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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第40課時(shí) 均值不等式教案
教學(xué)目標(biāo)：掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的的定理，并會(huì)簡單運(yùn)用；
利用不等式求最值時(shí)要注意到“一正”“二定”“三相等”．
教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式的靈活應(yīng)用。
（一） 主要知識(shí)：
兩個(gè)數(shù)的均值不等式：若，則≥（等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立）
三個(gè)數(shù)的均值不等式：若，則≥（等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立）
幾個(gè)重要的不等式：
① ≤≤ ②≤；
③如果，則≥≥≥
最值定理：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，其乘積有最大值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的乘積一定時(shí)，其和
有最小值。
（二）主要方法：
常見構(gòu)造條件的變換：加項(xiàng)變換，系數(shù)變換，平方變換，拆項(xiàng)變換，常量
2、代換，三角代換等.當(dāng)使用均值定理時(shí)等號(hào)不能成立時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性（例如“對(duì)號(hào)”函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法）.
（三）典例分析：
問題1．求下列函數(shù)的最值：
；；；
； ；
已知（為常數(shù)），，求的最小值
問題2．已知，，且，求 的最大值.
問題3．求最小值；
問題4．設(shè)，，且，則
已知≥，≥，且，求證：≤
若, 求的最小值
（四）課后作業(yè)：
已知那么的最小值是
已知：
3、，求證：
若，則的最大值是 此時(shí)，
已知，則的最小值為
已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值和最大值分別為
， ， ， ，無最大值
求的最小值
當(dāng)時(shí)，求證：．
已知正數(shù)、滿足,則的最大值是
下列函數(shù)中，的最小值為的是
若，且，則的最大值是
（內(nèi)江二中）已知，則的最小值是
4、
若是正實(shí)數(shù)，，則的最大值是
要使不等式對(duì)所有正數(shù)都成立，試問的最小值是
（屆高三西安市第一次質(zhì)檢），由不等式≥，≥，
≥，…，啟發(fā)我們得到推廣結(jié)論：
≥，則
已知：、，，求的最小值
（五）走向高考：
(湖南)設(shè)則以下不等式中不恒成立的是
（重慶）若是正數(shù)，則的最小值是
(福建文)下列結(jié)論正確的是
當(dāng)且時(shí)，則 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)≥時(shí)，的最小值為 當(dāng)時(shí)，無最大值
（陜西）已知不等式≥對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,則正實(shí)數(shù)的
5、最小值為
（重慶文）若且，則的最小值是
（重慶）若且,則的最小值為
（山東）函數(shù)（，）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為
（山東文）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是
（上海）若，且，則的最大值是
（上海）若關(guān)于的不等式≤的解集是，則對(duì)任意實(shí)常數(shù)，總有 ， ，， ，
（上海）已知函數(shù)＝有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
如果函數(shù)＝（）的值域?yàn)?，求的值?
研究函數(shù)＝（常數(shù)）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
對(duì)函數(shù)＝和＝（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．
2022年高三數(shù)學(xué) 第40課時(shí) 均值不等式教案
