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1、2022年高二數(shù)學下學期第一次段考試題 文（尖子班）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．設(shè)集合A={0，1，2，7}，集合B={x|y=}，則A∩B等于（ ?。?
A．{1，2，7} B．{2，7} C．{0，1，2} D．{1，2}
2．設(shè)復(fù)數(shù)z=﹣1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1﹣z|=（ ?。?
A． B． C．2 D．1
3．設(shè){an}是等差數(shù)列，若log2a7=3，則a6+a8等于（ ）
A．6 B．8
2、 C．9 D．16
4．雙曲線﹣=1（b＞0）的焦距為6，則雙曲線的漸近線方程為（ ?。?
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
5．已知向量=（m，2），向量=（2，﹣3），若|+|=|﹣|，則實數(shù)m的值是（ ?。?
A．﹣2 B．3 C． D．﹣3
6．我校三個年級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進行調(diào)查，若抽到編號之和為48，則抽到的最小編號為（ ?。?
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如圖給出的是計算的值
3、的一個程序框圖，則圖中執(zhí)行框
內(nèi)①處和判斷框中的②處應(yīng)填的語句是（ ）
A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15
C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞15
8．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則這個空間幾何體的表面積是（ ?。?
A．2π+4 B．3π+4
C．4π+4 D．4π+6
9．已知P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的任意一點，當該區(qū)域的面積為4時，z=2x﹣y的
最大值是（ ?。?
A．6 B．0 C．2 D．2
10．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b
4、，c，若，且，則下列關(guān)系一定不成立的是（ ?。?
A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2
11．已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)， ?=2（其中O為坐標原點），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是（ ?。?
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)f（x）=g（x）=，則函數(shù)f[g（x）]的所有零點之和是（ ?。?
A． B． C． D．
二、填空題：
5、本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷中的橫線上。
13．已知tanα=，則tan（α+）= ?。?
14．曲線y=cosx+ex在點（0，f（0））處的切線方程為 ?。?
15．某次測量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)（xi，yi）具有較強的相關(guān)性，并計算得=x+1，其中數(shù)據(jù)（1，y0）因書寫不清，只記得y0是[0，3]任意一個值，則該數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值不大于1的概率為 ．（殘差=真實值﹣預(yù)測值）
16．點 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積的最大值為 ?。?
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程
6、或驗算步驟。
17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2﹣，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)Tn=log2a1+log2a2+…+log2an，求證：＞﹣2（n∈N*，n≥2）
18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AC⊥PD；
（Ⅱ）在線段PA上，是否存在點E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
19．某機械廠今年進行了五次技能考核，其中甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等，成績統(tǒng)計情況如莖葉圖所示（其中a是0﹣9的某個整數(shù)
（1）若該廠決定從甲乙兩人中選
7、派一人去參加技能培訓(xùn)，從成績穩(wěn)定性角度考慮，你認為誰去比較合適？
（2）若從甲的成績中任取兩次成績作進一步分析，在抽取的兩次成績中，求至少有一次成績在（90，100]之間的概率．
20．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率e=，過點A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)F1、F2為橢圓的左、右焦點，過F2作直線交橢圓于P、Q兩點，求△PQF1的內(nèi)切圓半徑r的最大值．
21．已知函數(shù)f（x）=ex﹣x﹣m（m∈R）．
（1）當x＞0時，f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍；
（2）當m=﹣1時，證明：（）f（x）＞1﹣
8、．
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答。注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一個題目計分，做答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選做題號后的方框涂黑。
22．如圖，△ABO三邊上的點C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半徑r的長．
23．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．設(shè)點O為坐標原點，直線（參數(shù)t∈R）與曲線C的極坐標方程為 ρcos2θ=2sinθ
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)
9、直線l與曲線C相交于A，B兩點，證明： =0．
24．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a
（Ⅰ）當a=0時，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．
第一次段考數(shù)學答案與試題解析
一、選擇題： 1-6 BADABB 7—12 BCABBB
13．﹣． 14． x﹣y+2=0． 15．． 16．．
三、解答題：
17．解：（1）當n=1時，a1=S1=1．…
當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=，此式對n=1也成立．
10、∴an=．…
（2）證明：設(shè)bn=log2an，則bn=1﹣n．…
∴{bn}是首項為0，公差為﹣1的等差數(shù)列．
∴Tn=﹣ …
∴=﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣2（1﹣）＞﹣2…
18．（Ⅰ）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴AC⊥PD．
（Ⅱ）線段PA上，存在點E，使BE∥平面PCD．下面給出證明：
∵AD=3，
∴在△PAD中，分別取PA、PD靠近點P的三等分點E、F，連接EF．
∵，∴EF∥AD，．
又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
11、
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．
19． 解：（1）由已知中的莖葉圖可得：
甲的平均分為：（88+89+90+91+92）=90，
由甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等，
故乙的平均分：（84+88+89+90+a+96）=90，
解得：a=3，
則= [（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2，
= [（84﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（93﹣90）2+（96﹣90）2]=17.2，
∵甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等
12、，但＞，
∴從成績穩(wěn)定性角度考慮，我認為甲去比較合適，
（2）若從甲的成績中任取兩次成績作進一步分析，共有=10種不同抽取方法，
其中至少有一次成績在（90，100]之間有： =7種方法，
故至少有一次成績在（90，100]之間的概率P=
20． 解：（1）直線AB 的方程為，即bx﹣ay﹣ab=0
由題意得=，①
∵②
a2=b2+c2③
解得
∴橢圓的方程為
（2）設(shè)PQ：x=ty+代入
并整理得
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）則
，
∴
=
=
當即t2=1時，
∴
又∴
∴
21．解：（1）由題意得，ex﹣x﹣m＞0恒成立對x＞
13、0恒成立，
令g（x）=ex﹣x，
則g′（x）=ex﹣1，
當x＞0時，g′（x）=ex﹣1＞0，
故g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故當x＞0時，g（x）＞g（0）=1；
故若使ex﹣x﹣m＞0恒成立對x＞0恒成立，
則只需使m≤1；
（2）證明：（）f（x）=（x﹣lnx）（1﹣）；
令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=；
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，
當x＞1時，h′（x）＞0；
即h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）≥h（1）=1①．
令n（x）=1﹣，n′（x）=，
故n（x）=1﹣在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)；
故n（x）≥n（2）=1﹣②．
故由①②可得，
（）f（x）＞1﹣．
23．解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程消去t得普通方程為 y=2x+2．
由曲線C的極坐標方程兩邊同乘ρ得曲線C的普通方程為 x2=2y．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 消去y得 x2﹣4x﹣4=0，
∴x1+x2=4，x1?x2=﹣4，∴y1y2=，∴ =x1x2+y1y2=0．
2022年高二數(shù)學下學期第一次段考試題 文（尖子班）
