2021中考數(shù)學(xué) 第6講 一次方程(組)
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1、 第6講 一次方程(組) 考點(diǎn)1 一元一次方程及解法 等式的性質(zhì) 性質(zhì)1:等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或同一個① ,所得結(jié)果仍是等式; 性質(zhì)2:等式兩邊乘(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),所得結(jié)果仍是② . 方程的概念 含有未知數(shù)的③ 叫做方程. 方程的解 使方程左右兩邊的值④ 的未知數(shù)的值叫做方程的解. 一元一次方程的概念 只含有⑤ 個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是⑥ 的整式方程,叫做一元一次方程. 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步驟:去分
2、母、去⑦ 、移項(xiàng)、合并⑧ 、系數(shù)化為1. 考點(diǎn)2 二元一次方程組及解法 二元一次方程的概念 含有⑨ 未知數(shù),并且未知項(xiàng)的次數(shù)是⑩ 的整式方程叫做二元一次方程. 二元一次方程組的概念 一般地,含有? 的未知數(shù)的? 二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組. 二元一次方程組的解 二元一次方程組的兩個方程的? ,叫做二元一次方程組的解. 二元一次方程組的解法 解二元一次方程組的方法步驟: 二元一次方程組? 方程. 消元是解二元一次方程組的基本
3、思路,方法有? 消元法和? 消元法兩種. 考點(diǎn)3 一次方程(組)的應(yīng)用 列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟 1.審 審清題意和數(shù)量關(guān)系,弄清題中的已知量和未知量,明確各數(shù)量之間的關(guān)系. 2.設(shè) 設(shè)未知數(shù)(可設(shè)直接或 未知數(shù)). 3.列 根據(jù)題意尋找 列方程(組). 4.解 解方程(組). 5.答 檢驗(yàn)所求的未知數(shù)的值是否符合題意,寫出答案. 1.解二元一次方程組時,若方程組其中一個方程中的未知數(shù)系數(shù)為1或-1,則直接采用代入消元法求解;若相同未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時,則直接采用加減消元法求解.
4、 2.列方程(組)的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系,尋找等量關(guān)系常用的方法有:①抓住不變量;②找關(guān)鍵詞;③畫線段圖或列表格;④運(yùn)用數(shù)學(xué)公式. 命題點(diǎn)1 一次方程(組)的解法 例1 (2014·濱州)解方程組: 【思路點(diǎn)撥】通過觀察方程組,y的系數(shù)符號相反且系數(shù)的絕對值是整數(shù)倍,①×3+②即可消去y,求出x,然后再代入任一方程可求y的值. 【解答】 方法歸納:在對二元一次方程組進(jìn)行消元時,要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇代入法或加減法:(1)方程中有一個未知數(shù)的系數(shù)為1或-1時,一般采用代入消元法;(2)當(dāng)兩個方程中的某個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù),
5、或者存在倍數(shù)關(guān)系時,一般采用加減消元法. 1.(2014·濱州)方程2x-1=3的解是( ) A.-1 B. C.1 D.2 2.(2014·婁底)已知關(guān)于x的方程2x+a-5=0的解是x=2,則a的值為 . 3.解方程:-=-1.3. 4.(2014·湖州)解方程組 命題點(diǎn)2 一次方程(組)的應(yīng)用 例2 (2014·聊城)某服裝店用6 000元購進(jìn)A,B兩種新式服裝,按標(biāo)價出售后可獲毛利潤3 800元(毛利
6、潤=售價-進(jìn)價),這兩種服裝的進(jìn)價、標(biāo)價如下表所示: (1)求這兩種服裝各購進(jìn)的件數(shù); (2)如果A種服裝按標(biāo)價的8折出售,B種服裝按標(biāo)價的7折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標(biāo)價售出少收入多少元? 【思路點(diǎn)撥】(1)題中有兩個等量關(guān)系式:①購進(jìn)A種新式服裝和B種新式服裝共用去6 000元;②按標(biāo)價出售A種新式服裝和B種新式服裝后共可獲毛利潤3 800元.依據(jù)這兩個等量關(guān)系直接設(shè)未知數(shù)構(gòu)建方程組求解即可; (2)根據(jù)第(1)題計(jì)算出購進(jìn)A型服裝、B型服裝的數(shù)量,再按“A種服裝按標(biāo)價的8折出售,B種服裝按標(biāo)價的7折出售”進(jìn)行計(jì)算即可. 【解答】
7、 方法歸納:用方程(組)解決問題的關(guān)鍵是審清題意,找出題目的相等關(guān)系,一些相等關(guān)系可以設(shè)元轉(zhuǎn)換未知量,另一些相等關(guān)系可以列方程用,但一般情況是一個相等關(guān)系只用一次. 1.(2014·無錫)某文具店一支鉛筆的售價為1.2元,一支圓珠筆的售價為2元.該店在“6·1兒童節(jié)”舉行文具優(yōu)惠售賣活動,鉛筆按原價打8折出售,圓珠筆按原價打9折出售,結(jié)果兩種筆共賣出60支,賣得金額87元.若設(shè)鉛筆賣出x支,則依題意可列得的一元一次方程為( ) A.1.2×0.8x+2×0.9(60+x)=87 B.1.2×0.8x+2×0.9(60-x)=87 C.2×0.9x+
8、1.2×0.8(60+x)=87 D.2×0.9x+1.2×0.8(60-x)=87 2.(2013·棗莊)某種商品每件的標(biāo)價是330元,按標(biāo)價的八折銷售時,仍可獲利10%,則這種商品每件的進(jìn)價為( ) A.240元 B.250元 C.280元 D.300元 3.(2014·溫州)20位同學(xué)在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗,其中男生每人種3棵,女生每人種2棵.設(shè)男生有x人,女生有y人.根據(jù)題意,列方程組正確的是( ) A. B. C.
9、 D. 4.(2014·江西)小錦和小麗購買了價格分別相同的中性筆和筆芯.小錦買了20支筆和2盒筆芯,用了56元;小麗買了2支筆和3盒筆芯,僅用了28元.求每支中性筆和每盒筆芯的價格. 1.(2014·咸寧)若代數(shù)式x+4的值是2,則x等于( ) A.2 B.-2 C.6 D.-6 2.(2015·原創(chuàng))關(guān)于x的方程3x+m-7=0的解是x=1,則m的值為( ) A.2
10、 B.3 C.4 D.5 3.(2014·婁底)方程組的解為( ) A. B. C. D. 4.(2014·孝感)已知是二元一次方程組的解,則m-n的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2013·南昌)某單位組織34人分別到井岡山和瑞金進(jìn)行革命傳統(tǒng)教育,到井岡山的人數(shù)是瑞
11、金的人數(shù)的2倍多1人,求到兩地的人數(shù)各是多少?設(shè)到井岡山的人數(shù)為x人,到瑞金的人數(shù)為y人.下面所列的方程組正確的是( ) A. B. C. D. 6.(2013·隨州)我市圍繞“科學(xué)節(jié)糧減損,保障糧食安全”,積極推廣農(nóng)戶使用“彩鋼小糧倉”.每套小糧倉的定價是350元,為了鼓勵農(nóng)戶使用,中央、省、市財(cái)政給予補(bǔ)貼,補(bǔ)貼部分是農(nóng)戶實(shí)際出資的三倍還多30元,則購買一套小糧倉農(nóng)戶實(shí)際出資是( ) A.80元 B.95元 C.135元
12、 D.270元 7.(2014·湖州)方程2x-1=0的解是x= . 8.(2014·重慶A卷)方程組的解是 . 9.請寫出一個二元一次方程組答案不唯一,如: 使它的解是 10.(2013·湘潭)湖園中學(xué)學(xué)生志愿服務(wù)小組在“三月學(xué)雷鋒”活動中,購買了一批牛奶到敬老院慰問老人.如果送給每位老人2盒牛奶,那么剩下16盒;如果送給每位老人3盒牛奶,則正好送完.設(shè)敬老院有x位老人,依題意可列方程為 . 11.已知關(guān)于x、y的二元一次方程組且x+y=2,則k的值為 . 12.(2
13、014·甘孜)設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù),現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算 =ad-bc.則滿足等式 =1的x的值為 . 13.(2014·濱州)解方程:2-=. 14.(2014·威海)解方程組: 15.(2014·岳陽)某項(xiàng)球類比賽,每場比賽必須分出勝負(fù),其中勝1場得2分,負(fù)1場得1分.某隊(duì)在全部16場比賽中得到25分,求這個隊(duì)勝、負(fù)場數(shù)分別是多少? 16.(2014·連云港)小林在某商店買商品A、B共三次,只有一次購買時,商品A、B同時打折,其余兩次均按標(biāo)價購買,三次購買商品A、B的數(shù)量及費(fèi)用如下表: 購買商品A的數(shù)量(個)
14、 購買商品B的數(shù)量(個) 購買總費(fèi)用(元) 第一次購買 6 5 1 140 第二次購買 3 7 1 110 第三次購買 9 8 1 062 (1)小林按打折扣價購買商品A、B是第 次購買; (2)求A、B的標(biāo)價; (3)若A、B的折扣相同,問商店是打幾折出售的? 17.(2013·涼山)根據(jù)圖中給出的信息,解答下列問題: (1)放入一個小球水面升高 cm,放入一個大球水面升高 cm; (2)如果要使水面上升到50 cm,應(yīng)放入大球、小球各多少個? 18.(2013·嘉興)某
15、鎮(zhèn)水庫的可用水量為12 000萬立方米,假設(shè)年降水量不變,能維持該鎮(zhèn)16萬人20年的用水量.實(shí)施城市化建設(shè),新遷入4萬人后,水庫只夠維持居民15年的用水量. (1)問:年降水量為多少萬立方米?每人年平均用水量多少立方米? (2)政府號召節(jié)約用水,希望將水庫的保用年限提高到25年,則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)? 19.(2014·濱州)某公園“6·1”期間舉行特優(yōu)讀書游園活動,成人票和兒童票均有較大的折扣,張凱、李利都隨他們的家人參加了本次活動,王斌也想去,就打聽張凱、李利買門票花了多少錢.張凱說他家去了3個大人和4個小孩,共花了38元錢;
16、李利說他家去了4個大人和2個小孩,共花了44元錢.王斌家計(jì)劃去3個大人和2個小孩,請你幫他算一下,需準(zhǔn)備 元錢買門票. 20.(2013·揚(yáng)州)已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足x>0,y>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 21.(原創(chuàng))有一種用來畫圓的工具板(如圖所示),工具板長21 cm,上面依次排列著大小不等的五個圓(孔),其中最大圓的直徑為3 cm,其余圓的直徑從左到右依次遞減x cm,最大圓的左側(cè)距工具板左側(cè)邊緣1.5 cm,最小圓的右側(cè)距工具板右側(cè)邊緣1.5 cm;且相鄰兩圓的間距d均相等. (1)用含x的代數(shù)式表示出其余四個圓的直徑長; (2
17、)若最大圓是最小圓的直徑的1511,求相鄰兩圓的間距. 22.(2014·日照)如圖,長青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠從A地購買一批每噸1 000元的原料運(yùn)回工廠,制成每噸8 000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地.已知公路運(yùn)價為1.5元/(噸·千米),鐵路運(yùn)價為1.2元/(噸·千米),且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)輸費(fèi)15 000元,鐵路運(yùn)輸費(fèi)97 200元.求: (1)該工廠從A地購買了多少噸原料?制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品多少噸? (2)這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元? 23.為了鼓勵市民節(jié)約用水,某市居民生活用水按階梯式水價計(jì)費(fèi).下表
18、是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計(jì)費(fèi)價格表的一部分信息: [說明:①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶的用水量;②水費(fèi)=自來水費(fèi)+污水處理費(fèi)] 已知小王家2012年4月份用水20噸,交水費(fèi)66元;5月份用水25噸,交水費(fèi)91元. (1)求a、b的值; (2)隨著夏天的到來用水量將增加,為了節(jié)約開支,小王計(jì)劃把6月份水費(fèi)控制在家庭月收入的2%,若小王家月收入為9 200元,則小王家6月份最多能用水多少噸? 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①整式 ②等式 ③等式 ④相等 ⑤一 ⑥1 ⑦括號 ⑧同類項(xiàng) ⑨兩 ⑩1 ?相同 ?兩 ?公共解 ?一元一次 ?
19、代入 ?加減 間接 等量關(guān)系 各個擊破 例1 ①×3+②,得10x=20,則x=2. 把x=2代入①,得6-y=7,則y=-1. ∴原方程組的解為 題組訓(xùn)練 1.D 2.1 3.去分母,得5(x+4)-2(x-3)=-13, 去括號,得5x+20-2x+6=-13, 移項(xiàng),得5x-2x=-13-20-6, 合并,得3x=-39, 系數(shù)化為1,得x=-13. 4.①+②得5x=10,∴x=2. 把x=2代入②,得4-y=3,∴y=1. ∴原方程組的解是 例2 (1)設(shè)購進(jìn)A型服裝x件,B型服裝y件.由題意,得 解得 答:購進(jìn)A型服裝50件,B型服
20、裝30件. (2)A種服裝按標(biāo)價的8折出售,B種服裝按標(biāo)價的7折出售時,服裝店的毛利潤為: (100×0.8-60)×50+(160×0.7-100)×30=20×50+12×30=1 360(元). 3 800-1 360=2 440(元). 答:服裝店打折售出比按標(biāo)價售出少收入2 440元. 題組訓(xùn)練 1.B 2.A 3.D 4.設(shè)每支中性筆x元,每盒筆芯y元,根據(jù)題意,得 解得 答:每支中性筆2元,每盒筆芯8元. 整合集訓(xùn) 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7. 8. 9.答案不唯一,如: 10.2x+16=3x 11.4
21、 12.-10 13.去分母,得12-2(2x+1)=3(1+x), 去括號,得12-4x-2=3+3x, 移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得-7x=-7, 把系數(shù)化為1,得x=1. 14.②×6,得3x-2y=6.③ ③-①,得3y=3.∴y=1. 把y=1代入①,得3x-5=3.∴x=. ∴原方程組的解為 15.設(shè)這個隊(duì)勝x場,則負(fù)(16-x)場.根據(jù)題意得 2x+(16-x)=25,解得x=9. ∴16-x=7. 答:這個隊(duì)勝、負(fù)場數(shù)分別是9場、7場. 16.(1)三. (2)設(shè)A、B的標(biāo)價分別為x元,y元,則由題意,得 解得 答:A、B的標(biāo)價分別為90元,120元.
22、 (3)設(shè)商店是打x折出售的,則 (90×9+8×120)=1 062.解得x=6. 答:商店是打六折出售的. 17.(1)放入三個體積相同的小球水面升高32-26=6(cm),則放入一個小球水面升高2 cm; 放入兩個體積相同的大球水面升高32-26=6(cm),則放入一個大球水面升高3 cm. 故答案分別填:2,3. (2)設(shè)應(yīng)放入x個大球,y個小球,由題意,得 解得 答:應(yīng)放入4個大球,6個小球. 18.(1)設(shè)年降水量為x萬立方米,每人年平均用水量為y立方米,則 解得 答:年降水量為200萬立方米,每人年平均用水量為50立方米. (2)設(shè)該鎮(zhèn)居民年平均用水量為
23、z立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo),則 12 000+25×200=20×25z.解得z=34. ∴50-34=16. 答:該鎮(zhèn)居民人均每年需要節(jié)約16立方米的水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo). 19.34 20.解關(guān)于x、y的方程組,得 ∵x>0,y>0, ∴ ∴a的取值范圍是<a<2. 21.(1)其余四個圓的直徑長分別為(3-x)cm,(3-2x)cm,(3-3x)cm,(3-4x)cm; (2)根據(jù)題意,得 解得 答:相鄰兩圓的間距為1.25 cm. 22.(1)設(shè)工廠從A地購買了x噸原料,制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品y噸,依題意,得 整理,得解得 答:工廠從A地購買了400噸原料,制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品300噸. (2)300×8 000-400×1 000-15 000-97 200=1 887 800(元). 答:這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1 887 800元. 23.(1)由題意,得 解得 (2)當(dāng)用水量為30噸時,水費(fèi)為: 17×3+13×5=116(元),9 200×2%=184(元). ∵116<184, ∴小王家6月份最多能用水超過30噸. 設(shè)小王家6月份用水量為x噸,由題意,得 17×3+13×5+6.8(x-30)≤184,解得x≤40. ∴小王家6月份最多用水40噸. 9
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