2019-2020學年高中數(shù)學 第5章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入章末復習課學案 北師大版選修2-2

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1、第5章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 復數(shù)的概念 【例1】　復數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當x為何實數(shù)時，(1)z∈R；(2)z為虛數(shù)． 思路探究：根據(jù)復數(shù)的分類列方程求解． [解]　(1)因為一個復數(shù)是實數(shù)的充要條件是虛部為0， 所以 由②得x＝4，經(jīng)驗證滿足①③式． 所以當x＝4時，z∈R. (2)因為一個復數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0， 所以 由①得x>或x<. 由②得x≠4，由③得x>3. 所以當x>且x≠4時，z為虛數(shù)． 解決復數(shù)問題的三點注意 1．正確確定復數(shù)的實、虛部是準確理解復數(shù)的有關概念(如實數(shù)、虛數(shù)

2、、純虛數(shù)、相等復數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模)的前提． 2．兩復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù)． 3．求字母的范圍時一定要關注實部與虛部自身有意義． 1．(1)設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為(　　) A．－3　　 B．－1 C．1 D．3 (2)設復數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的實部是__________． (1)D　(2)1　[(1)因為a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由純虛數(shù)的定義，知a－3＝0，所以a＝3. (2)法一：設z＝a＋bi(a，b∈R)， 則i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋

3、(a＋1)i＝－3＋2i. 由復數(shù)相等的充要條件，得解得 故復數(shù)z的實部是1． 法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即復數(shù)z的實部是1．] 復數(shù)的四則運算 【例2】　(1)設i是虛數(shù)單位，表示復數(shù)z的共軛復數(shù)．若z＝1＋i，則＋i·＝(　　) A．－2　　 B．－2i C．2 D．2i (2)設復數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝(　　) A．2＋3i　 B．2－3i C．3＋2i　　 D．3－2i 思路探究：(1)先求出及，結(jié)合復數(shù)運算法則求解． (2)利用方程思想求解并化簡． (1)C　(2)A　[(1)∵z＝

4、1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故選C. (2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.] 復數(shù)的四則運算 復數(shù)加減乘運算可類比多項式的加減乘運算，注意把i看作一個字母(i2＝－1)，除法運算注意應用共軛的性質(zhì)z·為實數(shù)． 2．已知(1＋2i)＝4＋3i，則的值為(　　) A．＋i　　　　 B．－i C．－＋i D．－－i A　[因為(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.] 復數(shù)的幾何意義 【例3】　(1)在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的

5、點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為(　　) A．(0，－1) B．(0,1) C． D． 思路探究：先把復數(shù)z化為復數(shù)的標準形式，再寫出其對應坐標． (1)A　(2)A　[(1)復數(shù)＝＝＝＋i. ∴復數(shù)對應點的坐標是. ∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限．故選A. (2)∵＝＝＝－i，其對應的點為(0，－1)，故選A.] 復數(shù)的幾何意義 1．復數(shù)的幾何表示法：即復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復平面內(nèi)的點Z(a，b)來表示．此類問題可建立復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程(

6、組)或不等式(組)求解． 2．復數(shù)的向量表示：以原點為起點的向量表示的復數(shù)等于它的終點對應的復數(shù)；向量平移后，此向量表示的復數(shù)不變，但平移前后起點、終點對應的復數(shù)要改變． 3．(1)已知復數(shù)z對應的向量如圖所示，則復數(shù)z＋1所對應的向量正確的是(　　) (2)若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)的點是(　　) A．E B．F　　　 C．G　　　 D．H (1)A　(2)D　[(1)由題圖知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1對應的向量應為選項A. (2)由題圖可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，則其在復平面上對應的點為H

7、(2，－1)．] 轉(zhuǎn)化與化歸思想 【例4】　設z∈C，滿足z＋∈R，且z－是純虛數(shù)，求z. 思路探究：本題關鍵是設出z代入題中條件進而求出z. [解]　設z＝x＋yi(x，y∈R)，則 z＋＝x＋yi＋＝＋i， ∵z＋∈R， ∴y－＝0， 解得y＝0或x2＋y2＝1， 又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是純虛數(shù)． ∴ ∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±， ∴復數(shù)z＝±i. 一般設出復數(shù)z的代數(shù)形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，則涉及復數(shù)的分類、幾何意義、模的運算、四則運算、共軛復數(shù)等問題，都可以轉(zhuǎn)化為實數(shù)x，y應滿足的條件，即復數(shù)問題實數(shù)化的思想是本章的主要思想方法． 4．已知復數(shù)z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． [解]　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i， ∴|z1|＝＝2. (2)∵|z|＝1，∴可設z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)， ∴|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝ ＝＝. ∴當sin＝1時，|z－z1|取得最大值，最大值為＝2＋1． - 6 -