2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式學(xué)案 文 北師大版

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1、 第二節(jié)　基本不等式 [考綱傳真]　1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第81頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． (3)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù).稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)． 2．幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào))； (2)＋≥2(a，b同號(hào)且不為零，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào))； (3)ab≤2(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào))； (4)2≤

2、(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào))． 3．利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知x>0，y>0，則 (1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大)． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)x>0，y>0是＋≥2的充要條件．(　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值為2.(　　)

3、 [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2>2ab　 B．a(chǎn)＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，明顯錯(cuò)誤． 對(duì)于D，∵ab>0， ∴＋≥2＝2.] 3．(2018·福州模擬)若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[因?yàn)橹本€＋＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2

4、＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取“＝”，故選C．] 4．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 C　[當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x＝3，即a＝3，選C．] 5．(教材改編)若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是__________m2. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090198】 25　[設(shè)矩形的一邊為x m，矩形場(chǎng)地的面積為y， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m，

5、 則y＝x(10－x)≤2＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時(shí)，ymax＝25.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第81頁(yè)) 直接法或配湊法求最值 　(1)(2015·湖南高考)若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A．　 B．2 C．2 D．4 (2)已知x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________． (1)C　(2)1　[(1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)即a＝，b＝2時(shí)取“＝”，所以ab的最小值為2. (2)因?yàn)閤＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1. 當(dāng)

6、且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.] [規(guī)律方法]　(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件． (2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式． [變式訓(xùn)練1]　(1)若函數(shù)f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 (2)(2018·平頂山模擬)若對(duì)于任意的x＞0，不等式≤a恒

7、成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤ (1)C　(2)A　[(1)當(dāng)x＞2時(shí)，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x＞2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，即a＝3，選C． (2)由x＞0，得＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立．則a≥，故選A．] 常數(shù)代換法或消元法求最值 　(1)(2018·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＝2，則＋的最小值為________． (2)(2018·鄭州模擬)已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是_____

8、___． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090199】 (1)　(2)3　[(1)∵正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＝2， 則＋＝(2x＋y) ＝≥ ＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)． ∴＋的最小值為. (2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，則2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以2x＋y的最小值為3.] [規(guī)律方法]　條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)

9、函數(shù)的不等式求解． 易錯(cuò)警示：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號(hào)成立的條件一致． [變式訓(xùn)練2]　(1)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，則＋的最小值為________． (2)(2018·淮北模擬)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y－xy＝0，則x＋2y的最小值為(　　) A．8 B．4 C．2 D．0 (1)18　(2)A　[(1)因?yàn)閤＞0，y＞0，且x＋y＝1， 所以＋＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)x＝，y＝時(shí)，＋有最小值18

10、. (2)法一：(常數(shù)代換法)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x＞0，y＞0. ∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8. 法二：(不等式法)由x＞0，y＞0得x＋2y＝xy≤·2 即(x＋2y)2－8(x＋2y)≥0 解得x＋2y≥8或x＋2y≤0(舍去) 從而x＋2y的最小值為8.] 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 　運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí))．假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元． (1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次

11、行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090200】 [解]　(1)設(shè)所用時(shí)間為t＝(h)， y＝×2×＋14×，x∈[50,100]. 2分 所以這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是 y＝＋x，x∈. (或y＝＋x，x∈). 5分 (2)y＝＋x≥26 ， 當(dāng)且僅當(dāng)＝x， 即x＝18，等號(hào)成立. 8分 故當(dāng)x＝18千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元. 12分 [規(guī)律方法]　1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． 2．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．

12、 3．在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解． [變式訓(xùn)練3]　某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長(zhǎng)l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝. (1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時(shí)； (2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時(shí). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090201】 (1)1 900　(2)100　[(1)當(dāng)l＝6.05時(shí)，F(xiàn)＝， ∴F＝＝≤＝1 900， 當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝11時(shí)取“＝”． ∴最大車流量F為1 900輛/時(shí)． (2)當(dāng)l＝5時(shí)，F(xiàn)＝＝， ∴F≤＝2 000， 當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝10時(shí)取“＝”． ∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加2 000－1 900＝100輛/時(shí)．] 7