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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(VIII)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將所選答案涂在答題卡上)。
1．復(fù)數(shù)2＝( )
（A）－3－4i （B）－3＋4i （C）3－4i （D）3＋4i
2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋2，若f′(1)＝3，則a＝( )
（A）2 （B）－2 （C）3 （D）－3
4．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一
2、個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)正確的是（ ）
（A）假設(shè)至少有一個(gè)鈍角 （B）假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角
（Ｃ）假設(shè)沒有一個(gè)鈍角 ?。ǎ模┘僭O(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角
5．i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是( )
（A）0 （B） （C）1 （D）2
6．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)減區(qū)間為 ( )
（A）(－∞，－1]和[0,1] （B）[－1,0]和[1，＋∞)
（C）[－1,1] （D）(－∞，－1]和[1，＋∞)
7
3、．函數(shù)在處有極值10, 則點(diǎn)為 （ ）
（A） （B）或 （C） （D）不存在
8． 曲線， 和直線圍成的圖形面積是 （ ?。?
(A) (B) (C) (D)
9．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時(shí)的過程中，由到時(shí)，不等式的左邊（ ）
（A）增加了一項(xiàng)
（B）增加了兩項(xiàng)
（C）增加了兩項(xiàng)，又減少了；
（D）增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)；
10、如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．設(shè)底面
4、為等邊三角形的直棱柱的體積為，則其表面積最小時(shí)，底面邊長為（ ）
（Ａ） ?。ǎ拢? （Ｃ） （D）
12．點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn), 則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（ ）
(A) １ (B) (C) ２ (D)
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡相應(yīng)題中橫線上）。
13. 設(shè)復(fù)數(shù)z的模為17,虛部為- 8,則復(fù)數(shù)z=_________；
14. 曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程為____________
5、；
15. 設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______；
16． ____________。
三、解答題：（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。把答案寫在答題卡相應(yīng)題目的位置，寫錯(cuò)位置的不給分）
17．（本小題10分）已知復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i；當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：
（1）零；(2)純虛數(shù)．
18. （本小題12分）
求函數(shù)y=2x3-6x2+7的單調(diào)增區(qū)間。
19. （本小題12分）
已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x
6、＝時(shí)，y＝f(x)有極值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
20.（本小題12分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）計(jì)算，，，；
（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
21. （本小題12分）
已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f (x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f (x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．
22. （本小題12分）
已知函數(shù)f(x)＝xln x.
(1
7、)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值．(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
答案
A
B
C
B
C
A
C
D
C
A
C
D
高二數(shù)學(xué)(理科)答案
13. 14. y=2x 15. 16. 10
17. 解析 (1)由得m＝1，即當(dāng)m＝1時(shí)，z＝0.
(2)由得m＝0.即當(dāng)m＝0時(shí)，z是純虛數(shù)．
18. (-∞,0),(2,+∞)
19. 解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
8、
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
當(dāng)x＝1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①
當(dāng)x＝時(shí)，y＝f(x)有極值，
則f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4.
由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，∴f(1)＝4，
∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.
∴a＝2，b＝－4，c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4，
令f′ (x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
當(dāng)x變化時(shí)，y、y′的取值及變化如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
y′
＋
0
－
0
＋
9、
y
8
單調(diào)遞增↗
13
單調(diào)遞減↘
單調(diào)遞增↗
4
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為.
20.解：（1）依題設(shè)可得，，，；
（2）猜想：．
證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立．
②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即．
那么，當(dāng)時(shí)，，即．
又，所以，
從而．即時(shí)，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．
21.解 (1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
當(dāng)a<0時(shí)，對x∈R，有f ′(x)>0，
∴當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，解得x<－或x>；
由f′(x)<0，解得－
10、當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，
(，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1處取得極值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f (－1)＝1，在x＝1處取得極小 值f(1)＝－3.
∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m
的取值范圍是(－3,1)．
22. 解 (1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，
由
11、f′(x)＝0得x＝，
所以，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增．
所以，x＝是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在．
(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，則g′(x)＝ln x＋1－a，
由g′(x)＝0，得x＝ea－1，
所以，在區(qū)間(0，ea－1)上，g(x)為減函數(shù)，
在區(qū)間(ea－1，＋∞)上，g(x)為增函數(shù)，
所以x＝ea－1是極小值點(diǎn)．
以下對極小值點(diǎn)是否在[1，e]上作分類討論．
當(dāng)ea－1≤1，即a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為增函數(shù)，
所以g(x)的最小值為g(1)＝0.
當(dāng)1
2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(VIII)
