2022年高二數(shù)學4月月考試題 文(III)

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1、2022年高二數(shù)學4月月考試題 文(III) 本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘。 一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。) 1. 已知i是虛數(shù)單位,則復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若復數(shù)z= i(3﹣2i)(i是虛數(shù)單位),則 = ( ) A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i 3.若1

2、+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復數(shù)根,則 (  ?。? A. b=—2,c=3 B.b=﹣2,c=2 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=2,c=﹣1 4.若,則實數(shù)m的值為( ) A. 1 B. 0或2 C. 2 D. 0 5.下列說法正確的是 ( ) A.類比推理是由特殊到一般的推理 B.演繹推理是特殊到一般的推理 C.歸納推理是個別到一般的推理 D.合情推理可以作為證明的步驟 6.設f(x)存在導函數(shù)且滿足,則曲線y=f(x)上的

3、點處的切線的斜率為 ( ) A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2 7. 函數(shù)f(x)的定義域為(a,b),其導函數(shù)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù) f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極小值點的個數(shù)是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.函數(shù)f(x)=x3﹣3x2﹣9x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A. (﹣3,1) B.(﹣∞,﹣3) C.(﹣1,3) D.(3,+∞) 9.設曲

4、線y=在點(3,2)處的切線與直線ax+y+3=0垂直,則a等于( ) A.2 B. C.— D.-2 10曲線y=x3﹣3x2+1在點(1,﹣1)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為( ) A. B. C. D. 11.若點P是曲線上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為( ) A. B.1 C. D.2 12.已知函數(shù),

5、給出下列結(jié)論: ①的單調(diào)遞減區(qū)間; ②當時,直線y=k與y=f(x)的圖象有兩個不同交點; ③函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象沒有公共點. 其中正確結(jié)論的序號是(??? ) A.①③ B.① C.①② D.②③ 第Ⅱ卷(非選擇題:90分) 二.填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分。) 13.已知復數(shù) z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位),則 |z| = . 14.函數(shù) f(x)=x﹣lnx 的單調(diào)減區(qū)間為 . 15.為凈化水質(zhì),向一個游泳池加入某種化學藥品,加藥后池水中該藥品的濃度C(單位:)隨時間t(單位:h)的變化

6、關(guān)系為,則經(jīng)過______h后池水中藥品濃度達到最大. 16若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:(i)直線l在點處與曲線C相切;(ii)曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點P處“切過”曲線C,下列命題正確的是___ (寫出所有正確命題的編號). ①直線在點處“切過”曲線 ②直線在點處“切過”曲線 ③直線在點處“切過”曲線 ④直線在點入“切過”曲線 三.解答題(本大題共6小題,共70分) 17.(本小題滿分10分) 計算:(1) (2) 18.(本小題滿分12分)已知復數(shù) z=m(m﹣1)+(m2

7、+2m﹣3)i,當實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z是:(1)零;(2)純虛數(shù);(3)z=2+5i;(4)表示復數(shù)z對應的點在第四象限. 19. (本小題滿分12分)在極坐標系下,已知圓O:和直線 (1)求圓O和直線l的直角坐標方程; (2)當時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標. 20.(本小題12分)為了保護環(huán)境,某工廠在政府部門的鼓勵下,進行技術(shù)改進:把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品,經(jīng)測算,該處理總成本y(萬元)與處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為:,且每處理一噸二氧化碳可得價值為20

8、萬元的某種化工產(chǎn)品. (Ⅰ)當時,判斷該技術(shù)改進能否獲利?如果能獲利,求出最大利潤;如果不能獲利,則國家至少需要補貼多少萬元,該工廠才不會虧損? (Ⅱ)當處理量為多少噸時,每噸的平均處理成本最少? 21.(本小題滿分12分)已知函數(shù). (Ⅰ)當a=3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若過點可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,求實數(shù)a的取值范圍. 22.(本小題滿分12分)已知函數(shù) (Ⅰ)若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b,求a,b的值; (Ⅱ)若函數(shù)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a取值范圍;

9、(Ⅲ)如果函數(shù)有兩個不同的極值點x1,x2,證明: 高二年級下期4月月考數(shù)學(文科)答案 一、選擇題: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B D C A D C D B C A 二、填空題13 10 14 (0,1) 15 2 16 ③④、 17.(1)47-39i (2) 1-38i 18 (1)由可得m=1;(3分) (2)由可得m=0;(6分) (3)由可得m=2;(9分) (4)由題意,解得即﹣3<m<0(12分) 19.

10、 20 21.(1)當a=3時,f′(x)=﹣x2+3x﹣2=﹣(x﹣1)(x﹣2), 當1<x<2時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 當x<1或x>2時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2), 單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,1)和(2,+∞); (2)設點A(t,﹣t3+t2﹣2t)是函數(shù)f(x)圖象上的切點, 則過點A的切線斜率k=﹣t2+at﹣2, 所以過點A的切線方程為y+t3﹣t2+2t=(﹣t2+at﹣2)(x﹣t), 因為點(0,﹣)在該切線上, 所以﹣+t3﹣t2+2t=(﹣t2+at﹣2

11、)(0﹣t), 即t3﹣at2+=0, 若過點(0,﹣)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線, 則方程t3﹣at2+=0三個不同的實數(shù)根, 令g(t)=t3﹣at2+=0, 則函數(shù)y=g(t)的圖象與x軸有三個不同的交點, g′(t)=2t2﹣at=0,解得t=0或t=, 因為g(0)=,g()=﹣a3+, 所以令g()=﹣a3+<0,即a>2, 所以實數(shù)a的取值范圍是(2,+∞). 22.解:(Ⅰ)∵f(x)=ex﹣x2﹣ax,∴f′(x)=ex﹣x﹣a, ∴根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得,切線的斜率k=f'(0)=1﹣a, ∵切線方程為y=2x+b,則k=2,∴1﹣a=2

12、,解得a=﹣1, ∴f(x)=ex﹣x2+x,∴f(0)=1,即切點(0,1), ∴1=2×0+b,解得b=1; (Ⅱ)由題意f'(x)>0即ex﹣x﹣a≥0恒成立, ∴a≤ex﹣x恒成立. 設h(x)=ex﹣x,則h′(x)=ex﹣1. 當x變化時,h′(x)、h(x)的變化情況如下表: x (﹣∞,0) 0 (0,+∞) h′(x) ﹣ 0 + h(x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) ∴h(x)min=h(0)=1,∴a≤1; (Ⅲ)∵g(x)=f(x)﹣(a﹣)x2, ∴g(x)=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax,∴g′(x)=ex﹣2ax﹣a, ∵x1,x2是函數(shù)g(x)的兩個不同極值點(不妨設x1<x2), ∴ex﹣2ax﹣a=0(*)有兩個不同的實數(shù)根x1,x2 當時,方程(*)不成立 則,令,則 由p′(x)=0得: 當x變化時,p(x),p′(x)變化情況如下表: x p(x) ﹣ ﹣ 0 + p′(x) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 ∴當時,方程(*)至多有一解,不合題意; 當時,方程(*)若有兩個解,則 所以,.

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