2022年高三二?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試題解析版 含解析(I)

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1、2022年高三二?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試題解析版 含解析(I) 一、填空題（本大題共14小題，每小題4分，滿分56分，只需將結(jié)果寫在答題紙上） 1．（4分）（xx?崇明縣二模）計(jì)算=　i?。? 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題． 分析： 利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則把分子、分母分別乘以分母的共軛復(fù)數(shù)1﹣2i即可得出． 解答： 解：===i． 故答案為i． 點(diǎn)評： 熟練掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 　 2．（4分）（xx?崇明縣二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镸，函數(shù)g（x）=2x的值域?yàn)镹，則M∩N=?。?，1）?。? 考點(diǎn)： 交集及其

2、運(yùn)算． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 先求出f（x）定義域M和g（x）的值域N，再進(jìn)行交集運(yùn)算． 解答： 解：對于f（x），要滿足1﹣x＞0，即，x＜1，故M={x|x＜1} 對于g（x），由于g（x）=2x＞0，故N={y|y＞0}={x|x＞0}， 所以，M∩N={x|x＜1}∩{x|x＞0}=（0，1）． 故答案為：（0，1）． 點(diǎn)評： 本題考查求函數(shù)的定義域和值域，求兩個(gè)集合的交集的方法，化簡M和N是解題的關(guān)鍵． 　 3．（4分）（xx?崇明縣二模）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長是3，點(diǎn)M、N分別是棱AB、AA1的中點(diǎn)，則異面直線MN與BC1

3、所成的角是　?。? 考點(diǎn)： 異面直線及其所成的角． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角或直角∠A1BC1就是異面直線所成的角，在三角形A1BC1是等邊三角形則∠A1BC1為，從而求出異面直線MN與BC1所成的角． 解答： 解：如圖，連接A1B，A1C1， MN∥A1B，則∠A1BC1為直線MN與BC1所成的角 棱長為3，則A1B=A1C1=BC1=3， ∴三角形A1BC1為等邊三角形則∠A1BC1為 從而異面直線MN與BC1所成的角是 故答案為． 點(diǎn)評： 本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力

4、和推理論證能力，解題本題的關(guān)鍵尋找異面直線所成角，易錯(cuò)在計(jì)算． 　 4．（4分）（xx?崇明縣二模）若拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線x2﹣y2=2的右焦點(diǎn)重合，則p的值為　4　． 考點(diǎn)： 雙曲線的簡單性質(zhì)；拋物線的簡單性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題． 分析： 將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a2=b2=2的值，從而得到雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0），該點(diǎn)也是拋物線的焦點(diǎn)，可得=2，所以p的值為4． 解答： 解：∵雙曲線x2﹣y2=2的標(biāo)準(zhǔn)形式為： ∴a2=b2=2，可得c==2，雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0） ∵拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線x2﹣y2=2的右

5、焦點(diǎn)重合， ∴=2，可得p=4 故答案為：4 點(diǎn)評： 本題給出拋物線與雙曲線右焦點(diǎn)重合，求拋物線的焦參數(shù)的值，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線簡單幾何性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題． 　 5．（4分）（xx?崇明縣二模）已知數(shù)列{an}是無窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和是Sn，若a2+a3=2，a3+a4=1，則的值為　　． 考點(diǎn)： 數(shù)列的極限；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 利用當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的公比q滿足0＜|q|＜1時(shí)，則，即可得出． 解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2+a3=2，a3+a4=1， ∴，解得， ∴． ∵

6、， ∴==． 故答案為． 點(diǎn)評： 熟練掌握：滿足0＜|q|＜1時(shí)，則，是解題的關(guān)鍵． 　 6．（4分）（xx?崇明縣二模）圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，若其弧長為2πcm，半徑為cm，則該圓錐的體積為　　cm3． 考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺的體積． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由已知中，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，若其弧長為2πcm，半徑為cm，我們易求出圓錐的底面周長及母線長，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑及高，代入圓錐體積公式，即可得到答案． 解答： 解：∵圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2πcm，半徑為cm， 故圓錐的底面周長為2πcm，母線長為cm， 則圓錐的底面半徑為1，高為1

7、 則圓錐的體積V== 故答案為： 點(diǎn)評： 本題考查的知識點(diǎn)是圓錐的體積公式，及圓錐的側(cè)面展開圖，其中根據(jù)已知求出圓錐的底面半徑及高，是解答本題的關(guān)鍵． 　 7．（4分）（xx?崇明縣二模）閱讀程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的自然數(shù)為　5?。? 考點(diǎn)： 循環(huán)結(jié)構(gòu)． 專題： 圖表型． 分析： 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運(yùn)行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案． 解答： 解：程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示： S i 是否繼續(xù)循環(huán) 循環(huán)

8、前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后當(dāng)i＜5時(shí)退出， 故答案為：5． 點(diǎn)評： 根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中既要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模． 　 8．（4分）（xx?崇明縣二模）已知函數(shù)（a為常數(shù)，a∈R），且是方程f（x）=

9、0的解．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）值域?yàn)椤　。? 考點(diǎn)： 兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦． 專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 利用是方程f（x）=0的解．求出a，然后通過二倍角的余弦函數(shù)兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)表達(dá)式，然后求解函數(shù)的值域． 解答： 解：因?yàn)槭欠匠蘤（x）=0的解． 所以0=sin+a，所以=﹣2， =sinx﹣cosx﹣1=sin（x﹣）﹣1， x∈[0，π]，所以， sin（x﹣）， sin（x﹣）﹣1∈[﹣2，]． 故答案為：[﹣2，]． 點(diǎn)評： 本題考查二倍角的余弦函數(shù)，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)值域的求法，

10、考查計(jì)算能力． 　 9．（4分）（xx?揭陽一模）若二項(xiàng)式的展開式中，第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中x6的系數(shù)為　9　．（用數(shù)字作答） 考點(diǎn)： 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由題意可得，，可求n，然后寫出展開式的通項(xiàng)，令x的次方為6求出r，即可求解 解答： 解：由題意可得，，解得n=9 ∵的展開式的通項(xiàng)為= 令9﹣=6，解得r=2 此時(shí)的系數(shù)為=9 故答案為：9 點(diǎn)評： 本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式 　 10．（4分）（xx?崇明縣二模）已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=

11、ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值為4，則f（x）在[﹣1，0]上的最小值為　﹣　． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由a，b為正實(shí)數(shù)，知函數(shù)f（x）=ax3+bx+2x是增函數(shù)，故f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，所以a+b=2．由此能求出f（x）在[﹣1，0]上的最小值． 解答： 解：∵a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax3+bx+2x， ∴f（x）在R上是增函數(shù)， ∴f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4， ∴a+b=2． ∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值f（﹣1）=﹣（a+b）+2

12、﹣1=﹣2+=﹣． ∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是﹣． 故答案為：﹣． 點(diǎn)評： 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化． 　 11．（4分）（xx?崇明縣二模）在極坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)（1，0）且與直線（ρ∈R）垂直，則直線的極坐標(biāo)方程為　?。? 考點(diǎn)： 簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先將直線極坐標(biāo)方程（ρ∈R）化成直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)方程進(jìn)行求解過點(diǎn)（1，0）且與直線（ρ∈R）垂直的直線方程，最后再化成極坐標(biāo)方程即可． 解答： 解：由題意可知直線（ρ∈R）的直角坐標(biāo)方程

13、為：x﹣y=0， 過點(diǎn)（1，0）且與直線x﹣y=0垂直的直線方程為：y=﹣（x﹣1）， 即所求直線普通方程為x+y﹣1=0， 則其極坐標(biāo)方程為． 故答案為：． 點(diǎn)評： 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得． 　 12．（4分）（xx?崇明縣二模）設(shè)函數(shù) ，函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　2?。? 考點(diǎn)： 函數(shù)的零點(diǎn)；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷． 分析： 根據(jù)函數(shù) ，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以分類討論，化簡函數(shù)函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的解析式，進(jìn)而構(gòu)造方

14、程求出函數(shù)的零點(diǎn)，得到答案． 解答： 解：∵函數(shù) ， 當(dāng)x≤0時(shí) y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去） 當(dāng)0＜x≤1時(shí) y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1 當(dāng)x＞1時(shí) y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1 則log2x=2，x=4 故函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè) 故答案為：2 點(diǎn)評： 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，根的存在性及根的個(gè)數(shù)

15、判斷，其中根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，化簡函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵． 　 13．（4分）（xx?崇明縣二模）已知O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則的值等于　5　． 考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用． 分析： 過點(diǎn)O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．根據(jù)Rt△AOE中余弦的定義，算出==8，同理得==2．再由M是BC邊的中點(diǎn)，可得==（8+2）=5． 解答： 解：過點(diǎn)O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則E、F分別是AB、AC的中點(diǎn) 可得Rt△AEO

16、中，cos∠OAE== ∴=?==8， 同理可得==2 ∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)，可得， ∴==（+）==5 故答案為：5 點(diǎn)評： 本題將△ABC放在它的外接圓O中，求中線AM對應(yīng)的向量與的數(shù)量積之值，著重考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和三角形外接圓等知識，屬于中檔題． 　 14．（4分）（xx?梅州一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l使得對于任意x∈M（M?D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調(diào)函數(shù)．如果定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）為R上的8高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范

17、圍是　?。? 考點(diǎn)： 奇偶性與單調(diào)性的綜合． 專題： 新定義． 分析： 定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，畫出函數(shù)f（x）的圖象，可得8≥3a2﹣（﹣a2），從而可得結(jié)論． 解答： 解：當(dāng)x≥a2時(shí)f（x）=x﹣2a2，當(dāng)0≤x＜a2時(shí)f（x）=﹣x，再根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可作出f（x）的圖象，如下圖所示： 由f（x）為R上的8高調(diào)函數(shù)，知f（x+8）≥f（x）恒成立， 由圖象得8≥3a2﹣（﹣a2），即a2≤2，解得﹣a≤． 點(diǎn)評： 本題考查基本初等函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的閱讀能力，應(yīng)用知識分析解決問題的能力，考查數(shù)

18、形結(jié)合的能力，是一個(gè)新定義問題，注意對于條件中所給的一個(gè)新的概念，要注意理解． 　 二、選擇題（本大題共4小題，滿分20分，每小題給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，選對并將答題紙對應(yīng)題號上的字母涂黑得5分，否則一律得零分） 15．（5分）（xx?崇明縣二模）已知函數(shù)f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，則f（x）是（　?。? 　 A． 最小正周期為π的奇函數(shù) B． 最小正周期為π的偶函數(shù) 　 C． 最小正周期為的奇函數(shù) D． 最小正周期為的偶函數(shù) 考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的奇偶

19、性． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先對函數(shù)化簡可得f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x=，由周期公式可求T，再檢驗(yàn)f（﹣x）與f（x）的關(guān)系即可判斷奇偶性 解答： 解：∵f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x =sin2xcos2x+ =+ = 由周期公式可得T=π，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù) 故選A 點(diǎn)評： 本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用及三角函數(shù)的周期性和奇偶性的判

20、斷，屬于基礎(chǔ)試題 　 16．（5分）（xx?崇明縣二模）不等式成立的充分不必要條件是（　?。? 　 A． ﹣1＜x＜0或x＞1 B． x＜﹣1或0＜x＜1 C． x＞﹣1 D． x＞1 考點(diǎn)： 其他不等式的解法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先求出不等式的解集，即使不等式成立的充要條件，使其成立的充分不必要條件x的取值集合應(yīng)為A的真子集． 解答： 解：不等式可以化為，等價(jià)于下面的兩個(gè)不等式組： ①或② 解得①或② ∴﹣1＜x＜0，或x＞1． ∴不等式的解集為A={x|﹣1＜x＜0，或x＞1}． 使其成立的充分

21、不必要條件x的取值集合應(yīng)為A的真子集． 只有D符合． 故選D． 點(diǎn)評： 本題考查了充要條件的判定，關(guān)鍵是分式不等式的解法．本題先考察命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷出了命題p與命題q的關(guān)系． 　 17．（5分）（xx?崇明縣二模）學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n個(gè)同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在[10，50）（單　位：元），其中支出在[30，50）（單位：元）的同學(xué)有67人，其頻率分布直方圖如右圖所示，則n的值為（　?。? 　 A． 100 B． 120 C． 130 D． 390 考點(diǎn)：

22、頻率分布直方圖． 專題： 計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： 根據(jù)小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數(shù)的頻率之和為0.33，從而得到位于30～50的數(shù)據(jù)的頻率之和為1﹣0.33=0.67，再由頻率計(jì)算公式即可算出樣本容量n的值． 解答： 解：∵位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為 S1=0.01×10=0.1，S2=0.023×10=0.23， ∴位于10～20、20～30的據(jù)的頻率分別為0.1、0.23 可得位于10～30的前3組數(shù)的頻率之和為0.1+0.23=0.33 由此可得位于30～50數(shù)據(jù)的頻率之和為1﹣0.33=0.67 ∵支出在[30，50）的同

23、學(xué)有67人，即位于30～50的頻數(shù)為67， ∴根據(jù)頻率計(jì)算公式，可得=0.67，解之得n=100 故選：A 點(diǎn)評： 本題給出頻率分布直方圖，在已知某小組的頻率情況下求該數(shù)據(jù)中的樣本容量n的值，著重考查了頻率分布直方圖的理解和頻率計(jì)算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題． 　 18．（5分）（xx?崇明縣二模）一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a，b，c∈（0，1）），已知他投籃一次得分的均值為2，的最小值為（　　） 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差． 專題：

24、 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合． 分析： 依題意可求得3a+2b的值，進(jìn)而利用=1把轉(zhuǎn)化為（）×展開后利用基本不等式求得問題的答案． 解答： 解：由題意得3a+2b=2， =（）× = 故選D 點(diǎn)評： 本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出+的形式． 　 三、解答題（本大題共5小題，滿分74分．解答下列各題并寫出必要的過程，并將解題過程清楚地寫在答題紙上） 19．（13分）（xx?崇明縣二模）如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點(diǎn)，BC=2．記銳角∠ADB=α．且滿足cos2α=． （1）求cosα； （2）求BC邊上高的值． 考點(diǎn)： 正弦定

25、理；二倍角的余弦． 專題： 計(jì)算題；解三角形． 分析： （1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα （2）方法一、由可求sinα，而∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，利用sin∠CAD=sin（）=sin，代入可求sin∠CAD，最后再 由正弦定理，可求AD，從而可由h=ADsin∠ADB求解 方法二、作BC 邊上的高為AH，在直角△ADH中，由（1）可得，設(shè)出AD，則可表示DH，AH，結(jié)合△AHC為等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求 解答： 解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1=， ∴， ∵， ∴cosα=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

26、（5分） （2）方法一、由（1）得=， ∵∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°， ∴sin∠CAD=sin（）=sin ==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 在△ACD中，由正弦定理得：， ∴AD==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分） 則高h(yuǎn)=ADsin∠ADB==4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 方法二、如圖，作BC 邊上的高為AH 在直角△△ADH中，由（1）可得=， 則不妨設(shè)AD=5m則DH=3m，AH=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） 注意到C=45°，則△AHC為等腰直角三角形，所以CD+DH=AH， 則

27、1+3m=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 所以m=1，即AH=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 點(diǎn)評： 本題主要考查了同角平方關(guān)系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本公式 　 20．（15分）（xx?崇明縣二模）如圖：已知四棱錐P﹣ABCD，底面是邊長為3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，連接AM、AN、MN． （1）求證：AB⊥MN； （2）若MN=5，求二面角N﹣AM﹣B的余弦值． 考點(diǎn)： 用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)． 專題： 空間向量

28、及應(yīng)用． 分析： （1）四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP兩兩互相垂直，分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出AP長度，則可得到圖中各點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量，由它們的數(shù)量積等于0證得AB⊥MN； （2）利用MN=5，求出AP的長度，分別求出平面AMB和平面AMN的一個(gè)法向量，利用兩個(gè)平面的法向量所成的角求二面角N﹣AM﹣B的余弦值． 解答： （1）證明：因?yàn)榈酌媸沁呴L為3的正方形，PA⊥面ABCD， 所以AP⊥AD⊥AB．如圖， 分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=t

29、 則 得，． ∴=0，所以AB⊥MN； （2）解：由，得， 解得t=8，即PA=8． 取平面AMB的一個(gè)法向量為 設(shè)平面AMN的法向量，又， 由得：，取y=﹣2，得x=1，z=． 所以平面AMN的一個(gè)法向量是， 設(shè)二面角N﹣AM﹣B為α，則=． 所以二面角N﹣AM﹣B的余弦值為． 點(diǎn)評： 本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求二面角的大小，利用空間向量求二面角的大小時(shí)，關(guān)鍵是分清兩個(gè)平面的法向量所成的角與二面角的關(guān)系，此題是中檔題． 　 21．（15分）（xx?崇明縣二模）某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會(huì)產(chǎn)生較多

30、次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，次品數(shù)p（萬件）與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關(guān)系：．已知每生產(chǎn)l萬件合格的元件可以盈利20萬元，但每產(chǎn)生l萬件次品將虧損10萬元．（實(shí)際利潤=合格產(chǎn)品的盈利﹣生產(chǎn)次品的虧損） （1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤T（萬元） 表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)； （2）當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬件） 定為多少時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為多少？ 考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： （1）根據(jù)題目條件寫出在x的不同范圍內(nèi)的合格的元件間數(shù)，然后由實(shí)際利潤=合格產(chǎn)品的盈利﹣生產(chǎn)次品的虧損將生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤T

31、（萬元） 表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)； （2）分別利用配方法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在連段內(nèi)的最值，最后取兩段的最大之中的最大者． 解答： 解：（1）當(dāng)1≤x＜4時(shí)，合格的元件數(shù)為（萬件）， 利潤（萬元）； 當(dāng)x≥4時(shí)，合格的元件數(shù)為（萬件）， 利潤（萬元）， 綜上，該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤為． （2）當(dāng)1≤x＜4時(shí)，T=20x﹣5x2=﹣5（x﹣2）2+20 ∴當(dāng)x=2（萬件）時(shí)，利潤T的最大值20（萬元）； 當(dāng)x≥4時(shí)， 令，則， 當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，y′＞0，所以在[4，+∞）上是單調(diào)遞增， 所以函數(shù)T（x）在[4，+∞）上是減函數(shù)， 則當(dāng)x=4時(shí)，

32、利潤T的最大值0． 綜上所述，當(dāng)日產(chǎn)量定為2（萬件）時(shí)，工廠可獲得最大利潤20萬元． 答：當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬件） 定為2（萬件）時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為20萬元． 點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了配方法及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，注意分段函數(shù)的最值要分段求，此題是中檔題． 　 22．（15分）（xx?崇明縣二模）已知橢圓C的方程為（a＞0），其焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)Q為橢圓上一點(diǎn)． （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）滿足，其中M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值； （3）在（2）的條件下探

33、究：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；平面向量的基本定理及其意義；直線的斜率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）把點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得a2； （2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由直線OM與ON的斜率之積為，可得M、N坐標(biāo)間的關(guān)系式，由，，從而可化為M、N坐標(biāo)的表達(dá)式，再由M、N是橢圓C上的點(diǎn)即可求得為定值； （3）由（2）知，動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）滿足，從而可判斷點(diǎn)P軌跡是橢圓，其焦點(diǎn)即為定點(diǎn)A、B； 解答： 解：（1）

34、因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)， 所以，解得a2=4， 所以橢圓方程為； （2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， 又，化簡得x1x2+2y1y2=0， 又M、N是橢圓C上的點(diǎn)，所以，，即，， 由，， 所以 = =4+4×4+4（x1x2+2y1y2） =20（定值）； （3）由（2）知，動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）滿足，即， 所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓． 故存在點(diǎn)A（）、B（），使得|PA|+|PB|=（定值）． 點(diǎn)評： 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解及平面向量基本定理，考查學(xué)生對問

35、題的理解分析能力及解決問題的能力，具有一定綜合性． 　 23．（16分）（xx?崇明縣二模）設(shè)數(shù)列{an}、{bn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且對任意n∈N*，都有，b1=e，，cn=an+1?lnbn（常數(shù)λ＞0，lnbn是以為底數(shù)的自然對數(shù)，e=2.71828…） （1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式； （2）用反證法證明：當(dāng)λ=4時(shí)，數(shù)列{cn}中的任何三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列； （3）設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，試問：是否存在常數(shù)M，對一切n∈N*，（1﹣λ）Tn+λcn≥M恒成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請證明你的結(jié)論． 考點(diǎn)：

36、 反證法與放縮法；數(shù)列與不等式的綜合． 專題： 點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 分析： （1）由條件 ①，求得a1=1．當(dāng)n≥2時(shí)，有 ②，由①﹣②可得數(shù)列{an}是公差等于2的等差數(shù)列，從而求得an=2n﹣1．再由，且bn＞0，可得lnbn=lnb1×λn﹣1=λn﹣1，從而求得 bn=． （2）當(dāng)λ=4時(shí)，假設(shè)第m項(xiàng)、第n項(xiàng)、第k項(xiàng)成等比數(shù)列，則有 （2n+1）2?42n﹣2=（2m+1）4m﹣1?（2k+1）4k﹣1，即 m2+k2+mk+m+k=0，顯然，這樣的正整數(shù)m、k不存在，故數(shù)列{cn}中的任何三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． （3）用錯(cuò)位相減法求得（1﹣λ）Tn=3+

37、2λ（1+λ+λ2+…+λn﹣2）﹣（2n+1）λn，①當(dāng)λ=1時(shí)，求出M的取值范圍．②當(dāng)λ≠1時(shí)，再求出M的取值范圍，綜合可得結(jié)論． 解答： 解：（1）∵因?yàn)閍n＞0， ①，當(dāng)n=1時(shí)，a12=4S1﹣2a1﹣1，解得a1=1． 當(dāng)n≥2時(shí)，有 ②， 由①﹣②得，（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=2（an+an﹣1），故有 an﹣an﹣1=2（n≥2），即數(shù)列{an}是公差等于2的等差數(shù)列， 所以an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1． 又因?yàn)?，且bn＞0，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)得 lnbn+1=λlnbn， 由此可知數(shù)列{lnbn}是以lnb1=lne=

38、1為首項(xiàng)，以λ為公比的等比數(shù)列， 所以lnbn=lnb1×λn﹣1=λn﹣1，所以，bn=eλn﹣1． （2）當(dāng)λ=4時(shí)，由（1）知，cn =an+1?lnbn =（2n+1）?λn﹣1=（2n+1）?4n﹣1． 假設(shè)第m項(xiàng)、第n項(xiàng)、第k項(xiàng)成等比數(shù)列，則有 （2n+1）2?42n﹣2=（2m+1）4m﹣1?（2k+1）4k﹣1， 即 （2n+1）2?42n﹣2=（2m+1）（2k+1）?4m+k﹣2，∴， ∴（m+k+1）2=（2m+1）（2k+1），即 m2+k2+mk+m+k=0，顯然，這樣的正整數(shù)m、k不存在，故數(shù)列{cn}中的任何三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． （3）解：∵cn=

39、an+1?lnbn =（2n+1）?λn﹣1， ∴Tn=3×λ0+5×λ1+7×λ2+…+（2n﹣1）×λn﹣2+（2n+1）×λn﹣1…③． ∴λ×Tn=3×λ1+5×λ2+7×λ3+…+（2n﹣1）×λn﹣1+（2n+1）×λn…④． 由③﹣④得﹣3Tn=3+2×4+2×42+…+2×4n﹣1﹣（2n+1）×4n=3+2×﹣（2n+1）4n=， 所以，（1﹣λ）Tn=3+2λ（1+λ+λ2+…+λn﹣2）﹣（2n+1）λn． ①當(dāng)λ=1時(shí)，（1﹣λ）Tn+λcn=（2n+1）（n∈N*）在N*上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以對于任意常數(shù)M∈（﹣∞，3]，（1﹣λ）Tn+λcn=（2n+1）≥M恒成立． ②當(dāng)λ≠1時(shí)，． 記g（n）=g（n+1）﹣g（n）=2λn＞0， 所以，數(shù)列g(shù)（n）為增函數(shù)． 所以當(dāng)λ≠1時(shí)，g（n）=≥g（1）=3．…（7分） 所以，所以對于任意常數(shù)M∈（﹣∞，3]，（1﹣λ）Tn+λcn≥M恒成立． …（8分） 點(diǎn)評： 本題主要考查數(shù)列求和問題，用反證法和放縮法證明不等式，函數(shù)的恒成立問題，屬于難題．