2019版高考數學一輪復習 第十一章 坐標系與參數方程 第68講 參數方程學案

《2019版高考數學一輪復習 第十一章 坐標系與參數方程 第68講 參數方程學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019版高考數學一輪復習 第十一章 坐標系與參數方程 第68講 參數方程學案（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第68講　參數方程 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解參數方程，了解參數的意義． 2．能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程. 2017·全國卷Ⅰ，22 2016·全國卷Ⅲ，23 2016·江蘇卷，21(C) 參數方程部分主要考查參數方程與普通方程的互化，并且多與極坐標方程結合考查. 分值：5～10分 1．參數方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上__任意一點__的坐標x，y都是某個變數t的函數：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數方程，變數t叫做參變數，簡稱__參數__

2、，相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做__普通方程__． 2．直線、圓、橢圓的參數方程 (1)過點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為(t為參數)． (2)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數方程為(θ為參數)． (3)①橢圓＋＝1(a>b>0)的參數方程為(φ為參數)． ②橢圓＋＝1(a>b>0)的參數方程為(φ為參數)． 1．思維辨析(在括號內打“√”或打“×”)． (1)參數方程(t≥1)表示直線．(　×　) (2)參數方程當m為參數時表示直線，當θ為參數時表示的曲線為圓．(　√　) (3)直線 (t為參數)的傾斜角α為30°.(

3、　√　) (4)參數方程表示的曲線為橢圓．(　×　) 解析 (1)∵t≥1，∴x＝t＋1≥2，y＝2－t≤1，故參數方程表示的曲線是直線的一部分． (2)當m為參數時，x＋y＝cos θ＋cos θ表示直線，當θ為參數時，(x－m)2＋(y＋m)2＝1表示圓． (3)方程可化為表示直線其傾斜角為30°. (4)∵θ∈，∴x≥0，y≥0，方程不表示橢圓． 2．參數方程(t為參數)化為普通方程為__3x＋y－4＝0(x∈[0,2))__． 解析 ∵x＝， y＝＝＝4－3×＝4－3x， 又x＝＝＝2－∈[0,2)， ∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程為3x＋y－4＝0(x∈[0,

4、2))． 3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數方程分別為和(t為參數)，則曲線C1與C2的交點坐標為__(2,1)__． 解析 由C1得x2＋y2＝5，且① 由C2得x＝1＋y，② ∴由①②聯立解得或(舍)． 4．直線(t為參數)與圓(θ為參數)相切，則切線的傾斜角為__或__. 解析 直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，因為直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直線的傾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切線的傾斜角為或. 5．在直角坐標系xOy中，

5、已知曲線C1：(t為參數)與曲線C2：(θ為參數，a>0)有一個公共點在x軸上，則a＝　　. 解析 將曲線C1與C2的方程化為普通方程求解． ∵消去參數t得2x＋y－3＝0， 又消去參數θ得＋＝1. 根據題意可知C1與x軸交點在C2上， 則在方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝. 將代入＋＝1，得＝1，又a>0，∴a＝. 一　參數方程與普通方程的互化 將參數方程化為普通方程的方法 (1)將參數方程化為普通方程，需要根據參數方程的結構特征，選取適當的消參方法．常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數的參數方程，常利用同角三角函數關系式

6、消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等． (2)將參數方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要出現增解． 【例1】 將下列參數方程化為普通方程． (1)(t為參數)； (2)(θ為參數)． 解析 (1)2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝， ∴x≠0.當t≥1時，0＜x≤1， 當t≤－1時，－1≤x＜0，∴所求普通方程為x2＋y2＝1， 其中或 (2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin 2 θ≤1，∴2≤x≤3， ∴所

7、求的普通方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 二　直線與圓的參數方程及應用 直線與圓的參數方程中的參數是可以具有幾何意義的，如果能正確應用它，可以使問題的解決事半功倍，也可以把直線和圓的方程都普通化，再行解決． 【例2】 已知曲線C1：(θ為參數)及曲線C2：(t為參數)． (1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數； (2)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2，寫出C′1，C′2的參數方程．C′1與C′2公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同？說明你的理由． 解析 (1)C1是圓，C2是直線，C1的普通方程為x

8、2＋y2＝1， 圓心C1(0,0)，半徑r＝1.C2的普通方程為x－y＋＝0. 因為圓心到直線x－y＋＝0的距離為1， 所以C1與C2只有一個公共點． (2)壓縮后的參數方程分別為 C′1：(θ為參數)，C′2：(t為參數)． 化為普通方程為C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋， 聯立消元得2x2＋2x＋1＝0，其Δ＝(2)2－4×2×1＝0， 故壓縮后C′1與C′2仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點個數相同． 三　參數方程與極坐標方程的綜合問題 涉及參數方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結合題目本身特點

9、，確定選擇何種方程． 【例3】 在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l的參數方程為(t為參數)，l與C分別交于點M，N. (1)寫出C的直角坐標方程和l的普通方程； (2)若，，成等比數列，求a的值． 解析 (1)曲線C的直角坐標方程為y2＝2ax(a＞0)； 直線l的普通方程為x－y－2＝0. (2)將直線l的參數方程與C的直角坐標方程聯立并整理， 得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，(*) Δ＝8a(4＋a)＞0，設點M，N分別對應參數t1，t2，則t1，t2恰為上

10、述方程的兩根，則|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|. 由題設得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|. 由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0， 則有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1或a＝－4.因為a＞0， 所以a＝1.　 1．將下列參數方程化為普通方程． (1)(k為參數)； (2)(θ為參數)． 解析 (1)兩式相除，得k＝，將其代入x＝得x＝， 化簡得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1

11、－sin 2θ) 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程y2＝2－x，x∈[0,2]． 2．設直線l的參數方程為(t為參數，α為傾斜角)，圓C的參數方程為(θ為參數)． (1)若直線l經過圓C的圓心，求直線l的斜率； (2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍． 解析 (1)由已知得直線l經過的定點是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，－1)，所以，當直線l經過圓C的圓心時，直線l的斜率為k＝. (2)由圓C的參數方程得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2. 當α≠90°時，設k＝tan α，則直線l的普通方程為y－4＝k(x

12、－3)，即kx－y＋4－3k＝0. 當直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑，即＜2，解得k＞， 即直線l的斜率的取值范圍為. 3．(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解析 (1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cos θ，sin θ)到l

13、的距離為d＝. 當a≥－4時，dmax＝＝，所以a＝8； 當a<－4時，dmax＝＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 4．已知P(x，y)是圓x2＋y2－2y＝0上的動點． (1)求2x＋y的取值范圍； (2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實數c的取值范圍． 解析 方程x2＋y2－2y＝0變形為x2＋(y－1)2＝1. 其參數方程為(θ為參數)． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin (θ＋φ)＋1， 其中φ由sin φ＝，cos φ＝確定， ∴1－≤2x＋y≤1＋. (2)若x＋y＋c≥0恒成立， 即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)對一

14、切θ∈R恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1， ∴當且僅當c≥－1時，x＋y＋c≥0恒成立． 易錯點　不清楚直線的參數方程中參數的幾何意義 錯因分析：只有直線的參數方程中的參數具有幾何意義，否則會導致解題錯誤．因此，需要牢記直線的點斜式參數方程． 【例1】 已知直線l過點P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y2＝2x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求： (1)點P，M兩點間的距離； (2)點M的坐標； (3)線段AB的長． 解析 (1)∵直線l過點P(2,0)，斜率為， 設直線的傾斜角為α，tan α＝，sin α＝，cos α＝，

15、∴直線l的參數方程為(t為參數)．(*) ∵直線l與拋物線相交，將直線的參數方程代入拋物線方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，且Δ＝152＋4×8×50＞0， 設這個一元二次方程的兩個根為t1，t2， 由根與系數的關系，得t1＋t2＝，t1t2＝－， 由M為線段AB的中點，根據t的幾何意義， 得＝＝. (2)將t中＝＝代入(*)式， 得M點的坐標為. (3)＝＝＝. 【跟蹤訓練1】 (2018·河北衡水中學質檢)在平面直角坐標系xOy中，斜率為1的直線l過定點P(－2，－4)，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρsin2θ－

16、4cos θ＝0. (1)求曲線C的直角坐標方程以及直線l的參數方程； (2)兩曲線相交于M，N兩點，求|PM|＋|PN|的值． 解析 (1)由ρsin 2θ－4cos θ＝0得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， ∴曲線C的直角坐標方程為y2＝4x， 直線l的參數方程為(t為參數)． (2)將直線l的參數方程代入y2＝4x，得t2－12t＋48＝0， 設M，N對應的參數分別為t1，t2，則t1＋t2＝12，t1·t2＝48， ∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝12. 課時達標　第68講 [解密考綱]高考中，主要涉及曲線的極坐標方程、曲線的參數方程、

17、極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數方程與普通方程的互化，兩種不同方式的方程的互化是考查的熱點，常以解答題的形式出現． 1．已知曲線C1：(t為參數)，C2：(θ為參數)． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應的參數為t＝，Q為C2上的動點， 求PQ中點M到直線C3：(t為參數)距離的最小值． 解析 (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1. C1是圓心為(－4,3)，半徑為1的圓．C2是中心為坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當t＝時，P(－4,4)，Q(8cos θ，3si

18、n θ)， 故M. C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離 d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|≥. 從而當cos θ＝，sin θ＝－時，d取得最小值. 2．已知直線l：(t為參數)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程ρ＝2cos θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值． 解析 (1)ρ＝2cos θ等價于ρ2＝2ρcos θ，① 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①， 得曲線

19、C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②，得t2＋5t＋18＝0， 設這個方程的兩個實根分別為t1，t2， 則由參數t的幾何意義即知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 3．在極坐標系中，圓C的圓心為C，半徑為2.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，取相同的長度單位建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)求圓C的極坐標方程； (2)設l與圓的交點為A，B，l與x軸的交點為P，求|PA|＋|PB|. 解析 (1)在直角坐標系中，圓心為C(1，)，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2x－2y＝0， 化為極坐標方程得ρ

20、2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0， 即ρ＝4sin . (2)把代入x2＋y2－2x－2y＝0，得t2＝4，所以點A，B對應的參數分別為t1＝2，t2＝－2. 令＋t＝0得點P對應的參數為t0＝－2. 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t0|＋|t2－t0|＝|2＋2|＋|－2＋2|＝2＋2＋(－2＋2)＝4. 4．已知曲線C的參數方程是(α為參數)， 直線l的參數方程為(t為參數)． (1)求曲線C與直線l的普通方程； (2)若直線l與曲線C相交于P，Q兩點，且|PQ|＝，求實數m的值． 解析 (1)由得 ①2＋②2得曲線C的普通方程為x2＋(y－m)2＝1.

21、由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)， 所以直線l的普通方程為y＝2x＋2. (2)圓心(0，m)到直線l的距離為d＝， 所以2＋2＝1，解得m＝3或m＝1. 5．(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2.　 (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求的最小值及此時P的直角坐標． 解析 (1)C1的普通方程為＋y2＝1， C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設點

22、P的直角坐標為(cos α，sin α)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝. 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為. 6．(2017·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，曲線C的參數方程為(s為參數)．設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 解析 直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離d＝＝. 當s＝時，dmin＝. 因此當點P的坐標為(4,4)時，曲線C上點P到直線l的距離取得最小值. 10