東北大學 數(shù)值分析常微分方程數(shù)值解法

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1、會計學1東北大學東北大學 數(shù)值分析數(shù)值分析 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解法法 所謂數(shù)值解法,就是設法將常微分方程離散化,建立差分方程,給出解在一些離散點上的近似值. a=x0 x1x2xnxN=b其中剖分節(jié)點xn=a+nh,n=0,1,N, h稱為剖分步長.數(shù)值解法就是求精確解y(x)在剖分節(jié)點xn上的近似值yny(xn), n=1,2,N. 假設初值問題(8.1)的解y=y(x)唯一存在且足夠光滑.對求解區(qū)域a,b做剖分 我們采用數(shù)值積分方法來建立差分公式. 1.2 構(gòu)造數(shù)值解法的基本思想構(gòu)造數(shù)值解法的基本思想 在區(qū)間xn,xn+1上對方程(8.1)做積分,則有第1頁/共48頁對右邊的積

2、分應用左矩形公式，則有)2 . 8()(,()()(11nnxxnndxxyxfxyxy第2頁/共48頁梯形公式oxyab左矩形公式y(tǒng)=(x)babfafabdxxf)()(2)(baafabdxxf)()()(右矩形公式babfabdxxf)()()(中矩形公式babafabdxxf)2()()(第3頁/共48頁對右邊的積分應用左矩形公式，則有)2 . 8()(,()()(11nnxxnndxxyxfxyxy因此，建立節(jié)點處近似值yn滿足的差分公式稱之為Euler公式公式. 稱為梯形公式梯形公式. )(,()()(1nnnnxyxhfxyxy),(1nnnnyxhfyy1,2 , 1 , 0

3、,0Nny 若對(8.2)式右邊的積分應用梯形求積公式，則可導出差分公式1,2 , 1 , 0,0Nny),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy第4頁/共48頁 利用Euler方法求初值問題 解解 此時的Euler公式為稱為Euler中點公式中點公式或稱雙步雙步Euler公式公式. 若在區(qū)間xn-1,xn+1上對方程(8.1)做積分,則有11)(,()()(11nnxxnndxxyxfxyxy對右邊的積分應用中矩形求積公式，則得差分公式),(211nnnnyxhfyy1,2 , 1 , 0,0Nny20 ,21122xyxy 0)0(y的數(shù)值解.此問題的精確解是y(x)=x/(1+x

4、2).第5頁/共48頁分別取步長h=0.2 ,0.1 ,0.05,計算結(jié)果如下)211(221nnnnyxhyy2 , 1 , 0,00ny第6頁/共48頁hxnyny(xn)y(xn)-ynh=0.20.000.400.801.201.602.000.000000.376310.542280.527090.466320.406820.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.03148-0.05448-0.03529-0.01689-0.00682h=0.10.000.400.801.201.602.000.000000.360850

5、.513710.509610.458720.404190.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.01603-0.02590-0.01781-0.00928-0.00419h=0.050.000.400.801.201.602.000.000000.352870.500490.500730.454250.402270.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.00804-0.01268-0.00892-0.00481-0.00227第7頁/共48頁Euler中點公式則不然, 計

6、算yn+1時需用到前兩步的值yn , yn-1 ,稱其為兩步方法兩步方法,兩步以上的方法統(tǒng)稱為多步法多步法. 在Euler公式和梯形公式中,為求得yn+1,只需用到前一步的值yn,這種差分方法稱為單步法單步法,這是一種自開始方法. 隱式公式中,每次計算yn+1都需解方程,要比顯式公式需要更多的計算量,但其計算穩(wěn)定性較好. 在Euler公式和Euler中點公式中,需要計算的yn+1已被顯式表示出來,稱這類差分公式為顯式公式顯式公式,而梯形公式中,需要計算的yn+1隱含在等式兩側(cè),稱其為隱式公式隱式公式.第8頁/共48頁 從數(shù)值積分的角度來看,梯形公式計算數(shù)值解的精度要比Euler公式好,但它屬于

7、隱式公式,不便于計算. 實際上,常將Euler公式與梯形公式結(jié)合使用: 2.1 改進的改進的Euler方法方法),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy1,2 , 1 , 0,0Nny),(01nnnnyxhfyy),(),(21111knnnnnknyxfyxfhyy1,2 , 1 , 0,0Nny第9頁/共48頁 由迭代法收斂的角度看，當 (是給定的精度要求)時, 取 就可以保證迭代公式收斂, 而當h很小時, 收斂是很快的. 而且, 只要|111knknyy.111knnyy, 12Lyfh),(1nnnnyxhfyy),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy1,2 , 1

8、 , 0,0Nny 通常采用只迭代一次的算法:稱之為改進的改進的Euler方法方法. 這是一種單步顯式方法. 改進的Euler方法也可以寫成第10頁/共48頁)(2211KKhyynn),(1nnyxfK 1,2 , 1 , 0,0Nny y=y-2x/y , 0 x1的數(shù)值解, 取步長h=0.1 . 精確解為y(x)=(1+2x)1/2.),(12hKyhxfKnn y(0)=1 解解 (1) 利用Euler方法nnnnyxyy/2 . 01 . 119 ,2 , 1 , 0,10ny第11頁/共48頁)(05. 0211KKyynnnnnyxyK/219 ,2 , 1 , 0,10ny計算

9、結(jié)果如下:1121 . 0) 1 . 0(21 . 0KyxKyKnnn (2) 利用改進Euler方法第12頁/共48頁nxnEuler方法yn改進Euler法yn精確解y(xn)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.1918181.2774381.3582131.4351331.5089661.5803381.6497831.7177791.78477011.0959091.1840961.2662011.3433601.4164021.4859561.5525151.6164761.6781681.73786911.0954451.

10、1832161.2649911.3416411.4142141.4832401.5491931.6124521.6733201.732051第13頁/共48頁 在節(jié)點xn+1的誤差y(xn+1)-yn+1 ,不僅與yn+1這一步計算有關(guān),而且與前n步計算值yn,yn-1,y1都有關(guān). 為了簡化誤差的分析,著重研究進行一步計算時產(chǎn)生的誤差.即假設yn=y(xn),求誤差y(xn+1)-yn+1,這時的誤差稱為局部截斷誤差局部截斷誤差,它可以反映出差分公式的精度. 如果單步差分公式的局部截斷誤差為O(hp+1),則稱該公式為p階方法階方法.這里p為非負整數(shù).顯然,階數(shù)越高,方法的精度越高. 研究差

11、分公式階的重要手段是Taylor展開式,一元函數(shù)和二元函數(shù)的Taylor展開式為:第14頁/共48頁另外,在yn=y(xn)的條件下,考慮到y(tǒng)(x)=(x,y(x),則有 321! 3)(! 2)()()()()(hxyhxyhxyxyhxyxynnnnnn2222222),(),(2),(! 21),(),(),(),(kyyxfhkyxyxfhxyxfkyyxfhxyxfyxfkyhxfnnnnnnnnnnnnnn y(xn)=(xn,y(xn)=(xn,yn)=n y(xn)=nnnnnfyfxfxyxfdxd)(,(nnnnnnnnnfyfyfxffyffyxfxf2222222)(2

12、)(nnnnfyfxfdxdxy 第15頁/共48頁 yn+1=yn+h(xn,yn) 對Euler方法，有 21! 2)()()()()(hxyhxyxyhxyxynnnnn =yn+(xn,yn)h+O(h2)從而有: y(xn+1)-yn+1=O(h2)所以Euler方法是一階方法.再看改進Euler方法, 因為),(12hKyhxfKnn1hKyfhxffnnn)(221321222122222hOKhyfKhyxfhxfnnn可得第16頁/共48頁所以, 改進的Euler方法是二階方法.而nnnnnnfyxfhhfyy221)(244222223hOfyffyxfxfhnnnnn)(

13、! 3)(2)()()()(4321hOhxyhxyhxyxyxynnnnn nnnnnfyfxfhhfy22)()(26422222223hOfyfyfxffyffyxfxfhnnnnnnnnn從而有: y(xn+1)-yn+1=O(h3) 設y(x)是初值問題(8.1)的精確解, 利用Taylor展開式可得第17頁/共48頁稱之為p階Taylor展開方法. 1)1()(21)!1()(!)(! 2)()()()( pppnpnnnnhpyhPxyhxyhxyxyxy)()(,(!)(,(! 2)(,()(1)1()1(2pnnppnnnnnhOxyxfPhxyxfhxyxhfxy因此，可建

14、立節(jié)點處近似值yn滿足的差分公式),(!),(! 2),()1()1(21nnppnnnnnnyxfPhyxfhyxhfyy1,2 , 1 , 0,0Nny),(),(),(),()1(yxfyyxfxyxfyxffyfyfxffyffyxfxfyxf2222222)2()(2),(其中第18頁/共48頁所以,此差分公式是p階方法. 由于Taylor展開方法涉及很多復合函數(shù)(x,y(x)的導數(shù)的計算,比較繁瑣,因而很少直接使用,經(jīng)常用它為多步方法提供初始值.然而, Taylor展開方法給出了一種構(gòu)造單步顯式高階方法的途徑. Euler方法可寫為 可見,公式的局部截斷誤差為: y(xn+1)-y

15、n+1=O(hp+1). 3.1 Runge-Kutta方法的構(gòu)造方法的構(gòu)造hKyynn1),(nnyxfK第19頁/共48頁 構(gòu)造差分公式 改進的Euler方法可寫為)(2211KKhyynn),(1nnyxfK ),(12hKyhxfKnn)(22111ppnnKKKhyy),(1nnyxfK ),(12122KhyhxfKnn),(11piipinPnPKhyhxfK其中i,i,ij為待定參數(shù). 若此公式的局部截斷誤差為第20頁/共48頁由于 yn+1=yn+h1n+h2(n+hxn+hn yn)+O(h3)O(hp+1),稱公式為p階階Runge-kutta方法方法,簡稱p階階R-K方

16、法方法. 對于p=2的情形, 應有)(22111KKhyynn),(1nnyxfK ),() 3 . 8(12hKyhxfKnn =yn+h(1+2)n+h22(xn+n yn)+O(h3)(2)(321hOfffhhfyxyynnxnnnn所以,只要令 1+2=1, 2=1/2, 2=1/2 (8.4)第21頁/共48頁 一般地一般地, 參數(shù)由參數(shù)由(8.4)確定的一族差分公式確定的一族差分公式(8.3)統(tǒng)稱為二階統(tǒng)稱為二階R-K方法方法.稱之為中點公式中點公式,或可寫為若取=1,則得1=2=1/2,=1,此時公式(8.3)就是改進的Euler公式; 若取1=0,則得2=1,=1/2,公式(

17、8.3)為21hKyynn),(1nnyxfK ),(121212hKyhxfKnn),(,(21211nnnnnnyxhfyhxhfyy 高階R-K公式可類似推導. 下面列出常用的三階、四階R-K公式.第22頁/共48頁 四階標準四階標準R-K公式公式 三階三階R-K公式公式)4(63211KKKhyynn),(1nnyxfK )2,(213hKhKyhxfKnn)22(643211KKKKhyynn),(1nnyxfK ),(121212hKyhxfKnn),(34hkyhxfKnn),(121212hKyhxfKnn),(221213hKyhxfKnn第23頁/共48頁 解解 四階標準R

18、-K公式為)22(4321611KKKKhyynnnnnyxyK/21 y=y-2x/y , 0 x1 y(0)=1的數(shù)值解, 取步長h=0.2 .)/()2(2212213hKyhxhKyKnnn)/()2(1211212hKyhxhKyKnnn)/()(2334hKyhxhKyKnnn計算結(jié)果如下:第24頁/共48頁nxnyny(xn)nxnyny(xn)0120.00.20.41.001.18321.34171.001.18321.34163450.60.81.01.48331.61251.73211.48321.61251.7321 也可以構(gòu)造隱式R-K方法,其一般形式為prrrnnK

19、hyy11prKhyhxfKpiirinrnr, 2 , 1,),(1稱之為p級隱式級隱式R-K方法方法,同顯式R-K方法一樣確定參數(shù).如)(21211KKhyynn),(1nnyxfK ),(2211212hKhKyhxfKnn第25頁/共48頁是二級二階隱式R-K方法,也就是梯形公式.但是p級隱式R-K方法的階可以大于p,例如,一級隱式中點公式為11hKyynn),(121211hKyhxfKnn或?qū)憺?(,(121211nnnnnyyhxhfyy它是二階方法. 以p階R-K方法為例討論.設從xn以步長h計算y(xn+1)的近似值為)(1hny ,局部截斷誤差為1)(11)(phnnChy

20、xy其中,C是與h無關(guān)的常數(shù).第26頁/共48頁 如果將步長減半,取h/2為步長, 從xn經(jīng)兩步計算得到y(tǒng)(xn+1)的近似值記為 ,其局部截斷誤差為于是有從而,得到事后誤差估計)(12hny11)(1121)2(2)(2pppnnChhCyxyh可見,當phnnnnyxyyxyh21)()()(11)(112)(121)()(1)(1)(1122hnnpnnyyyxyhh|)(1)(12hnnyyh 成立時,可取)(112)(hnnyxy .否則,應將步長再次減半進行計算.第27頁/共48頁 求解初值問題的單步顯式方法可一統(tǒng)一寫為如下形式 yn+1=yn+h(xn,yn,h) (8.5) 對

21、于Euler方法,有 4.1 單步方法的收斂性單步方法的收斂性 y=(x,y) ,axb y(a)= 其中(x,y,h)稱為增量函數(shù)增量函數(shù). (x,y,h)=(x,y)對于改進的Euler方法,有 (x,y,h)=1/2(x,y)+(x+h,y+h(x,y)第28頁/共48頁 設y(x)是初值問題(8.1)的解 ,yn是單步法 (8.5)產(chǎn)生的近似解.如果對任意固定的點xn,均有y(xn),則稱單步法(8.5)是收斂的. 可見,若方法(8.5)是收斂的,則當h0時,整體截斷誤差en=y(xn)-yn將趨于零. 定理定理8.1 設單步方法(8.5)是p1階方法, 增量函數(shù)(x,y,h)在區(qū)域a

22、xb,-yn)的變化均不超過 ,則稱此差分方法是絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定的. 討論數(shù)值方法的穩(wěn)定性,通常僅限于典型的試驗方程 y=y 其中是復數(shù)且Re()0. 在復平面上,當方法穩(wěn)定時要求變量h的取值范圍稱為方法的絕對穩(wěn)定域絕對穩(wěn)定域,它與實軸的交集稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間絕對穩(wěn)定區(qū)間. 第32頁/共48頁 將Euler方法應用于方程y=y, 得到 設在計算yn時產(chǎn)生誤差n,計算值yn=yn+n,則n將對以后各節(jié)點值計算產(chǎn)生影響.記ym=ym+m ,mn,由上式可知誤差m滿足方程 m=(1+h)m-1=(1+h)m-nn , mn 對隱式單步方法也可類似討論.如將梯形公式用于方程y=y,則有 yn+1=yn+

23、h/2 (yn+yn+1) yn+1=(1+h)yn 可見,若要|m|n|,必須且只須|1+h|1 ,因此Euler法的絕對穩(wěn)定域為|1+h|1,絕對穩(wěn)定區(qū)間是-2Re()h0.解出yn+1得 第33頁/共48頁nnyhhy2121111類似前面分析,可知絕對穩(wěn)定區(qū)域為1112121hh由于Re()0,所以此不等式對任意步長h恒成立,這是隱式公式的優(yōu)點. 一些常用方法的絕對穩(wěn)定區(qū)間為方 法方法的階數(shù)穩(wěn) 定 區(qū) 間Euler方法梯形方法改進Euler方法二階R-K方法三階R-K方法四階R-K方法122234(-2 , 0)(- , 0)(-2 , 0)(-2 , 0)(-2.51 , 0)(-2

24、.78 , 0)第34頁/共48頁 解解 因y0=1,計算得y10=1024,而y(1)=9.35762310-14. y=-30y , 0 x1 y(0)=1取步長h=0.1 ,利用Euler方法計算y10y(1). y(x)=e-30 x 這是因為h=-3不屬于Euler方法的絕對穩(wěn)定區(qū)間. 若取h=0.01,計算得y100=3.23447710-16. 若取h=0.001,計算得y1000=5.91199810-14. 若取h=0.0001,計算得y10000=8.94505710-14. 若取h=0.00001,計算得y100000=9.315610-14.第35頁/共48頁 單步顯式

25、方法的穩(wěn)定性與步長密切相關(guān), 在一種步長下是穩(wěn)定的差分公式,取大一點步長就可能是不穩(wěn)定的. 收斂性是反映差分公式本身的截斷誤差對數(shù)值解的影響;穩(wěn)定性是反映計算過程中舍入誤差對數(shù)值解的影響.只有即收斂又穩(wěn)定的差分公式才有實用價值. 由于在計算yn+1時 ,已經(jīng)知道yn ,yn-1 ,及(xn,yn), (xn-1,yn-1),利用這些值構(gòu)造出精度高、計算量小的差分公式就是線性多步法.5.1 利用待定參數(shù)法構(gòu)造線性多步方法利用待定參數(shù)法構(gòu)造線性多步方法 r+1步線性多步方法的一般形式為第36頁/共48頁當-10時,公式為隱式公式,反之為顯式公式.參數(shù)i,i的選擇原則是使方法的局部截斷誤差為 y(x

26、n+1)-yn+1=O(h)r+2 選取參數(shù),0,1,2,使三步方法 yn+1=yn+h(0n+1n-1+2n-2) 這里,局部截斷誤差是指 ,在yn-i=y(xn-i),i=0,1,r的前提下,誤差y(xn+1)-yn+1.為三階方法. ririiniininfhyy011 解解 設yn=y(xn),yn-1=y(xn-1),yn-2=y(xn-2),則有 第37頁/共48頁 n=(xn,y(xn)=y(xn) y(xn+1)=y(xn)+hy(xn)+1/2h2y(xn)+1/6h3y(xn) 于是有若使: y(xn+1)-yn+1=O(h4) ,只要,0,1,2滿足: n-1=(xn-1

27、,y(xn-1)=y(xn-1)=y(xn-h) =y(xn)-hy(xn)+1/2h2y(xn)-1/6h3y(4)(xn)+O(h4) n-2=y(xn)-2hy(xn)+2h2y(xn)-4/3h3y(4)(xn)+O(h4) yn+1=y(xn)+h(0+1+2)y(xn)-h2(1+22)y(xn) +h3(1/21+22)y(xn)-h4/6(1+82)y(4)(xn)+O(h5) +1/24h4y(4)(xn)+O(h5) 第38頁/共48頁 =1, 0+1+2=1, 1+22=-1/2 , 1+42=1/3于是有三步三階顯式差分公式設pr(x)是函數(shù)(x,y(x)的某個r次插值

28、多項式,則有解之得: yn+1=yn+h/12(23n-16n-1+5n-2) 因為 125,34,1223, 12101)(,()()(1nnxxnndxxyxfxyxy1)()()(1nnxxnrnnRdxxpxyxy其中 第39頁/共48頁 選取不同的插值多項式pr(x),就可導出不同的差分公式.下面介紹常用的Adams公式公式. 設已求得精確解y(x)在步長為h的等距節(jié)點xn-r,xn上的近似值yn-r ,yn , 記k=(xk,yk) ,利用r+1個數(shù)據(jù)(xn-r,n-r),(xn,n)構(gòu)造r次Lagrange插值多項式由此,可建立差分公式 1.Adams顯式公式顯式公式 1)(1n

29、nxxrnndxxpyy1)()(,(nnxxrndxxpxyxfR其中 rjjnjnrfxlxp0)()(第40頁/共48頁由此,可建立差分公式 由于 rjxxxxxlrjkkknjnknjn, 1 , 0)()()(0 hrj jnxxjnrjnnfdxxlyynn1)(01)()()()(110thxxdxxxxxdxxlnxxrjkkknjnknxxjnnnnn令100, 1 , 0,)()!( !) 1(rjkkjrjdtktjrjh則有 rjjnrjnnfhyy01稱之為r+1步步Adams顯式公式顯式公式. 第41頁/共48頁下面列出幾個帶有局部截斷誤差主項的Adams顯式公式

30、r=0 yn+1=yn+hn+(1/2)h2y(xn) 2.Adams隱式公式隱式公式 r=1 yn+1=yn+(h/2)(3n-n-1)+(5/12)h3y(xn) r=2 yn+1=yn+(h/12)(23n-16n-1+5n-2) +(3/8)h4y(4)(xn) r=3 yn+1=yn+(h/24)(55n-59n-1+37n-2-9n-3) +(251/720)h5y(5)(xn) 如果利用r+1個數(shù)據(jù)(xn-r+1,n-r+1),(xn+1,n+1)構(gòu)造r次Lagrange插值多項式pr(x),則可導出數(shù)值穩(wěn)定性好的隱式公式,稱為Adams隱式公式隱式公式,其一般形式為第42頁/共

31、48頁其中系數(shù)為 010*, 1 , 0,)()!( !) 1(rjkkjrjrjdtktjrjrjjnrjnnfhyy01*1下面列出幾個帶有局部截斷誤差主項的Adams隱式公式 r=0 yn+1=yn+hn+1-(1/2)h2y(xn) r=1 yn+1=yn+(h/2)(n+n+1)-(1/12)h3y(xn) r=2 yn+1=yn+(h/12)(5n+1+8n-n-1) -(1/24)h4y(4)(xn) r=3 yn+1=yn+(h/24)(9n+1+19n-5n-1+n-2) -(19/720)h5y(5)(xn)第43頁/共48頁 3.Adams預估預估-校正公式校正公式 由顯

32、式公式提供一個預估值，再用隱式公式校正一次，求得數(shù)值解，稱為預估校正方法預估校正方法。 校正 yn+1=yn+(h/24)(9n+1+19n-5n-1+n-2) 一般預估公式和校正公式都采用同階公式。例如： 預估 yn+1=yn+(h/24)(55n-59n-1+37n-2-9n-3) n+1=(xn+1,yn+1) , n=3,4,稱為四階Adams預估校正公式.實際計算時通常用四階單步方法(如四階R-K公式)為它提供起始值y1,y2,y3 . 用四階Adams預估校正公式求解初值問題 第44頁/共48頁 y=y-2x/y , 0 x1 y(0)=1取步長h=0.1. 解 用四階R-K公式提

33、供起始值,計算結(jié)果如下xnR-k法yn預估值yn校正值yn精確值y(xn)00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.0954461.1832171.2649121.3415511.4140451.4830171.5489171.6121141.6729141.7315661.3416411.4142131.4832391.5491921.6124501.6733181.73204811.0954451.1832161.2649911.3416411.4142141.4832401.5491931.6124521.6733201.732051第45頁/共48頁第第250頁頁 習題習題88-5, 8-7, 8-8, 8-11, 8-12, 8-13, 8-15 第46頁/共48頁課間休息課間休息第47頁/共48頁