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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第40課時 均值不等式教案
教學(xué)目標(biāo):掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的的定理,并會簡單運(yùn)用;
利用不等式求最值時要注意到“一正”“二定”“三相等”.
教學(xué)重點(diǎn):均值不等式的靈活應(yīng)用。
(一) 主要知識:
兩個數(shù)的均值不等式:若,則≥(等號僅當(dāng)時成立)
三個數(shù)的均值不等式:若,則≥(等號僅當(dāng)時成立)
幾個重要的不等式:
① ≤≤ ②≤;
③如果,則≥≥≥
最值定理:當(dāng)兩個正數(shù)的和一定時,其乘積有最大值;當(dāng)兩個正數(shù)的乘積一定時,其和
有最小值。
(二)主要方法:
常見構(gòu)造條件的變換:加項變換,系數(shù)變換,平方變換,拆項變換,常量
2、代換,三角代換等.當(dāng)使用均值定理時等號不能成立時,應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性(例如“對號”函數(shù),導(dǎo)數(shù)法).
(三)典例分析:
問題1.求下列函數(shù)的最值:
;;;
; ;
已知(為常數(shù)),,求的最小值
問題2.已知,,且,求 的最大值.
問題3.求最小值;
問題4.設(shè),,且,則
已知≥,≥,且,求證:≤
若, 求的最小值
(四)課后作業(yè):
已知那么的最小值是
已知:
3、,求證:
若,則的最大值是 此時,
已知,則的最小值為
已知實數(shù)滿足則的最小值和最大值分別為
, , , ,無最大值
求的最小值
當(dāng)時,求證:.
已知正數(shù)、滿足,則的最大值是
下列函數(shù)中,的最小值為的是
若,且,則的最大值是
(內(nèi)江二中)已知,則的最小值是
4、
若是正實數(shù),,則的最大值是
要使不等式對所有正數(shù)都成立,試問的最小值是
(屆高三西安市第一次質(zhì)檢),由不等式≥,≥,
≥,…,啟發(fā)我們得到推廣結(jié)論:
≥,則
已知:、,,求的最小值
(五)走向高考:
(湖南)設(shè)則以下不等式中不恒成立的是
(重慶)若是正數(shù),則的最小值是
(福建文)下列結(jié)論正確的是
當(dāng)且時,則 當(dāng)時,
當(dāng)≥時,的最小值為 當(dāng)時,無最大值
(陜西)已知不等式≥對任意正實數(shù)恒成立,則正實數(shù)的
5、最小值為
(重慶文)若且,則的最小值是
(重慶)若且,則的最小值為
(山東)函數(shù)(,)的圖象恒過定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為
(山東文)當(dāng)時,不等式恒成立,則的取值范圍是
(上海)若,且,則的最大值是
(上海)若關(guān)于的不等式≤的解集是,則對任意實常數(shù),總有 , ,, ,
(上海)已知函數(shù)=有如下性質(zhì):如果常數(shù)>0,那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
如果函數(shù)=()的值域為,求的值;
研究函數(shù)=(常數(shù))在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;
對函數(shù)=和=(常數(shù))作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)=+(是正整數(shù))在區(qū)間上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).