二階三階行列式及線性方程組

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1、會計學(xué)1二階三階行列式及線性方程組二階三階行列式及線性方程組提示:a11a22x1+a12a22x2=b1a22 a22a11x1+a12x2=b1a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 a21x1+a22x2=b2(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 第1頁/共16頁提示:a11a21x1+a12a21x2=b1a21 a21a11x1+a12x2=b1a11a11a21x1+a11a22x2=a11b2 a21x1+a

2、22x2=b2(a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21 211222112122211aaaabaabx-= 211222112112112aaaaabbax-= 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 第2頁/共16頁b1b2a12a22a11a21a12a22 x1=a11a21 b1 b2a11a21a12a22 x2=a11a21a12a22 我們用符號 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 這樣就有 211222112122211aaaabaabx-= 2112221

3、12112112aaaaabbax-= 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 第3頁/共16頁a11a21a12a22行列式中的相關(guān)術(shù)語 我們用 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 并稱它為二階行a11a21a12a22列式 行列式的元素、行、列、主對角線、副對角線 對角線法則 -a12a21=a11a22 二階行列式是主對角線上兩元素之積減去的副對角線上二元素之積所得的差 第4頁/共16頁DDxDDxDaaaa2211,021221121= = = = =以寫成以寫成的條件下，解的公式可的條

4、件下，解的公式可系數(shù)行列式系數(shù)行列式二元線性方程組在在其二元線性方程組在在其系數(shù)位置；系數(shù)位置；的的中中即用方程右端系數(shù)取代即用方程右端系數(shù)取代數(shù)位置；數(shù)位置；的系的系中中即用方程右端系數(shù)取代即用方程右端系數(shù)取代其中，其中，22211,11121122212xDDxDDbbaaaabb= = =上述方法稱為解二元線性方程組的克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法則。第5頁/共16頁 例 求解二元線性方程組 =+=-1212232121xxxx 解 由于 07)4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D因此 271411=DDx

5、 07)4(31223=-=-=D 14)2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D 271411=DDx 372122-=-=DDx a11a21a12a22-a12a21=a11a22第6頁/共16頁 為了便于記憶和計算 我們用符號 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 其中 D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1

6、a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31 方程組 a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解為DDx11=DDx22=DDx33= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 第7頁/共16頁 我們用符號 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22

7、a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并稱它為三階行列式 行列式中的相關(guān)術(shù)語 對角線法則 行列式的元素、行、列、主對角線、副對角線 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 第8頁/共16頁=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 例 計算三階行列式 1-2-3224-41-2D= 按對角線法則 有 解 =-4-6+32-4-8-24-(-4)2(-3)+(-4)(-

8、2)4D=12(-2)+21(-3)-114-2(-2)(-2)=-14第9頁/共16頁 例 求解方程 1241391xx2=0 由x2-5x+6=0解得 解 方程左端的三階行列式=x2-5x+6D=3x2+4x+18-9x-2x2-12x=2或x=3 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31第10頁/共16頁 也稱為一個也稱為一個n階行列式。階行列式。11121321222312detnnnnaaaaaaAaaa= =將任意一個將任意一個n階矩陣階矩陣()ijn nAa = =對應(yīng)一個數(shù)，對應(yīng)一個數(shù)，稱為稱為A的

9、行列式，記作的行列式，記作det A ，即，即第11頁/共16頁的子行列式：的子行列式：ija的子行列式：的子行列式：ijadetijM的代數(shù)余子式：的代數(shù)余子式：ija( 1)detijijijAM+ += -= - 去掉去掉A中某一元素中某一元素 的第的第i行和行和第第j列后所得的列后所得的n-1階行列式，稱階行列式，稱為該元素的子行列式，記為為該元素的子行列式，記為Mijijaija的代數(shù)余子式：的代數(shù)余子式： A中某一元素中某一元素 的子行列式乘的子行列式乘以以 所得的式子，稱為該所得的式子，稱為該元素的代數(shù)余子式，記為元素的代數(shù)余子式，記為ijijaji+ +- - )1(第12頁/

10、共16頁1321204140.231AA- -例 求行列式的代數(shù)余子式和例 求行列式的代數(shù)余子式和1 31314( 1)-23A+ += -= -解：解：1 34 ( 2)= = - - - -11= =(0 143)= = - - - - 12= =2 12104( 1)31A+ += -= -.ijijaa代代數(shù)數(shù)余余子子式式只只與與的的位位置置有有關(guān)關(guān)，而而與與的的大大小小無無關(guān)關(guān)注：注：第13頁/共16頁11111112121111111det2det( 1)detnnnjjjjijijnAnAanA a Aa Aa AaMAa+ += =+=-=- 定義： 階矩陣 的行列式，規(guī)定當(dāng)

11、時，；定義： 階矩陣 的行列式，規(guī)定當(dāng) 時，； 當(dāng)時，=當(dāng)時，= 其中是的代數(shù)余子式。其中是的代數(shù)余子式。 稱稱 為行為行 列式按第列式按第 一行展開一行展開計算計算n階行列式的方法之一：階行列式的方法之一：1nn-階階求出行列式的值階階求出行列式的值注：此方法可以推廣到按任意行或任意列元素的展開。第14頁/共16頁111112121313Da Aa Aa A=+=+111213212223313233aaaDaaaaaa= =例 計算三階行列式例 計算三階行列式解：解：222321231 11 211123233313321221 3133132( 1)( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaaaa+ +=-+-=-+-+-+-132231122133112311223312233132132132a a aa aa a aa aaaa aaaaa+-= =第15頁/共16頁