2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 北師大版選修2-2

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1、第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 【例1】　復(fù)數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時(shí)，(1)z∈R；(2)z為虛數(shù)． 思路探究：根據(jù)復(fù)數(shù)的分類列方程求解． [解]　(1)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0， 所以 由②得x＝4，經(jīng)驗(yàn)證滿足①③式． 所以當(dāng)x＝4時(shí)，z∈R. (2)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0， 所以 由①得x>或x<. 由②得x≠4，由③得x>3. 所以當(dāng)x>且x≠4時(shí)，z為虛數(shù)． 解決復(fù)數(shù)問題的三點(diǎn)注意 1．正確確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實(shí)數(shù)、虛數(shù)

2、、純虛數(shù)、相等復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模)的前提． 2．兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù)． 3．求字母的范圍時(shí)一定要關(guān)注實(shí)部與虛部自身有意義． 1．(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為(　　) A．－3　　 B．－1 C．1 D．3 (2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部是__________． (1)D　(2)1　[(1)因?yàn)閍－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由純虛數(shù)的定義，知a－3＝0，所以a＝3. (2)法一：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 則i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋

3、(a＋1)i＝－3＋2i. 由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得解得 故復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1． 法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1．] 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 【例2】　(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z＝1＋i，則＋i·＝(　　) A．－2　　 B．－2i C．2 D．2i (2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝(　　) A．2＋3i　 B．2－3i C．3＋2i　　 D．3－2i 思路探究：(1)先求出及，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解． (2)利用方程思想求解并化簡． (1)C　(2)A　[(1)∵z＝

4、1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故選C. (2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.] 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)數(shù)加減乘運(yùn)算可類比多項(xiàng)式的加減乘運(yùn)算，注意把i看作一個(gè)字母(i2＝－1)，除法運(yùn)算注意應(yīng)用共軛的性質(zhì)z·為實(shí)數(shù)． 2．已知(1＋2i)＝4＋3i，則的值為(　　) A．＋i　　　　 B．－i C．－＋i D．－－i A　[因?yàn)?1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.] 復(fù)數(shù)的幾何意義 【例3】　(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

5、點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(0，－1) B．(0,1) C． D． 思路探究：先把復(fù)數(shù)z化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再寫出其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)． (1)A　(2)A　[(1)復(fù)數(shù)＝＝＝＋i. ∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是. ∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．故選A. (2)∵＝＝＝－i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(0，－1)，故選A.] 復(fù)數(shù)的幾何意義 1．復(fù)數(shù)的幾何表示法：即復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來表示．此類問題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(

6、組)或不等式(組)求解． 2．復(fù)數(shù)的向量表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量表示的復(fù)數(shù)等于它的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；向量平移后，此向量表示的復(fù)數(shù)不變，但平移前后起點(diǎn)、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)要改變． 3．(1)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z＋1所對(duì)應(yīng)的向量正確的是(　　) (2)若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是(　　) A．E B．F　　　 C．G　　　 D．H (1)A　(2)D　[(1)由題圖知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1對(duì)應(yīng)的向量應(yīng)為選項(xiàng)A. (2)由題圖可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，則其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為H

7、(2，－1)．] 轉(zhuǎn)化與化歸思想 【例4】　設(shè)z∈C，滿足z＋∈R，且z－是純虛數(shù)，求z. 思路探究：本題關(guān)鍵是設(shè)出z代入題中條件進(jìn)而求出z. [解]　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則 z＋＝x＋yi＋＝＋i， ∵z＋∈R， ∴y－＝0， 解得y＝0或x2＋y2＝1， 又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是純虛數(shù)． ∴ ∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±， ∴復(fù)數(shù)z＝±i. 一般設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，則涉及復(fù)數(shù)的分類、幾何意義、模的運(yùn)算、四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)等問題，都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足的條件，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的思想是本章的主要思想方法． 4．已知復(fù)數(shù)z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． [解]　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i， ∴|z1|＝＝2. (2)∵|z|＝1，∴可設(shè)z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)， ∴|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝ ＝＝. ∴當(dāng)sin＝1時(shí)，|z－z1|取得最大值，最大值為＝2＋1． - 6 -