《2019年高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式學案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019年高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式學案 文 北師大版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第二節(jié) 基本不等式
[考綱傳真] 1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.
(對應學生用書第81頁)
[基礎知識填充]
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.
(2)等號成立的條件:當且僅當a=b時取等號.
(3)稱為正數(shù)a,b的算術平均數(shù).稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).
2.幾個重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R當且僅當a=b時,取等號);
(2)+≥2(a,b同號且不為零,當且僅當a=b時,取等號);
(3)ab≤2(a,b∈R,當且僅當a=b時,取等號);
(4)2≤
2、(a,b∈R,當且僅當a=b時,取等號).
3.利用基本不等式求最值問題
已知x>0,y>0,則
(1)如果xy是定值p,那么當且僅當x=y(tǒng)時,x+y有最小值是2(簡記:積定和最小).
(2)如果x+y是定值s,那么當且僅當x=y(tǒng)時,xy有最大值是(簡記:和定積最大).
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=x+的最小值是2.( )
(2)函數(shù)f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0,y>0是+≥2的充要條件.( )
(4)若a>0,則a3+的最小值為2.( )
3、
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是( )
A.a(chǎn)2+b2>2ab B.a(chǎn)+b≥2
C.+> D.+≥2
D [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A錯誤;對于B,C,當a<0,b<0時,明顯錯誤.
對于D,∵ab>0,
∴+≥2=2.]
3.(2018·福州模擬)若直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于
( )
A.2 B.3
C.4 D.5
C [因為直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2
4、+2=4,當且僅當a=b=2時取“=”,故選C.]
4.若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a等于( )
A.1+ B.1+
C.3 D.4
C [當x>2時,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,當且僅當x-2=(x>2),即x=3時取等號,即當f(x)取得最小值時,x=3,即a=3,選C.]
5.(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地,則矩形場地的最大面積是__________m2.
【導學號:00090198】
25 [設矩形的一邊為x m,矩形場地的面積為y,
則另一邊為×(20-2x)=(10-x)m,
5、 則y=x(10-x)≤2=25,
當且僅當x=10-x,即x=5時,ymax=25.]
(對應學生用書第81頁)
直接法或配湊法求最值
(1)(2015·湖南高考)若實數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為( )
A. B.2
C.2 D.4
(2)已知x<,則f(x)=4x-2+的最大值為________.
(1)C (2)1 [(1)由+=知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,
當且僅當即a=,b=2時取“=”,所以ab的最小值為2.
(2)因為x<,所以5-4x>0,
則f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=-2+3=1.
當
6、且僅當5-4x=,即x=1時,等號成立.
故f(x)=4x-2+的最大值為1.]
[規(guī)律方法] (1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應用基本不等式求最值時,和或積為定值,“三相等”是指滿足等號成立的條件.
(2)在利用基本不等式求最值時,要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式.
[變式訓練1] (1)若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a等于( )
A.1+ B.1+
C.3 D.4
(2)(2018·平頂山模擬)若對于任意的x>0,不等式≤a恒
7、成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)>
C.a(chǎn)< D.a(chǎn)≤
(1)C (2)A [(1)當x>2時,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,當且僅當x-2=(x>2),即x=3時取等號,即當f(x)取得最小值時,即a=3,選C.
(2)由x>0,得=≤=,當且僅當x=1時,等號成立.則a≥,故選A.]
常數(shù)代換法或消元法求最值
(1)(2018·河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)已知正實數(shù)x,y滿足2x+y=2,則+的最小值為________.
(2)(2018·鄭州模擬)已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是_____
8、___. 【導學號:00090199】
(1) (2)3 [(1)∵正實數(shù)x,y滿足2x+y=2,
則+=(2x+y)
=≥
=,當且僅當x=y(tǒng)=時取等號.
∴+的最小值為.
(2)由x2+2xy-3=0得y==-x,則2x+y=2x+-x=+≥2=3,當且僅當x=1時,等號成立,所以2x+y的最小值為3.]
[規(guī)律方法] 條件最值的求解通常有三種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系,然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是對條件使用基本不等式,建立所求目標
9、函數(shù)的不等式求解.
易錯警示:(1)利用基本不等式求最值,一定要注意應用條件;(2)盡量避免多次使用基本不等式,若必須多次使用,一定要保證等號成立的條件一致.
[變式訓練2] (1)已知x>0,y>0且x+y=1,則+的最小值為________.
(2)(2018·淮北模擬)已知正數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,則x+2y的最小值為( )
A.8 B.4
C.2 D.0
(1)18 (2)A [(1)因為x>0,y>0,且x+y=1,
所以+=(x+y)
=10++≥10+2=18,
當且僅當=,即x=2y時等號成立,
所以當x=,y=時,+有最小值18
10、.
(2)法一:(常數(shù)代換法)由x+2y-xy=0,得+=1,且x>0,y>0.
∴x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8.
法二:(不等式法)由x>0,y>0得x+2y=xy≤·2
即(x+2y)2-8(x+2y)≥0
解得x+2y≥8或x+2y≤0(舍去)
從而x+2y的最小值為8.]
基本不等式的實際應用
運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:千米/時).假設汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油升,司機的工資是每小時14元.
(1)求這次行車總費用y關于x的表達式;
(2)當x為何值時,這次
11、行車的總費用最低,并求出最低費用的值.
【導學號:00090200】
[解] (1)設所用時間為t=(h),
y=×2×+14×,x∈[50,100]. 2分
所以這次行車總費用y關于x的表達式是
y=+x,x∈.
(或y=+x,x∈). 5分
(2)y=+x≥26 ,
當且僅當=x,
即x=18,等號成立. 8分
故當x=18千米/時,這次行車的總費用最低,最低費用的值為26元.
12分
[規(guī)律方法] 1.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).
2.根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
12、 3.在求函數(shù)的最值時,一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.
[變式訓練3] 某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù),單位:輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒),平均車長l(單位:米)的值有關,其公式為F=.
(1)如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為________輛/時;
(2)如果限定車型,l=5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時. 【導學號:00090201】
(1)1 900 (2)100 [(1)當l=6.05時,F(xiàn)=,
∴F==≤=1 900,
當且僅當v=,即v=11時取“=”.
∴最大車流量F為1 900輛/時.
(2)當l=5時,F(xiàn)==,
∴F≤=2 000,
當且僅當v=,即v=10時取“=”.
∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加2 000-1 900=100輛/時.]
7