 計數(shù)過程 稱為泊松過程泊松過程 ,參數(shù)為 0),(ttN),0(如果 (1) ; 0)0(N (2) 過程有平穩(wěn)與獨立增量; (3);(1)(hohhNP (4).(2)(hohNP 若 是參數(shù)為 的泊松過程,則有ttNE)(于是可以認(rèn)為 是單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù). . 稱 為泊松過程的強度、風(fēng)險率強度、風(fēng)險率或速率速率.0),(ttN第7頁/共58頁強度為 的泊松過程的數(shù)字特征： 0001. ,E N t tE N tN ttt； 00002. ,000 ,NND N t tD N tN ttttNtE

4、 N tt DtD N tt， 特別地，由假設(shè)，可得：；3. , ,0NNCs tDmin s tmin s ts t，； 24. , ,0NNNNRs tCs tstmin s tsts t，。第8頁/共58頁第9頁/共58頁( ),0(5)4;(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5)4(12)9;(5)(5),(5),(5),(12).N t tP NP NNNP NNP NNE ND NCov NN例12：設(shè)服從參數(shù)為 的泊松過程，求(1) (2) (3) 45(1) P54(5 )4!Ne解： (2) 54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,

5、(12)(7.5)3P NNNP NNNNN4522.534.5(5 )4!(2.5 )2!(4.5 )3!eee例1第10頁/共58頁 (5) EN(5)=5 ,55 ,D N(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4P NNP NNN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9P NNP NNP N57(12)(5)5(7 )5!P NNe (5)4(12)(5)5(12)9P NP NNP N 455749 449912(5 )4!(7 )5!551.1212(12 )9!eeCe (5),(12)55 .Cov NND N第11頁/共58頁 例2 事件A的發(fā)生形成強度為

6、 的泊松過程 .如果每次事件發(fā)生時以概率 能夠記錄下來,并以 表示到t時刻被記錄下來的事件總數(shù),證明 是一個強度為p 的泊松過程.p0),(ttN)(tM0),(ttM證 滿足定義3.2中的前兩個條件是顯然的,下證它也滿足第三個條件.)(tM 顯然, 的可能取值為 并且由全概率公式,有, 2 , 1 , 0)(tM0)()(|)()(nntNPntNmtMPmtMP而mn 0)(|)(ntNmtMP若mnmppmnntNmtMP)1 ()(|)(若mn 第12頁/共58頁由題意tnntntNPe!)()(于是tnmnmmnntppmnmtMPe!)()1 ()(mnmnmnmmtmntpmtp

7、)!()()1 (!)(e)1(e!)(eptmmtmtptpmmpte!)(所以, 是一個強度為 的泊松過程.0),(ttMp第13頁/共58頁第二節(jié)第二節(jié) 與泊松過程相聯(lián)系的若干分布與泊松過程相聯(lián)系的若干分布預(yù)備知識預(yù)備知識 (1) 函數(shù)定義為:zxzzzde)(01 (2)有關(guān) 函數(shù)的幾個重要公式:)()1(zzz!) 1(nn21第14頁/共58頁 (3)若隨機變量 的概率密度為X0, 00,)()(1xxexxfx則稱 服從參數(shù)為 的 分布,記為X,),(X 當(dāng) 時,就是參數(shù)為 的指數(shù)分布.1 (4) 分布關(guān)于參數(shù) 具有可加性.即若),(1X),(2Y且 與 獨立,則XY),(21Y

8、X第15頁/共58頁 引理引理 設(shè) 相互獨立且均服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則有nXXX,21),(21nXXXn (5)泊松過程的樣本軌跡是跳躍度為1的階梯函數(shù).記 為第 次事件發(fā)生的時刻, 是第 次與第 次事件發(fā)生的時間間隔.nTnnXn1n一一. 和和 的分布的分布nXnT 定理定理3.23.2 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,且相互獨立.nX) 1( n第16頁/共58頁證證 當(dāng) 時,有0t0)(11)(111tNPtXPtXPtF所以0, 00e1)(1tttFt又即 相互獨立且均服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.21,XX|0)()(|112sXsNtsNPsXtXP0)(0)()(tNPsNtsNPt

9、 e重復(fù)以上的推導(dǎo)可證定理之結(jié)論.第17頁/共58頁第18頁/共58頁 定理3.3 ),(nTn 證證 由于niinXT1故由定理3.2以及引理的結(jié)論馬上可得本定理之結(jié)論.注注: :1 1 的概率密度為),(n)!1()()(1ntexfntTn)0( t)(ntNtTn2.第19頁/共58頁 由定理3.2,我們給出泊松過程的另一個等價定義. 定義定義3.3 設(shè) 是計數(shù)過程,如果它的相繼到達(dá)時間間隔序列相互獨立且服從相同的指數(shù)分布,則稱 為泊松過程泊松過程.0),(ttN)(tN 定理定理3.23.2的直接推論的直接推論 設(shè)泊松過程的強度為 ,記 為過程的到達(dá)間隔,則X1)(XE第20頁/共5

10、8頁 引理引理 (無后效性或無記憶性)設(shè)隨機變量 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則, 0, 0 xt|xXPtXxtXP 證證 |xXPtXxtXP,xXPxtXPxXPxXxtXPeee)(xXPxtxtX第21頁/共58頁第22頁/共58頁第23頁/共58頁第24頁/共58頁第25頁/共58頁第26頁/共58頁第27頁/共58頁第28頁/共58頁第29頁/共58頁第30頁/共58頁第31頁/共58頁第32頁/共58頁第33頁/共58頁第三節(jié)第三節(jié) 泊松過程的推廣泊松過程的推廣一、非齊次泊松過程一、非齊次泊松過程 定義3.4 計數(shù)過程 稱為強度為 的非齊次泊松過程,如果0),(ttN0)(t (1

11、) ; 0)0(N (2) 過程有獨立增量; (3);()(1)()(hohttNhtNP (4).(2)(hohNP 令 ,則有如下的等價定義.tsstm0d)()(第34頁/共58頁 定義3.5 計數(shù)過程 稱為強度為 的非齊次泊松過程,如果0),(ttN0)(t (1) ; 0)0(N (2) 過程有獨立增量; (3)對于任意的實數(shù) 服從參數(shù)為)()(, 0, 0tNstNststtduutmstm)()()(的泊松分布. 定理定理 定義3.4與定義3.5是等價的. 證證 只需證)()(exp!)()()()(tmstmntmstmntNstNPn 證明過程將要用到母函數(shù)的概念,從略.第3

12、5頁/共58頁第36頁/共58頁第37頁/共58頁第38頁/共58頁第39頁/共58頁 例3.7 設(shè)某設(shè)備的使用期限是10年,在使用期限內(nèi),如果出現(xiàn)故障則需要維修.設(shè)出現(xiàn)故障的計數(shù)過程是一個非齊次的泊松過程,并且已知前5年它平均2.5年需要維修一次,后5年平均2年需要維修一次. 求它在使用期內(nèi)只維修過一次的概率. 解解 由題意,強度函數(shù)為10521505 .21)(ttt則在使用的期限(10年)內(nèi),故障發(fā)生的次數(shù) 服從參數(shù)為5 . 4215 . 21)()10(10550100dtdtdttm) 0()10(NN的泊松分布,故5 . 4)5 . 4(1)0()10(eNNP第40頁/共58頁第

13、41頁/共58頁第42頁/共58頁第43頁/共58頁第44頁/共58頁二二. .復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程 定義定義3.6 稱隨機過程 為復(fù)合泊松過程,如果對于 ,它可以表示為如下形式0),(ttX0t)(1)(tNiiYtX其中 是一個泊松過程, 是一族獨立同分布的隨機變量,并且與 獨立.0),(ttN0),(ttNnYY,1第45頁/共58頁 例3.3 設(shè)進(jìn)入商店的顧客數(shù)可以用一個泊松過程來近似.第 個顧客在商店購物支付的款數(shù)記作 ,并設(shè) 相互獨立同分布,則在時段 中商店的營業(yè)額iiY,21YY, 0(t)(1)(tNiiYtX是一個復(fù)合泊松過程. 例3.4 設(shè)保險公司接到的索賠次數(shù)服從一個

14、泊松過程,每次要求賠付的金額獨立同分布,則在任一時段內(nèi)保險公司需要賠付的總金額就是一個復(fù)合泊松過程.第46頁/共58頁 定理定理3.6 設(shè) 是一復(fù)合泊松過程,其中泊松過程 的強度為 ,則)(tN(1) 具有獨立增量;)(tX)(1)(tNiiYtX(2)若 均存在,則221)(,)(iiYEYE,)(1ttXE2)(ttXD證(1) 令 由于 具有獨立增量性,故,10nttt)(1)(11)()(kktNtNiikkYtXtXnk, 2 , 1相互獨立,即 具有獨立增量性.)(tN)(tX(2) （2）的證明需要用到矩母函數(shù)（略）.第47頁/共58頁第48頁/共58頁第49頁/共58頁第50頁

15、/共58頁 例3.10 在保險中的索賠模型中,設(shè)索賠要求以平均2次/月的速率的泊松過程到達(dá)保險公司.每次賠付為均值為10000元的正態(tài)分布,則一年中保險公司平均賠付額是多少? 解 由題意,有 ,故所求的值為10000,12, 21t240000)10(1tXE(元)第51頁/共58頁三三. .條件泊松分條件泊松分布布 在實際問題中,常常會出現(xiàn)這樣的情形,此時某些意外事件出現(xiàn)的頻率是不能預(yù)先確定的,往往是一個隨機變量 ,而當(dāng)頻率確定時,意外事件出現(xiàn)的規(guī)律就是一個泊松過程.這就是本節(jié)所要研究的條件泊松過程. 定義定義3.73.7 設(shè) 是具有分布 的正值隨機變量,如果在給定 的條件下,計數(shù)過程 服從

16、參數(shù)為 的泊松過程,則稱 是條件泊松過程.)(G0),(ttN0),(ttN 由定義可知,如果 是條件泊松過程,則有0),(ttN)(d!)()()(0GnetnsNstNPtn第52頁/共58頁 定理定理3.73.7 設(shè) 是條件泊松過程,且 ,則0),(ttN )(2E(1);)( tEtNE(2).()()(2tEDttND證證)()| )()(tEtEtNEEtNE(1)(2)22)()()(tNEtNEtND)()()(| )(2222EtttEtEtNEE)()(2tEDt第53頁/共58頁 例3.11 設(shè)意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響有兩種可能 ,且21,1pP,12qpP1

17、0 p為已知,并且已知到時刻 已發(fā)生了 次事故.(1)求下次事故在 之前不會到來的概率;(2)發(fā)生的頻率是 的概率.tnst 1 解解 (1) 所求的概率為)(|0)()(ntNtNstNP)()(, 0)()(ntNPntNtNstNP2121|)(|)(,0)()(iiiiiiPntNPntNtNstNPP第54頁/共58頁tntntsntsneptpeteptpet2121)1 ()()()1 ()()(21)(2)(1tntntsntsnepepepep212121)(2)(1)1 ()1 (以及tntntneptpetpetntNP211)1 ()()()()(|2111第55頁/共58頁ekkPkt!)(第56頁/共58頁第57頁/共58頁感謝您的觀看！感謝您的觀看！第58頁/共58頁