2022年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析(I)

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1、2022年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析(I) 【試卷綜評】本次試卷（1）?注重基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，符合高考命題的意圖和宗旨。?讓不同的考生掌握不同層次的數(shù)學(xué)，讓幾乎所有的考生都能感受到成功的喜悅。注重基礎(chǔ)知識的考查，這樣讓所有同學(xué)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了更強(qiáng)的信心。?（2）?注重能力考查??初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識是學(xué)生進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是參加社會實踐的必備知識．考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握程度，是高考的重要目標(biāo)之一．要善于知識之間的聯(lián)系，善于綜合應(yīng)用，支離破碎的知識是不能形成能力的．考查時，既要注重綜合性，又兼顧到全面，更注意突出重點(diǎn)． 一、選擇題：(本大題共10個小題，每小題5分，共

2、50分)在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；各題答案必須答在答題卡上相應(yīng)的位置. 1. 已知等差數(shù)列中， ，，則其公差是（ ） A ． 6 B ．3 C ．2 D ．1 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì);等差數(shù)列的通項公式． 【答案解析】D解析 ：解：∵等差數(shù)列{an}中，∴即, 故選：D. 【思路點(diǎn)撥】將兩式，作差，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立公差的等式，解之即可． 2. 已知直線，，則“”是“”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知

3、識點(diǎn)】兩直線垂直的充要條件. 【答案解析】A解析 ：解：因為，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件. 故選：A. 【思路點(diǎn)撥】利用兩直線垂直的充要條件解方程可得或，然后判斷即可. 3.學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取 了個同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都 在[10,50)（單位：元），其中支出在 （單位：元）的同學(xué)有67人，其頻率分布直方 圖如右圖所示，則的值為（ ） A．100 　 B．120 C．130 D．390 【知識點(diǎn)】頻率分布直方圖． 【答案解析】A解析 ：解：∵位于10～20、20～30的小矩形的面積分

4、別為 S1=0.01×10=0.1，S2=0.023×10=0.23， ∴位于10～20、20～30的據(jù)的頻率分別為0.1、0.23 可得位于10～30的前3組數(shù)的頻率之和為0.1+0.23=0.33 由此可得位于30～50數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67 ∵支出在[30，50）的同學(xué)有67人，即位于30～50的頻數(shù)為67， ∴根據(jù)頻率計算公式，可得=0.67，解之得n=100 故選：A 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數(shù)的頻率之和為0.33，從而得到位于30～50的數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計算公式即可算出樣本容量n的值．

5、 4.(原創(chuàng))口袋中有形狀和大小完全相同的四個球，球的編號分別為1,2,3,4，若從袋中隨機(jī)抽取兩個球，則取出的兩個球的編號之和大于5的概率為（ ） A． B. C. D. 【知識點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式． 【答案解析】C解析 ：解：從5個球中隨機(jī)抽取兩個球，共有＝6種抽法． 滿足兩球編號之和大于5的情況有（2，4），（3，4）共2種取法．所以取出的兩個球的編號之和大于5的概率為． 【思路點(diǎn)撥】由組合知識求出從4個球中隨機(jī)抽取兩個球的所有方法種數(shù)，由題意得到兩球編號之和大于5的方法種數(shù)，然后直接利用古典概型概率計算公式求解． 【典型總結(jié)】本題

6、考查了古典概型及其概率計算公式，考查了組合及組合數(shù)公式． 5.如圖. 程序輸出的結(jié)果s=132 , 則判斷框中應(yīng)填（ ） A. i≥10 B. i≥11 C. i≤11 D. i≥12 【知識點(diǎn)】程序框圖． 【答案解析】B解析 ：解：由題意，S表示從12開始的逐漸減小的若干個整數(shù)的乘積，由于12×11=132，故此循環(huán)體需要執(zhí)行兩次所以每次執(zhí)行后i的值依次為11，10,由于i的值為10時，就應(yīng)該退出循環(huán)，再考察四個選項，B符合題意 故選B 【思路點(diǎn)撥】由框圖可以得出，循環(huán)體中的運(yùn)算是每執(zhí)行一次s就變成了s乘以i，i的值變?yōu)閕-

7、2，故S的值是從12開始的逐漸減小的若干個整數(shù)的乘積，由此規(guī)律解題計算出循環(huán)體執(zhí)行幾次，再求出退出循環(huán)的條件，對比四個選項得出正確答案． 6.圓與直線相切于第三象限，則的值是（ ）． A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；點(diǎn)到直線的距離公式. 【答案解析】C解析 ：解：由圓，得到圓心（a，0），半徑r=1， 根據(jù)題意得：圓心到直線的距離d=r，即解得：， ∵圓與直線相切于第三象限，∴a＜0．即. 故選C． 【思路點(diǎn)撥】由圓方程找出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)題意得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出

8、方程的解即可得到a的值． 7.已知點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動，則的取值范圍是（ ） A.　 B. C. D. 【知識點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃. 【答案解析】B解析 ：解：畫可行域如圖，畫直線， 平移直線過點(diǎn)A（0，1）時z有最大值1； 平移直線過點(diǎn)B（2，0）時z有最小值-2； 則的取值范圍是[-2，1] 故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)步驟：①畫可行域②z為目標(biāo)函數(shù)縱截距③畫直線0=y-x，平移可得直線過A或B時z有最值即可解決． 【典型總結(jié)】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值． 8.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，

9、，若數(shù)列的連續(xù)四項在集合中，則等于( ) A． B． C．或 D．或 【知識點(diǎn)】遞推公式的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】C解析 ：解：{bn}有連續(xù)四項在{-53，-23，19，37，82}中且bn=an+1 an=bn-1 則{an}有連續(xù)四項在{-54，-24，18，36，81}中 ∵{an}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負(fù)數(shù)項則q＜0，且負(fù)數(shù)項為相隔兩項 ∴等比數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值的順序排列上述數(shù)值18，-24，36，-54，81} 相鄰兩項相除則可得，-24，36，-54，81是{an}中連續(xù)的四項，此時q= ,同理可求q= ∴q=或 q= .

10、 故選B 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)bn=an+1可知 an=bn-1，依據(jù){bn}有連續(xù)四項在{-53，-23，19，37，82}中，則可推知則{an}有連續(xù)四項在{-54，-24，18，36，81}中，按絕對值的順序排列上述數(shù)值，可求{an}中連續(xù)的四項，求得q. 9.已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線過點(diǎn)且與直線垂直.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為（ ） A．1 B． C．2 D． 【知識點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式;直線的方程;圓的方程;直線與圓的位置關(guān)系. 【答案解析】A解析 ：解：∵圓C的方程為x2+y2=-2y+3，∴化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得x2+（

11、y+1）2=4， 由此可得圓的圓心為C（0，-1）、半徑為2． ∵直線x-y+1=0的斜率為1且與直線l垂直，直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0）， ∴直線l的斜率為k=-1，可得直線l的方程為y=-（x-1），即x+y-1=0． 因此，圓心C到直線l的距離． ∴直線l被圓C截得的弦長， 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)O到AB的距離為 ∴△OAB的面積為 故選：A 【思路點(diǎn)撥】將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心為C（0，-1）、半徑為2．由垂直的兩直線斜率的關(guān)系算出直線l的斜率為1，可得l的方程為x+y-1=0，進(jìn)而算出圓心C到l的距離，再根據(jù)垂徑定理算出l被圓C截得的弦長|AB|= ．最后由點(diǎn)到直線的距離公式

12、算出原點(diǎn)O到AB的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可算出△OAB的面積． 10. (原創(chuàng)) 設(shè)集合, , 若，則實數(shù)m的取值范圍是（ ） A． B. C. D. 【知識點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系. 【答案解析】D解析 ：解：因為，則或，（1）當(dāng)時，必有，解得，滿足題意. （2）當(dāng)必有≤m2，解可得， 此時集合A表示圓環(huán)內(nèi)點(diǎn)的集合或點(diǎn)（2，0），集合B表示與x+y=0平行的一系列直線的集合，要使兩集合為空集，圓環(huán)與直線系無交點(diǎn). ① 此時，滿足題意； ②當(dāng)時，有則有 又由，則，可得，滿足題意； ③當(dāng)時，有解可得：又由，則m的范圍是：

13、綜合可得m的范圍是 故答案為 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可把問題轉(zhuǎn)換為圓與直線有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離小于或等于半徑，進(jìn)而聯(lián)立不等式組求得m的范圍． 第Ⅱ卷(非選擇題，共100分) 11. 在△中，角所對的邊分別為，已知，，．則= . 【知識點(diǎn)】余弦定理;特殊角的三角函數(shù)值. 【答案解析】解析 ：解：∵，，， ∴由余弦定理得：，則b=． 故答案為： 【思路點(diǎn)撥】利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，c及cosB代入計算即可求出b的值． 12.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出一個數(shù)，使得的概率為 ． 【知識點(diǎn)】幾何概型． 【答案解析】0.3解析 ：解：由題意，故有，

14、解得,由幾何概率模型的知識知，總的測度，區(qū)間的長度為10，隨機(jī)地取出一個數(shù)a，使得這個事件的測度為3 故區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出一個數(shù)a，使得的概率為0.3 故答案為0.3 【思路點(diǎn)撥】由代入得出關(guān)于參數(shù)a的不等式，解之求得a的范圍，再由幾何的概率模型的知識求出其概率． 【典型總結(jié)】本題考查幾何概率模型，求解本題的關(guān)鍵是正確理解的意義，即得到參數(shù)a所滿足的不等式，從中解出事件所對應(yīng)的概率. 13.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為 【知識點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用;圓的對稱性;利用基本不等式求最值. 【答案解析】解析 ：解：可化為：∴圓的圓心是（2，1）,∵直線平分圓

15、的周長，所以直線恒過圓心（2，1）,把（2，1）代入直線，得 ∴∵a＞0，b＞0， ∴ 故答案為：. 【思路點(diǎn)撥】先求出圓的圓心坐標(biāo)，由于直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心，從而有，再將表示為，利用基本不等式可求． 14. (原創(chuàng))給出下列四個命題： ①某班級一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號、33號、46號同學(xué)在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的編號為23； ②一組有六個數(shù)的數(shù)據(jù)是1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同； ③根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中，則； 其中正確的命題有

16、 （請?zhí)钌纤姓_命題的序號） 【知識點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；線性回歸方程． 【答案解析】②③解析 ：解：對于①，由系統(tǒng)抽樣的原理知抽樣的間隔為52÷4=13，故抽取的樣本的編號分別為7，7+13，7+13×2，7+13×3，即7號、20號、33號、46號，①是假命題； 對于②，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)為（1+2+3+3+4+5）=3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，都相同，②是真命題； 對于③，回歸直線方程為y=ax+2的直線過點(diǎn)，把（1，3）代入回歸直線方程y=ax+2得a=1．③是真命題； 故答案為：②③， 【思路點(diǎn)撥】①利用系統(tǒng)抽樣

17、的特點(diǎn)可求得該次系統(tǒng)抽樣的編號，從而可判斷其正誤； ②利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的概念，可求得數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而可知其正誤； ③利用回歸直線過點(diǎn)，即可求得a的值，從而可知其正誤. 15. (原創(chuàng)) 數(shù)列滿足,則的最小值是 【知識點(diǎn)】構(gòu)造新數(shù)列；等差數(shù)列的性質(zhì). 【答案解析】解析 ：解：因為，整理得：， 兩邊同時除以可得：，則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最小值是. 故答案為：. 【思路點(diǎn)撥】先把原式變形構(gòu)造新數(shù)列進(jìn)而判斷即可. 三、解答題 ：(本大題6個小題，共75分)各題解答必須答在答題卡上相應(yīng)題目

18、指定的方框內(nèi)(必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程). 16.（本小題滿分13分）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列. （1）求； （2）令，求數(shù)列的前項和. 【知識點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的通項與性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和公式；對數(shù)的運(yùn)算法則. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）設(shè)的公比為，由，，成等差數(shù)列，得. 又，則，解得. ∴（ ）. （2），∴，是首項為0，公差為1的等差數(shù)列， 它的前項和. 【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè){an}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與等差中項的定義，建立關(guān)于q的等式解出q=2，即可求出{an}的通項公式． （2）根據(jù)（I）中求出的{

19、an}的通項公式，利用對數(shù)的運(yùn)算法則算出bn=n-1，從而證出{bn}是首項為0、公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項和公式加以計算，可得數(shù)列{bn}的前n項和Sn的表達(dá)式． 17. （本小題滿分13分）在中，角對的邊分別為，且． (1)求的值； (2)若，求的面積． 【知識點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；三角形面積公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）,由正弦定理及合比定理可得： （2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab， 又a+b=ab，所以（ab）2-3ab-4=0，解得ab=4

20、或ab=-1（舍去） 所以 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正弦定理以及合比定理即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根據(jù)三角形的面積公式求出答案． 18. （本小題滿分13分）某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時 間內(nèi)每個技工加工的合格零件數(shù)，按十位數(shù)字為莖， 個位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示．已知甲、乙 兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10. （1）求m，n的值； （2）分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和， 并由此分析兩組技工的加工水平； （3）質(zhì)檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機(jī)抽取一名技工，對其加工的零件進(jìn)行 檢測，若兩人加工的合格零件數(shù)之和大于17，則稱該車

21、間“質(zhì)量合格”，求該車間“質(zhì)量合格” 的概率． （注：方差，為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)） 【知識點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差． 【答案解析】（1）m=3,n=8 (2) 乙組更穩(wěn)定些（3） 解析 ：解：（1）m=3,n=8 (2), ,所以兩組技工水平基本相當(dāng)，乙組更穩(wěn)定些。 （3）基本事件總數(shù)有25個，事件A的對立事件含5個基本事件，故P（A）＝ 【思路點(diǎn)撥】（1）由題意根據(jù)平均數(shù)的計算公式分別求出m，n的值． (2)分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件數(shù)的方差和，再根據(jù)它們的平均值相等，可得方差較小的發(fā)揮更穩(wěn)定一些． （3

22、）用列舉法求得所有的基本事件的個數(shù)，找出其中滿足該車間“待整改”的基本事件的個數(shù)，即可求得該車間“待整改”的概率． 19. （本小題滿分12分） (原創(chuàng))已知函數(shù)f (x) =（a、b為常數(shù)）. （1）若，解不等式； （2）若,當(dāng)x∈[，2]時， 恒成立，求b的取值范圍. 【知識點(diǎn)】分類討論的思想方法；分式不等式的解法；不等式恒成立的問題. 【答案解析】（1）①當(dāng)，即時，不等式的解集為： ②當(dāng)，即時，不等式的解集為： ③當(dāng)，即時，不等式的解集為： （2）b>1 解析 ：解：（1） ①當(dāng)，即時，不等式的解集為： ②當(dāng)，即時，不等式的解集為： ③當(dāng)，即時，不等

23、式的解集為： （2） （※）且，不等式恒成立，則； 又當(dāng)x=－1時，不等式（※）顯然成立；當(dāng)時，，故b>－1.綜上所述，b>1 【思路點(diǎn)撥】（1）轉(zhuǎn)化為分式不等式后再利用分類討論的思想求出解集；（2）轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，b的不等式后，再利用基本不等式即可. 20. （本小題滿分12分）(原創(chuàng))已知圓M： ，直線：x＋y＝11, 上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a , 過點(diǎn)A作圓M的兩條切線 , , 切點(diǎn)分別為B ,C. （1）當(dāng)a＝0時，求直線 , 的方程； （2）當(dāng)直線 , 互相垂直時，求a 的值； （3）是否存在點(diǎn)A，使得？若存在， 求出點(diǎn)A的

24、坐標(biāo)，若不存在，請說明理由. 【知識點(diǎn)】直線方程的求法；點(diǎn)到直線的距離公式；向量的數(shù)量積公式. 【答案解析】（1）（2）a＝5（3）點(diǎn)A不存在. 解析 ：解：（1））圓M： ,圓心M(0 , 1) , 半徑r=5,A(0, 11) , 設(shè)切線的方程為y＝k x＋11, 圓心距, ∴ ,所求直線l1 , l2的方程為 （2）當(dāng)l1 ⊥l2時，四邊形MCAB為正方形，∴ 設(shè)A(a , 11－a), M(0 , 1) 則， ∴ a＝5 （3）設(shè)，則， 又，故，又圓心M到直線的距離是 ∴ ，，故點(diǎn)A不存在 【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出直線方程的斜截式，利用點(diǎn)到直線的距離公式可

25、求斜率，進(jìn)而求出直線方程（2）l1 ⊥l2時，四邊形MCAB為正方形，解方程即可；（3）計算與已知矛盾，故不存在. 21. （本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足： （1）若數(shù)列是以常數(shù)為首項，公差也為的等差數(shù)列，求的值； （2）若，求證：對任意都成立； （3）若，求證：對任意都成立； 【知識點(diǎn)】數(shù)列遞推式;數(shù)列與不等式的結(jié)合;放縮法. 【答案解析】（1）（2）見解析（3）見解析 解析：解：（1）由題意，，又由得 ，即對一切成立，所以 （2）由得，兩邊同除以得 （3） ，將代入，得 由得，所以 ，所以 從而 又由得所以，從而，綜上， 【思路點(diǎn)撥】（1）由得：，從而可求的求得a1=0； （2）由得，兩邊同除以可得結(jié)論 （3）由（2）可知 ，再進(jìn)行放縮,可證得結(jié)論．