2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.2 瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 1.1.2　瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù) 明目標(biāo)、知重點(diǎn)　1.理解瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率的定義.2.會(huì)用瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率定義求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率.3.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法.4.理解并掌握開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 1．瞬時(shí)速度 我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度．設(shè)物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系是s＝s(t)，物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v就是運(yùn)動(dòng)物體在t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率，當(dāng)Δt→0時(shí)的極限，即v＝ ＝ . 2．瞬時(shí)變化率 一般地，函數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率是 ＝ . 3．導(dǎo)數(shù)的概念 一般地，函

2、數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率是 ，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f′(x0)，即f′(x0)＝ ＝ . 4．導(dǎo)函數(shù) 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x都是可導(dǎo)的，則稱 f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)．這樣，對(duì)開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記為f′(x)或y′(或y′x)．導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)． 探究點(diǎn)一　瞬時(shí)速度 思考1　在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.

3、9t2＋6.5t＋10.在某些時(shí)間段內(nèi)如何粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？平均速度能否精確反映它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？ 答　用0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度來粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)． 在0≤t≤0.5這段時(shí)間里，＝＝4.05(m/s)； 在1≤t≤2這段時(shí)間里，＝＝－8.2(m/s)． 平均速度不能精確反映其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h與起跳時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 易知h()＝h(0)，＝＝0， 而運(yùn)動(dòng)員依然是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)． 思考2　如何描述物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？ 答　可以使用瞬時(shí)速度精確描述物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)． 如求t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度

4、，可考察在t＝2附近的一個(gè)間隔Δt，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，看平均速度的變化趨勢(shì)，用式子 表示，這就是物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度． 例1　火箭豎直向上發(fā)射．熄火時(shí)向上速度達(dá)到100 m/s.試問熄火后多長時(shí)間火箭向上速度為0? 解　火箭的運(yùn)動(dòng)方程為h(t)＝100t－gt2， 火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)與重力引起的位移的合成． 在t附近的平均變化率為 ＝ ＝100－gt－gΔt. 當(dāng)Δt→0時(shí)，上式趨近于100－gt. 可見t時(shí)刻的瞬時(shí)速度h′(t)＝100－gt. 令h′(t)＝100－gt＝0， 解得t＝≈≈10.2(s)． 所以火箭熄火后約10.2

5、s向上速度變?yōu)?. 反思與感悟　瞬時(shí)速度是平均速度在Δt→0時(shí)的極限值．要求瞬時(shí)速度，可以先求平均速度． 思考3　火箭向上速度變?yōu)?，意味著什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度嗎？ 答　火箭向上速度變?yōu)?，意味著火箭處于上升階段的最高點(diǎn)處，即火箭達(dá)到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的時(shí)間為t＝，所以火箭熄火后上升的最大高度h＝100×－g×2＝≈510.2(m)． 跟蹤訓(xùn)練1　質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，求常數(shù)a的值． 解　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22

6、－1＝4aΔt＋a(Δt)2， ∴＝4a＋aΔt.在t＝2時(shí)，瞬時(shí)速度為 ＝4a， 即4a＝8，∴a＝2. 探究點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的定義 思考1　從平均速度當(dāng)Δt→0時(shí)是瞬時(shí)速度，推廣到一般的函數(shù)方面，我們可以得到什么結(jié)論？ 答　對(duì)函數(shù)y＝f(x)來說，f(x)在點(diǎn)x＝x0附近改變?chǔ)時(shí)，平均變化率為. 當(dāng)Δx→0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)常數(shù)l，則l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率． 思考2　導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)變化率是什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)有什么作用？ 答　函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢程度． 思考3　導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？

7、 答　若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)，f′(x)就叫函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)． 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值． 例2　利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)． 解　由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝2處的導(dǎo)數(shù) f′(2)＝， 而f(2＋Δx)－f(2) ＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx，于是 f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1. 反思與感悟　求一個(gè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下： (1)求函數(shù)值的變

8、化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝ . 跟蹤訓(xùn)練2　利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2＋ax＋b在x＝0處的導(dǎo)數(shù)； (2)y＝在x＝2處的導(dǎo)數(shù)． 解　(1)∵Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－02－a·0－b＝(Δx)2＋a(Δx)， ∴＝＝Δx＋a， ∴y′|x＝0＝ ＝ (Δx＋a)＝a. (2)∵Δy＝－＝－2， ∴＝＝ ＝. ∴f′(2)＝＝ ＝. 探究點(diǎn)三　導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 例3　一正方形鐵板在0℃時(shí)，邊長為10 cm，加熱后鐵板會(huì)膨脹．當(dāng)溫度為

9、t℃時(shí)，邊長變?yōu)?0(1＋at) cm，a為常數(shù)，試求鐵板面積對(duì)溫度的膨脹率． 解　設(shè)溫度的增量為Δt，則鐵板面積S的增量為 ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2 ＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2， 因此＝200(a＋a2t)＋100a2Δt. 令Δt→0，得S′＝200(a＋a2t)． 所以鐵板對(duì)溫度的膨脹率為200(a＋a2t)． 反思與感悟　函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率的關(guān)系： 平均變化率＝，當(dāng)Δx趨于0時(shí)，它所趨于的一個(gè)常數(shù)就是函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率，即求函數(shù)的瞬時(shí)變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解．另外，它們都是用來刻

10、畫函數(shù)變化快慢的，它們的絕對(duì)值越大，函數(shù)變化得越快． 跟蹤訓(xùn)練3　將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱．如果在第x h時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計(jì)算第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義． 解　在第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f′(2)和f′(6)． 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，＝ ＝ ＝＝Δx－3， 所以，f′(2)＝ ＝ (Δx－3)＝－3. 同理可得，f′(6)＝5.在第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3與5.它說明在第2 h附近，原油溫度大約以3 ℃/

11、h的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 ℃/h的速率上升． 1．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝at2(a為常數(shù))，則該物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度是(　　) A．a(chǎn)t0 B．－at0 C.at0 D．2at0 答案　A 解析?。剑絘Δt＋at0，∴l(xiāng)i ＝at0. 2．函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則 (　　) A．與x0、h都有關(guān) B．僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān) C．僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān) D．與x0、h均無關(guān) 答案　B 3．已知f(x)＝－x2＋10，則f(x)在x＝處的瞬時(shí)變化率是(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案　B 解析　∵＝＝－Δx－3， ∴l(xiāng)i ＝－3. 4．已知函數(shù)f(x)＝，則f′(1)＝________. 答案?。? 解析　f′(1)＝ ＝ ＝ ＝－. [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 1．瞬時(shí)速度是平均速度當(dāng)Δt→0時(shí)的極限值；瞬時(shí)變化率是平均變化率當(dāng)Δx→0時(shí)的極限值． 2．利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： (1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率； (3)取極限得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝ . 6