2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.2 瞬時速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 1.1.2　瞬時速度與導(dǎo)數(shù) 明目標(biāo)、知重點　1.理解瞬時速度及瞬時變化率的定義.2.會用瞬時速度及瞬時變化率定義求物體在某一時刻的瞬時速度及瞬時變化率.3.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的方法.4.理解并掌握開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的概念，會求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 1．瞬時速度 我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．設(shè)物體運動路程與時間的關(guān)系是s＝s(t)，物體在t0時刻的瞬時速度v就是運動物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均變化率，當(dāng)Δt→0時的極限，即v＝ ＝ . 2．瞬時變化率 一般地，函數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時變化率是 ＝ . 3．導(dǎo)數(shù)的概念 一般地，函

2、數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時變化率是 ，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f′(x0)，即f′(x0)＝ ＝ . 4．導(dǎo)函數(shù) 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x都是可導(dǎo)的，則稱 f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)．這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，把這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記為f′(x)或y′(或y′x)．導(dǎo)函數(shù)通常簡稱為導(dǎo)數(shù)． 探究點一　瞬時速度 思考1　在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.

3、9t2＋6.5t＋10.在某些時間段內(nèi)如何粗略地描述其運動狀態(tài)？平均速度能否精確反映它的運動狀態(tài)？ 答　用0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度來粗略地描述其運動狀態(tài)． 在0≤t≤0.5這段時間里，＝＝4.05(m/s)； 在1≤t≤2這段時間里，＝＝－8.2(m/s)． 平均速度不能精確反映其運動狀態(tài)，如高臺跳水運動員相對于水面的高度h與起跳時間t的函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 易知h()＝h(0)，＝＝0， 而運動員依然是運動狀態(tài)． 思考2　如何描述物體在某一時刻的運動狀態(tài)？ 答　可以使用瞬時速度精確描述物體在某一時刻的運動狀態(tài)． 如求t＝2時的瞬時速度

4、，可考察在t＝2附近的一個間隔Δt，當(dāng)Δt趨近于0時，看平均速度的變化趨勢，用式子 表示，這就是物體在t＝2時的瞬時速度． 例1　火箭豎直向上發(fā)射．熄火時向上速度達(dá)到100 m/s.試問熄火后多長時間火箭向上速度為0? 解　火箭的運動方程為h(t)＝100t－gt2， 火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)與重力引起的位移的合成． 在t附近的平均變化率為 ＝ ＝100－gt－gΔt. 當(dāng)Δt→0時，上式趨近于100－gt. 可見t時刻的瞬時速度h′(t)＝100－gt. 令h′(t)＝100－gt＝0， 解得t＝≈≈10.2(s)． 所以火箭熄火后約10.2

5、s向上速度變?yōu)?. 反思與感悟　瞬時速度是平均速度在Δt→0時的極限值．要求瞬時速度，可以先求平均速度． 思考3　火箭向上速度變?yōu)?，意味著什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度嗎？ 答　火箭向上速度變?yōu)?，意味著火箭處于上升階段的最高點處，即火箭達(dá)到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的時間為t＝，所以火箭熄火后上升的最大高度h＝100×－g×2＝≈510.2(m)． 跟蹤訓(xùn)練1　質(zhì)點M按規(guī)律s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)．若質(zhì)點M在t＝2時的瞬時速度為8 m/s，求常數(shù)a的值． 解　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22

6、－1＝4aΔt＋a(Δt)2， ∴＝4a＋aΔt.在t＝2時，瞬時速度為 ＝4a， 即4a＝8，∴a＝2. 探究點二　導(dǎo)數(shù)的定義 思考1　從平均速度當(dāng)Δt→0時是瞬時速度，推廣到一般的函數(shù)方面，我們可以得到什么結(jié)論？ 答　對函數(shù)y＝f(x)來說，f(x)在點x＝x0附近改變Δx時，平均變化率為. 當(dāng)Δx→0時，如果平均變化率趨于一個常數(shù)l，則l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率． 思考2　導(dǎo)數(shù)和瞬時變化率是什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)有什么作用？ 答　函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點處的瞬時變化率，導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)在一點處變化的快慢程度． 思考3　導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？

7、 答　若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，對(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)，f′(x)就叫函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)． 函數(shù)f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值． 例2　利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)． 解　由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝2處的導(dǎo)數(shù) f′(2)＝， 而f(2＋Δx)－f(2) ＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx，于是 f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1. 反思與感悟　求一個函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下： (1)求函數(shù)值的變

8、化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝ . 跟蹤訓(xùn)練2　利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2＋ax＋b在x＝0處的導(dǎo)數(shù)； (2)y＝在x＝2處的導(dǎo)數(shù)． 解　(1)∵Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－02－a·0－b＝(Δx)2＋a(Δx)， ∴＝＝Δx＋a， ∴y′|x＝0＝ ＝ (Δx＋a)＝a. (2)∵Δy＝－＝－2， ∴＝＝ ＝. ∴f′(2)＝＝ ＝. 探究點三　導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 例3　一正方形鐵板在0℃時，邊長為10 cm，加熱后鐵板會膨脹．當(dāng)溫度為

9、t℃時，邊長變?yōu)?0(1＋at) cm，a為常數(shù)，試求鐵板面積對溫度的膨脹率． 解　設(shè)溫度的增量為Δt，則鐵板面積S的增量為 ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2 ＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2， 因此＝200(a＋a2t)＋100a2Δt. 令Δt→0，得S′＝200(a＋a2t)． 所以鐵板對溫度的膨脹率為200(a＋a2t)． 反思與感悟　函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系： 平均變化率＝，當(dāng)Δx趨于0時，它所趨于的一個常數(shù)就是函數(shù)在x0處的瞬時變化率，即求函數(shù)的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解．另外，它們都是用來刻

10、畫函數(shù)變化快慢的，它們的絕對值越大，函數(shù)變化得越快． 跟蹤訓(xùn)練3　將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱．如果在第x h時，原油的溫度(單位：℃)為y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計算第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 解　在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率就是f′(2)和f′(6)． 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，＝ ＝ ＝＝Δx－3， 所以，f′(2)＝ ＝ (Δx－3)＝－3. 同理可得，f′(6)＝5.在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率分別為－3與5.它說明在第2 h附近，原油溫度大約以3 ℃/

11、h的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 ℃/h的速率上升． 1．一物體的運動方程是s＝at2(a為常數(shù))，則該物體在t＝t0時的瞬時速度是(　　) A．a(chǎn)t0 B．－at0 C.at0 D．2at0 答案　A 解析　＝＝aΔt＋at0，∴l(xiāng)i ＝at0. 2．函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則 (　　) A．與x0、h都有關(guān) B．僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān) C．僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān) D．與x0、h均無關(guān) 答案　B 3．已知f(x)＝－x2＋10，則f(x)在x＝處的瞬時變化率是(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案　B 解析　∵＝＝－Δx－3， ∴l(xiāng)i ＝－3. 4．已知函數(shù)f(x)＝，則f′(1)＝________. 答案?。? 解析　f′(1)＝ ＝ ＝ ＝－. [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1．瞬時速度是平均速度當(dāng)Δt→0時的極限值；瞬時變化率是平均變化率當(dāng)Δx→0時的極限值． 2．利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： (1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率； (3)取極限得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝ . 6