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1、2022年高二數(shù)學(xué)4月月考試題 文(III)
本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘。
一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。)
1. 已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若復(fù)數(shù)z= i(3﹣2i)(i是虛數(shù)單位),則 = ( )
A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i
3.若1
2、+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根,則 ( ?。?
A. b=—2,c=3 B.b=﹣2,c=2 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=2,c=﹣1
4.若,則實數(shù)m的值為( )
A. 1 B. 0或2 C. 2 D. 0
5.下列說法正確的是 ( )
A.類比推理是由特殊到一般的推理 B.演繹推理是特殊到一般的推理
C.歸納推理是個別到一般的推理 D.合情推理可以作為證明的步驟
6.設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)且滿足,則曲線y=f(x)上的
3、點處的切線的斜率為 ( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2
7. 函數(shù)f(x)的定義域為(a,b),其導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)
f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極小值點的個數(shù)是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.函數(shù)f(x)=x3﹣3x2﹣9x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A. (﹣3,1) B.(﹣∞,﹣3) C.(﹣1,3) D.(3,+∞)
9.設(shè)曲
4、線y=在點(3,2)處的切線與直線ax+y+3=0垂直,則a等于( )
A.2 B. C.— D.-2
10曲線y=x3﹣3x2+1在點(1,﹣1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為( )
A. B. C. D.
11.若點P是曲線上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為( )
A. B.1 C. D.2
12.已知函數(shù),
5、給出下列結(jié)論:
①的單調(diào)遞減區(qū)間;
②當(dāng)時,直線y=k與y=f(x)的圖象有兩個不同交點;
③函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象沒有公共點.
其中正確結(jié)論的序號是(??? )
A.①③
B.①
C.①②
D.②③
第Ⅱ卷(非選擇題:90分)
二.填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分。)
13.已知復(fù)數(shù) z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位),則 |z| = .
14.函數(shù) f(x)=x﹣lnx 的單調(diào)減區(qū)間為 .
15.為凈化水質(zhì),向一個游泳池加入某種化學(xué)藥品,加藥后池水中該藥品的濃度C(單位:)隨時間t(單位:h)的變化
6、關(guān)系為,則經(jīng)過______h后池水中藥品濃度達(dá)到最大.
16若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:(i)直線l在點處與曲線C相切;(ii)曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點P處“切過”曲線C,下列命題正確的是___ (寫出所有正確命題的編號).
①直線在點處“切過”曲線
②直線在點處“切過”曲線
③直線在點處“切過”曲線
④直線在點入“切過”曲線
三.解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(本小題滿分10分)
計算:(1) (2)
18.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù) z=m(m﹣1)+(m2
7、+2m﹣3)i,當(dāng)實數(shù)m取什么值時,復(fù)數(shù)z是:(1)零;(2)純虛數(shù);(3)z=2+5i;(4)表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限.
19. (本小題滿分12分)在極坐標(biāo)系下,已知圓O:和直線
(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo).
20.(本小題12分)為了保護(hù)環(huán)境,某工廠在政府部門的鼓勵下,進(jìn)行技術(shù)改進(jìn):把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品,經(jīng)測算,該處理總成本y(萬元)與處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為:,且每處理一噸二氧化碳可得價值為20
8、萬元的某種化工產(chǎn)品.
(Ⅰ)當(dāng)時,判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利?如果能獲利,求出最大利潤;如果不能獲利,則國家至少需要補貼多少萬元,該工廠才不會虧損?
(Ⅱ)當(dāng)處理量為多少噸時,每噸的平均處理成本最少?
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)a=3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若過點可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,求實數(shù)a的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b,求a,b的值;
(Ⅱ)若函數(shù)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a取值范圍;
9、(Ⅲ)如果函數(shù)有兩個不同的極值點x1,x2,證明:
高二年級下期4月月考數(shù)學(xué)(文科)答案
一、選擇題:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
B
D
C
A
D
C
D
B
C
A
二、填空題13 10 14 (0,1) 15 2 16 ③④、
17.(1)47-39i (2) 1-38i
18
(1)由可得m=1;(3分)
(2)由可得m=0;(6分)
(3)由可得m=2;(9分)
(4)由題意,解得即﹣3<m<0(12分)
19.
10、
20
21.(1)當(dāng)a=3時,f′(x)=﹣x2+3x﹣2=﹣(x﹣1)(x﹣2),
當(dāng)1<x<2時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x<1或x>2時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2),
單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,1)和(2,+∞);
(2)設(shè)點A(t,﹣t3+t2﹣2t)是函數(shù)f(x)圖象上的切點,
則過點A的切線斜率k=﹣t2+at﹣2,
所以過點A的切線方程為y+t3﹣t2+2t=(﹣t2+at﹣2)(x﹣t),
因為點(0,﹣)在該切線上,
所以﹣+t3﹣t2+2t=(﹣t2+at﹣2
11、)(0﹣t),
即t3﹣at2+=0,
若過點(0,﹣)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,
則方程t3﹣at2+=0三個不同的實數(shù)根,
令g(t)=t3﹣at2+=0,
則函數(shù)y=g(t)的圖象與x軸有三個不同的交點,
g′(t)=2t2﹣at=0,解得t=0或t=,
因為g(0)=,g()=﹣a3+,
所以令g()=﹣a3+<0,即a>2,
所以實數(shù)a的取值范圍是(2,+∞).
22.解:(Ⅰ)∵f(x)=ex﹣x2﹣ax,∴f′(x)=ex﹣x﹣a,
∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,切線的斜率k=f'(0)=1﹣a,
∵切線方程為y=2x+b,則k=2,∴1﹣a=2
12、,解得a=﹣1,
∴f(x)=ex﹣x2+x,∴f(0)=1,即切點(0,1),
∴1=2×0+b,解得b=1;
(Ⅱ)由題意f'(x)>0即ex﹣x﹣a≥0恒成立,
∴a≤ex﹣x恒成立.
設(shè)h(x)=ex﹣x,則h′(x)=ex﹣1.
當(dāng)x變化時,h′(x)、h(x)的變化情況如下表:
x
(﹣∞,0)
0
(0,+∞)
h′(x)
﹣
0
+
h(x)
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
∴h(x)min=h(0)=1,∴a≤1;
(Ⅲ)∵g(x)=f(x)﹣(a﹣)x2,
∴g(x)=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax,∴g′(x)=ex﹣2ax﹣a,
∵x1,x2是函數(shù)g(x)的兩個不同極值點(不妨設(shè)x1<x2),
∴ex﹣2ax﹣a=0(*)有兩個不同的實數(shù)根x1,x2
當(dāng)時,方程(*)不成立
則,令,則
由p′(x)=0得:
當(dāng)x變化時,p(x),p′(x)變化情況如下表:
x
p(x)
﹣
﹣
0
+
p′(x)
單調(diào)遞減
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
∴當(dāng)時,方程(*)至多有一解,不合題意;
當(dāng)時,方程(*)若有兩個解,則
所以,.