2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式學(xué)案 新人教B版選修4-5

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式學(xué)案 新人教B版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式學(xué)案 新人教B版選修4-5（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3．2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，貝努利不等式 [讀教材·填要點(diǎn)] 貝努利(Bernoulli)不等式 設(shè)x>－1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則(1＋x)n>1＋nx. [小問題·大思維] 在貝努利不等式中，指數(shù)n可以取任意實(shí)數(shù)嗎？ 提示：可以．但是貝努利不等式的體現(xiàn)形式有所變化．事實(shí)上：當(dāng)把正整數(shù)n改成實(shí)數(shù)α后，將有以下幾種情況出現(xiàn)： (1)當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足α>1或者α<0時(shí)，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)． (2)當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足0<α<1時(shí)，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 [例1]　

2、求證：＋＋＋…＋>1(n≥2，n∈N＋)． [思路點(diǎn)撥]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答本題需要注意n的取值范圍，因?yàn)閚≥2，n∈N＋，因此應(yīng)驗(yàn)證n0＝2時(shí)不等式成立． [精解詳析]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＋＝>1. ∴n＝2時(shí)不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N)時(shí)，不等式成立，即 ＋＋＋…＋>1，那么n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋－>1＋－＝1＋， ∵k≥2，∴2≥. ∴k2－k－1＝2－≥1>0. ∴>0. ∴＋＋…＋>1. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)、(2)可知，對一切的n≥2，且n∈N＋，此不等式

3、都成立． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k到n＝k＋1的變形，為滿足題目的要求，往往要采用“放縮”等手段，例如在本題中采用了“>，…，>”的放縮變形． 1．證明不等式： 1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即 1＋＋＋…＋<2. ∵當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋＋＋…＋＋<2 ＋＝， 現(xiàn)在只需證明<2， 即證：2<2k＋1， 兩邊平方，整理：0<1，顯然成立． ∴<2成立． 即1＋＋＋…＋＋<2成立． ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由(1)(2)知，對于任何

4、正整數(shù)n原不等式都成立. 利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小 [例2]　設(shè)Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明． [思路點(diǎn)撥]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答本題需要先對n取特值，猜想Pn與Qn的大小關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明． [精解詳析]　(1)當(dāng)n＝1,2時(shí)，Pn＝Qn. (2)當(dāng)n≥3時(shí)，(以下再對x進(jìn)行分類)． ①若x∈(0，＋∞)，顯然有Pn>Qn. ②若x＝0，則Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)， 則P3－Q3＝x3<0，所以P3

5、4

6、列{an}，{bn}與函數(shù)f(x)，g(x)，x∈R，滿足條件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N＋)．若函數(shù)y＝f(x)為R上的增函數(shù)，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，證明：對任意n∈N＋，an＋1

7、(2)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即ak＋1對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論． [思路點(diǎn)撥]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用以及探索型問題的求解方法．解答本題需要根據(jù)n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． [精解詳析]　當(dāng)n＝1時(shí)，＋＋>

8、， 即>， ∴a<26，而a∈N＋，∴取a＝25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>. (1)n＝1時(shí)，已證． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)， ＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋ >＋. ∵＋＝>， ∴＋－>0， ∴＋＋…＋>也成立． 由(1)、(2)可知，對一切n∈N＋，都有＋＋…＋>，∴a的最大值為25. 利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：先通過觀察、判斷，猜想出結(jié)論， 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在型或探索型問題時(shí)． 3．對于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立

9、的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，并再證明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)． 解：猜想當(dāng)t＝3時(shí)，對一切正整數(shù)n使3n>n2成立．下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 當(dāng)n＝1時(shí)，31＝3>1＝12，命題成立． 假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，3k>k2成立， 則有3k≥k2＋1. 對n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k ≥k2＋2(k2＋1)>3k2＋1. ∵(3k2＋1)－(k＋1)2 ＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0， ∴3k＋1>(k＋1)2，∴對n＝k＋1，命題成立． 由上知，當(dāng)t＝3時(shí)，對一切n∈N＋，命題都成立． 再用數(shù)學(xué)歸納法證

10、明： n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)． 當(dāng)n＝1時(shí)，1·(1＋1)·＝>0＝lg 1，命題成立． 假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)， k(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成立． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)(k＋2)· ＝k(k＋1)·＋2(k＋1)· >lg(1·2·3·…·k)＋lg 3k＋1 >lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2 ＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]．命題成立． 由上可知，對一切正整數(shù)n，命題成立． [對應(yīng)學(xué)生用書P45] 一、選擇題 1．對于一切正整數(shù)n，下列說法不正確的是(　　) A．3n≥1＋2n　

11、　　　　　　 B．0.9n≥1－0.1n C．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n 解析：由貝努利不等式 (1＋x)n≥1＋nx(x∈N＋，x>－1)， ∴當(dāng)x＝2時(shí)，(1＋2)n≥1＋2n，故A正確． 當(dāng)x＝－0.1時(shí)，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正確，C不正確． 當(dāng)x＝－0.9時(shí)，(1－0.9)n≥1－0.9n，D正確． 答案：C 2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)＝＋＋…＋<1(n∈N＋，n≥3)的過程中：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥3)時(shí)，不等式f(k)<1成立，則需證當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)<1也成立．若f(k＋1)＝f(k)＋g(

12、k)，則g(k)＝(　　) A．＋ B．＋－ C．－ D．－ 解析：∵f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋， f(k)＝＋＋…＋， ∴f(k＋1)－f(k)＝－＋＋， ∴g(k)＝＋－.故選B. 答案：B 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“

13、沒有用到當(dāng)n＝k時(shí)的結(jié)論，這樣就失去假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立的意義，也不能構(gòu)成一個(gè)遞推關(guān)系，這不是數(shù)學(xué)歸納法．∴A、B、C都不對，選D. 答案：D 4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋1)，當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為________． 解析：當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為 2<1＋＋＋<3.

14、 答案：2<1＋＋＋<3 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)原式為________，從k到k＋1時(shí)需增添的項(xiàng)是________． 解析：當(dāng)n＝1時(shí)， 原式為1＋2＋22＋23＋25－1＝1＋2＋22＋23＋24. 從k到k＋1時(shí)需增添的項(xiàng)是 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4. 答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 7．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“<”時(shí)，n的最小取值n0應(yīng)為________． 解析：n0＝1時(shí)不成立，n0＝2時(shí)，<，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，故

15、n0＝2. 答案：2 8．設(shè)a0為常數(shù)，且an＝3n－1－2an－1(n∈N＋)，若對一切n∈N＋，有an>an－1，則a0的取值范圍是________． 解析：取n＝1,2，則a1－a0＝1－3a0>0，a2－a1＝6a0>0，∴0

16、比較2n＋2與n2的大小(n∈N＋)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 解：當(dāng)n＝1、n＝2、n＝3時(shí)都有2n＋2>n2成立，所以歸納猜想2n＋2>n2成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4；右邊＝1，左邊>右邊，所以原不等式成立； 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，所以左邊>右邊； 當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊>右邊． ②假設(shè)n＝k時(shí)(k≥3且k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即2k＋2>k2. 那么n＝k＋1時(shí) 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－

17、2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根據(jù)①和②可知，2n＋2>n2對于任何n∈N＋都成立． 11．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n項(xiàng)和．求證：≤. 證明：由已知，得Sn＝3n－1， ≤等價(jià)于≤， 即3n≥2n＋1.(*) 法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立． ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，(*)成立，即3k≥2k＋1， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(*)成立． 綜合①②，得3n≥2n＋1成立． 所以≤. 法二：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立． 當(dāng)n≥2時(shí)，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立． 所以≤. 10