2021中考數學 第6講 一次方程（組）

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1、 第6講 一次方程(組) 考點1 一元一次方程及解法 等式的性質 性質1：等式兩邊加(或減)同一個數或同一個① ，所得結果仍是等式； 性質2：等式兩邊乘(或除以)同一個數(除數不能為0)，所得結果仍是② . 方程的概念 含有未知數的③ 叫做方程. 方程的解 使方程左右兩邊的值④ 的未知數的值叫做方程的解. 一元一次方程的概念 只含有⑤ 個未知數，且未知數的最高次數是⑥ 的整式方程，叫做一元一次方程. 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步驟：去分

2、母、去⑦ 、移項、合并⑧ 、系數化為1. 考點2 二元一次方程組及解法 二元一次方程的概念 含有⑨ 未知數，并且未知項的次數是⑩ 的整式方程叫做二元一次方程. 二元一次方程組的概念 一般地，含有? 的未知數的? 二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 二元一次方程組的解 二元一次方程組的兩個方程的? ，叫做二元一次方程組的解. 二元一次方程組的解法 解二元一次方程組的方法步驟： 二元一次方程組? 方程. 消元是解二元一次方程組的基本

3、思路，方法有? 消元法和? 消元法兩種. 考點3 一次方程(組)的應用 列方程(組)解應用題的一般步驟 1.審 審清題意和數量關系，弄清題中的已知量和未知量，明確各數量之間的關系. 2.設 設未知數(可設直接或 未知數). 3.列 根據題意尋找 列方程(組). 4.解 解方程(組). 5.答 檢驗所求的未知數的值是否符合題意，寫出答案. 1.解二元一次方程組時，若方程組其中一個方程中的未知數系數為1或-1，則直接采用代入消元法求解；若相同未知數的系數相等或互為相反數時，則直接采用加減消元法求解.

4、 2.列方程(組)的關鍵是尋找等量關系，尋找等量關系常用的方法有：①抓住不變量；②找關鍵詞；③畫線段圖或列表格；④運用數學公式. 命題點1 一次方程(組)的解法 例1 (2014·濱州)解方程組： 【思路點撥】通過觀察方程組，y的系數符號相反且系數的絕對值是整數倍，①×3+②即可消去y，求出x，然后再代入任一方程可求y的值. 【解答】 方法歸納：在對二元一次方程組進行消元時，要根據方程組的特點靈活選擇代入法或加減法：(1)方程中有一個未知數的系數為1或-1時，一般采用代入消元法；(2)當兩個方程中的某個未知數的系數相同或互為相反數，

5、或者存在倍數關系時，一般采用加減消元法. 1.(2014·濱州)方程2x-1=3的解是( ) A.-1 B. C.1 D.2 2.(2014·婁底)已知關于x的方程2x+a-5=0的解是x=2，則a的值為 . 3.解方程：-=-1.3. 4.(2014·湖州)解方程組 命題點2 一次方程(組)的應用 例2 (2014·聊城)某服裝店用6 000元購進A，B兩種新式服裝，按標價出售后可獲毛利潤3 800元(毛利

6、潤＝售價-進價)，這兩種服裝的進價、標價如下表所示： (1)求這兩種服裝各購進的件數； (2)如果A種服裝按標價的8折出售，B種服裝按標價的7折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標價售出少收入多少元？ 【思路點撥】(1)題中有兩個等量關系式：①購進A種新式服裝和B種新式服裝共用去6 000元；②按標價出售A種新式服裝和B種新式服裝后共可獲毛利潤3 800元.依據這兩個等量關系直接設未知數構建方程組求解即可； (2)根據第(1)題計算出購進A型服裝、B型服裝的數量，再按“A種服裝按標價的8折出售，B種服裝按標價的7折出售”進行計算即可. 【解答】

7、 方法歸納：用方程(組)解決問題的關鍵是審清題意，找出題目的相等關系，一些相等關系可以設元轉換未知量，另一些相等關系可以列方程用，但一般情況是一個相等關系只用一次. 1.(2014·無錫)某文具店一支鉛筆的售價為1.2元，一支圓珠筆的售價為2元.該店在“6·1兒童節(jié)”舉行文具優(yōu)惠售賣活動，鉛筆按原價打8折出售，圓珠筆按原價打9折出售，結果兩種筆共賣出60支，賣得金額87元.若設鉛筆賣出x支，則依題意可列得的一元一次方程為( ) A.1.2×0.8x+2×0.9(60+x)＝87 B.1.2×0.8x+2×0.9(60-x)＝87 C.2×0.9x+

8、1.2×0.8(60+x)＝87 D.2×0.9x+1.2×0.8(60-x)＝87 2.(2013·棗莊)某種商品每件的標價是330元，按標價的八折銷售時，仍可獲利10%，則這種商品每件的進價為( ) A.240元 B.250元 C.280元 D.300元 3.(2014·溫州)20位同學在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵.設男生有x人，女生有y人.根據題意，列方程組正確的是( ) A. B. C.

9、 D. 4.(2014·江西)小錦和小麗購買了價格分別相同的中性筆和筆芯.小錦買了20支筆和2盒筆芯，用了56元；小麗買了2支筆和3盒筆芯，僅用了28元.求每支中性筆和每盒筆芯的價格. 1.(2014·咸寧)若代數式x+4的值是2，則x等于( ) A.2 B.-2 C.6 D.-6 2.(2015·原創(chuàng))關于x的方程3x+m-7=0的解是x=1，則m的值為( ) A.2

10、 B.3 C.4 D.5 3.(2014·婁底)方程組的解為( ) A. B. C. D. 4.(2014·孝感)已知是二元一次方程組的解，則m-n的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2013·南昌)某單位組織34人分別到井岡山和瑞金進行革命傳統(tǒng)教育，到井岡山的人數是瑞

11、金的人數的2倍多1人，求到兩地的人數各是多少？設到井岡山的人數為x人，到瑞金的人數為y人.下面所列的方程組正確的是( ) A. B. C. D. 6.(2013·隨州)我市圍繞“科學節(jié)糧減損，保障糧食安全”，積極推廣農戶使用“彩鋼小糧倉”.每套小糧倉的定價是350元，為了鼓勵農戶使用，中央、省、市財政給予補貼，補貼部分是農戶實際出資的三倍還多30元，則購買一套小糧倉農戶實際出資是( ) A.80元 B.95元 C.135元

12、 D.270元 7.(2014·湖州)方程2x-1=0的解是x= . 8.(2014·重慶A卷)方程組的解是 . 9.請寫出一個二元一次方程組答案不唯一，如： 使它的解是 10.(2013·湘潭)湖園中學學生志愿服務小組在“三月學雷鋒”活動中，購買了一批牛奶到敬老院慰問老人.如果送給每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送給每位老人3盒牛奶，則正好送完.設敬老院有x位老人，依題意可列方程為 . 11.已知關于x、y的二元一次方程組且x+y=2，則k的值為 . 12.(2

13、014·甘孜)設a，b，c，d為實數，現規(guī)定一種新的運算 =ad-bc.則滿足等式 =1的x的值為 . 13.(2014·濱州)解方程：2-=. 14.(2014·威海)解方程組： 15.(2014·岳陽)某項球類比賽，每場比賽必須分出勝負，其中勝1場得2分，負1場得1分.某隊在全部16場比賽中得到25分，求這個隊勝、負場數分別是多少？ 16.(2014·連云港)小林在某商店買商品A、B共三次，只有一次購買時，商品A、B同時打折，其余兩次均按標價購買，三次購買商品A、B的數量及費用如下表： 購買商品A的數量(個)

14、 購買商品B的數量(個) 購買總費用(元) 第一次購買 6 5 1 140 第二次購買 3 7 1 110 第三次購買 9 8 1 062 (1)小林按打折扣價購買商品A、B是第 次購買； (2)求A、B的標價； (3)若A、B的折扣相同，問商店是打幾折出售的？ 17.(2013·涼山)根據圖中給出的信息，解答下列問題： (1)放入一個小球水面升高 cm，放入一個大球水面升高 cm； (2)如果要使水面上升到50 cm，應放入大球、小球各多少個？ 18.(2013·嘉興)某

15、鎮(zhèn)水庫的可用水量為12 000萬立方米，假設年降水量不變，能維持該鎮(zhèn)16萬人20年的用水量.實施城市化建設，新遷入4萬人后，水庫只夠維持居民15年的用水量. (1)問：年降水量為多少萬立方米？每人年平均用水量多少立方米？ (2)政府號召節(jié)約用水，希望將水庫的保用年限提高到25年，則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少立方米才能實現目標？ 19.(2014·濱州)某公園“6·1”期間舉行特優(yōu)讀書游園活動，成人票和兒童票均有較大的折扣，張凱、李利都隨他們的家人參加了本次活動，王斌也想去，就打聽張凱、李利買門票花了多少錢.張凱說他家去了3個大人和4個小孩，共花了38元錢；

16、李利說他家去了4個大人和2個小孩，共花了44元錢.王斌家計劃去3個大人和2個小孩，請你幫他算一下，需準備 元錢買門票. 20.(2013·揚州)已知關于x、y的方程組的解滿足x>0，y>0，求實數a的取值范圍. 21.(原創(chuàng))有一種用來畫圓的工具板(如圖所示)，工具板長21 cm，上面依次排列著大小不等的五個圓(孔)，其中最大圓的直徑為3 cm，其余圓的直徑從左到右依次遞減x cm，最大圓的左側距工具板左側邊緣1.5 cm，最小圓的右側距工具板右側邊緣1.5 cm；且相鄰兩圓的間距d均相等. (1)用含x的代數式表示出其余四個圓的直徑長； (2

17、)若最大圓是最小圓的直徑的1511，求相鄰兩圓的間距. 22.(2014·日照)如圖，長青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠從A地購買一批每噸1 000元的原料運回工廠，制成每噸8 000元的產品運到B地.已知公路運價為1.5元/(噸·千米)，鐵路運價為1.2元/(噸·千米)，且這兩次運輸共支出公路運輸費15 000元，鐵路運輸費97 200元.求： (1)該工廠從A地購買了多少噸原料？制成運往B地的產品多少噸？ (2)這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？ 23.為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.下表

18、是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的一部分信息： [說明：①每戶產生的污水量等于該戶的用水量；②水費=自來水費+污水處理費] 已知小王家2012年4月份用水20噸，交水費66元；5月份用水25噸，交水費91元. (1)求a、b的值; (2)隨著夏天的到來用水量將增加，為了節(jié)約開支，小王計劃把6月份水費控制在家庭月收入的2%，若小王家月收入為9 200元，則小王家6月份最多能用水多少噸？ 參考答案 考點解讀 ①整式 ②等式 ③等式 ④相等 ⑤一 ⑥1 ⑦括號 ⑧同類項 ⑨兩 ⑩1 ?相同 ?兩 ?公共解 ?一元一次 ?

19、代入 ?加減 間接 等量關系 各個擊破 例1 ①×3+②，得10x=20，則x=2. 把x=2代入①，得6-y=7，則y=-1. ∴原方程組的解為 題組訓練 1.D 2.1 3.去分母，得5(x+4)-2(x-3)=-13， 去括號，得5x+20-2x+6=-13， 移項，得5x-2x=-13-20-6， 合并，得3x=-39， 系數化為1，得x=-13. 4.①+②得5x=10,∴x=2. 把x=2代入②，得4-y=3,∴y=1. ∴原方程組的解是 例2 (1)設購進A型服裝x件，B型服裝y件.由題意，得 解得 答：購進A型服裝50件，B型服

20、裝30件. (2)A種服裝按標價的8折出售，B種服裝按標價的7折出售時，服裝店的毛利潤為： (100×0.8-60)×50+(160×0.7-100)×30=20×50+12×30=1 360(元). 3 800-1 360＝2 440(元). 答：服裝店打折售出比按標價售出少收入2 440元. 題組訓練 1.B 2.A 3.D 4.設每支中性筆x元，每盒筆芯y元，根據題意，得 解得 答：每支中性筆2元，每盒筆芯8元. 整合集訓 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7. 8. 9.答案不唯一，如： 10.2x+16=3x 11.4

21、 12.-10 13.去分母，得12-2(2x+1)=3(1+x)， 去括號，得12-4x-2=3+3x， 移項，合并同類項，得-7x=-7， 把系數化為1，得x=1. 14.②×6，得3x-2y＝6.③ ③-①，得3y＝3.∴y＝1. 把y＝1代入①，得3x-5＝3.∴x＝. ∴原方程組的解為 15.設這個隊勝x場，則負(16-x)場.根據題意得 2x+(16-x)=25，解得x=9. ∴16-x=7. 答：這個隊勝、負場數分別是9場、7場. 16.(1)三. (2)設A、B的標價分別為x元，y元，則由題意，得 解得 答：A、B的標價分別為90元，120元.

22、 (3)設商店是打x折出售的，則 (90×9+8×120)=1 062.解得x=6. 答：商店是打六折出售的. 17.(1)放入三個體積相同的小球水面升高32-26=6(cm)，則放入一個小球水面升高2 cm； 放入兩個體積相同的大球水面升高32-26=6(cm)，則放入一個大球水面升高3 cm. 故答案分別填：2，3. (2)設應放入x個大球，y個小球，由題意，得 解得 答：應放入4個大球，6個小球. 18.(1)設年降水量為x萬立方米，每人年平均用水量為y立方米，則 解得 答：年降水量為200萬立方米，每人年平均用水量為50立方米. (2)設該鎮(zhèn)居民年平均用水量為

23、z立方米才能實現目標，則 12 000+25×200＝20×25z.解得z＝34. ∴50-34＝16. 答：該鎮(zhèn)居民人均每年需要節(jié)約16立方米的水才能實現目標. 19.34 20.解關于x、y的方程組，得 ∵x＞0，y＞0， ∴ ∴a的取值范圍是＜a＜2. 21.(1)其余四個圓的直徑長分別為(3-x)cm，(3-2x)cm，(3-3x)cm，(3-4x)cm； (2)根據題意，得 解得 答：相鄰兩圓的間距為1.25 cm. 22.(1)設工廠從A地購買了x噸原料，制成運往B地的產品y噸，依題意，得 整理，得解得 答：工廠從A地購買了400噸原料，制成運往B地的產品300噸. (2)300×8 000-400×1 000-15 000-97 200=1 887 800(元). 答：這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多1 887 800元. 23.(1)由題意，得 解得 (2)當用水量為30噸時，水費為： 17×3+13×5=116(元)，9 200×2%=184(元). ∵116<184， ∴小王家6月份最多能用水超過30噸. 設小王家6月份用水量為x噸，由題意，得 17×3+13×5+6.8(x-30)≤184，解得x≤40. ∴小王家6月份最多用水40噸. 9