2022年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(理科) 含解析(I)

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1、2022年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(理科) 含解析(I)   一.選擇題:(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題5分,共60分) 1. +1與﹣1的等差中項(xiàng)是( ?。? A.1 B.﹣1 C. D.±1 2.下列命題正確的是( ?。? A.單位向量都相等 B.若與共線,與共線,則與共線 C.若|+|=|﹣|,則?=0 D.若與都是單位向量,則?=1 3.等比數(shù)列{an}中,“公比q>1”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=1,∠A=120°,則向量在向量

2、上的投影等于( ?。? A.﹣ B. C.﹣ D. 5.把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示).則第七個(gè)三角形數(shù)是(  ) A.27 B.28 C.29 D.30 6.在銳角△ABC中,a=2,b=2,B=45°,則A等于( ?。? A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150° 7.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列.若a1=1,則S4=( ?。? A.15 B.7 C.8 D.16 8.設(shè){an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5<S6,S

3、6=S7>S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ?。? A.d<0 B.a(chǎn)7=0 C.S9>S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 9.若△ABC的內(nèi)切圓面積為3π,三角形面積是10,A=60°,則BC邊的長(zhǎng)是( ?。? A.5 B.6 C.7 D.8 10.已知四邊形ABCD, ==(1,1),+=,則四邊形ABCD的面積為( ?。? A.1 B. C. D.2 11.已知△ABC內(nèi)接于單位圓,且△ABC面積為S,則長(zhǎng)為sinA,sinB,sinC的三條線段(  ) A.不能構(gòu)成三角形 B.能構(gòu)成一個(gè)三角形,其面積為 C.能構(gòu)成一個(gè)三角形,其面積大于 D.能構(gòu)成一個(gè)三角形,其面積小于

4、12.已知O為△ABC的外心,滿足,則△ABC的最大內(nèi)角的余弦值為( ?。? A. B. C. D.   二.填空題:(每小題5分,共20分;直接將答案填寫(xiě)在答卷上) 13.已知=(2,3),=(4,y+1),且∥,則y= ?。? 14.已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=(n∈N*),則該數(shù)列前xx項(xiàng)積a1?a2…axx?axx= ?。? 15.△ABC中,6sinA=4sinB=3sinC,則cosC= ?。? 16.若a,b是函數(shù)f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于

5、 ?。?   三.解答題:(共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17.已知=(1,cosx),=(,sinx),x∈(0,π) (1)若∥,求的值; (2)若⊥,求sinx﹣cosx的值. 18.已知AD是△ABC的角平分線,且AC=2,AB=4,cos∠BAC=. (1)求△ABC的面積; (2)求AD的長(zhǎng). 19.設(shè)公差不等于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=30,a1,a2,a4成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求的值. 20.定義:稱為n個(gè)正數(shù)p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”,已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”

6、為. (1)求{an}的通項(xiàng)公式 (2)設(shè)Cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 21.已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊為a、b、c,acosA﹣bcosB=0,a≠b. (1)求角C; (2)若y=,試確定實(shí)數(shù)y的取值范圍. 22.我們把一系列向量(i=1,2,3,…,n)按次序排成一列,稱之為向量列,記作,已知向量列滿足: =(1,1),=(xn,yn)=(xn﹣1﹣yn﹣1,xn﹣1+yn﹣1)(n≥2). (1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)設(shè)θn表示向量與間的夾角,若bn=,對(duì)于任意正整數(shù)n,不等式++…+>a(a+2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的范圍.   附加題

7、 23.已知:sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求S=tan(x+y+z)+tanxtanytanz的值.   參考答案與試題解析   一.選擇題:(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題5分,共60分) 1. +1與﹣1的等差中項(xiàng)是( ?。? A.1 B.﹣1 C. D.±1 【考點(diǎn)】等差數(shù)列. 【分析】由等差中項(xiàng)的定義易得答案. 【解答】解:設(shè)x為+1與﹣1的等差中項(xiàng), 則﹣1﹣x=x﹣+1,即x== 故選:C   2.下列命題正確的是( ?。? A.單位向量都相等 B.若與共線,與共線,則與共線 C.若|+|=|﹣|,則?=0 D.

8、若與都是單位向量,則?=1 【考點(diǎn)】平行向量與共線向量;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 【分析】題設(shè)條件簡(jiǎn)單,本題的解題需要從選項(xiàng)入手,逐一進(jìn)行驗(yàn)證排除. 【解答】解:向量有大小、方向兩個(gè)屬性,向量的相等指的是大小相等方向相同,故A不對(duì); B選項(xiàng)對(duì)三個(gè)非零向量是正確的,若是零向量時(shí),若與共線,與共線,則與共線不一定成立. 當(dāng)兩個(gè)向量互相垂直時(shí)兩向量和的模與差的模一定相等,故C選項(xiàng)是正確的. 若與都是單位向量,則?=1不一定成立,當(dāng)兩者垂直時(shí),內(nèi)積為零. 由分析知,應(yīng)選C.   3.等比數(shù)列{an}中,“公比q>1”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的( ?。?/p>

9、 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 【分析】根據(jù)等比數(shù)列遞增的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可. 【解答】解:若a1<0,q>1時(shí),{an}遞減,∴數(shù)列{an}單調(diào)遞增不成立. 若數(shù)列{an}單調(diào)遞增,當(dāng)a1<0,0<q<1時(shí),滿足{an}遞增,但q>1不成立. ∴“公比q>1”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件. 故選:D   4.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=1,∠A=120°,則向量在向量上的投影等于( ?。? A.﹣ B. C.﹣ D.

10、【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 【分析】由題意可得∠ABC=30°,再根據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的定義求得向量在向量上的投影. 【解答】解:由題意可得∠ABC=30°,∴向量在向量上的投影等于||?cos∠ABC=1×=, 故選:B.   5.把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示).則第七個(gè)三角形數(shù)是( ?。? A.27 B.28 C.29 D.30 【考點(diǎn)】歸納推理. 【分析】原來(lái)三角形數(shù)是從l開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和.l是第一個(gè)三角形數(shù),3是第二個(gè)三角形數(shù),6是第三個(gè)三角形數(shù),10是第四個(gè)三角形數(shù),15是

11、第五個(gè)三角形數(shù)…那么,第七個(gè)三角形數(shù)就是:l+2+3+4+5+6+7=28. 【解答】解:原來(lái)三角形數(shù)是從l開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和. l是第一個(gè)三角形數(shù),第1個(gè)數(shù)是1; 3是第二個(gè)三角形數(shù),第2個(gè)數(shù)是3=1+2; 6是第三個(gè)三角形數(shù),第3個(gè)數(shù)是:6=1+2+3; 10是第四個(gè)三角形數(shù),第4個(gè)數(shù)是:10=1+2+3+4; 15是第五個(gè)三角形數(shù),第5個(gè)數(shù)是:15=1+2+3+4+5; … 那么,第七個(gè)三角形數(shù)就是:l+2+3+4+5+6+7=28. 故選:B.   6.在銳角△ABC中,a=2,b=2,B=45°,則A等于( ?。? A.30° B.60° C.60°或120°

12、 D.30°或150° 【考點(diǎn)】正弦定理. 【分析】由正弦定理可得sinA=,再由大邊對(duì)大角可得A>B=45°,從而求得A的值. 【解答】解:由正弦定理可得 =,∴sinA=.∵B=45°,a>b,再由大邊對(duì)大角可得A>B, 故B=60°或120°, 故選,C.   7.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列.若a1=1,則S4=(  ) A.15 B.7 C.8 D.16 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【分析】利用4a1,2a2,a3成等差數(shù)列求出公比即可得到結(jié)論. 【解答】解:∵4a1,2a2,a3成等差數(shù)列.a(chǎn)1=1, ∴4a1+a3=

13、2×2a2, 即4+q2﹣4q=0, 即q2﹣4q+4=0, (q﹣2)2=0, 解得q=2, ∴a1=1,a2=2,a3=4,a4=8, ∴S4=1+2+4+8=15. 故選:A   8.設(shè){an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  ) A.d<0 B.a(chǎn)7=0 C.S9>S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【分析】利用結(jié)論:n≥2時(shí),an=sn﹣sn﹣1,易推出a6>0,a7=0,a8<0,然后逐一分析各選項(xiàng),排除錯(cuò)誤答案. 【解答】解:由S5<S6得a1+a2+a3

14、+…+a5<a1+a2++a5+a6,即a6>0, 又∵S6=S7, ∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7, ∴a7=0,故B正確; 同理由S7>S8,得a8<0, ∵d=a7﹣a6<0,故A正確; 而C選項(xiàng)S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由結(jié)論a7=0,a8<0,顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的. ∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6與S7均為Sn的最大值,故D正確; 故選C.   9.若△ABC的內(nèi)切圓面積為3π,三角形面積是10,A=60°,則BC邊的長(zhǎng)是(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 【考點(diǎn)】正弦定理. 【分析】

15、設(shè)三角形ABC內(nèi)切圓心為O,半徑為r,與AB,AC,BC分別切于E,F(xiàn),D,由已知可求∠EAO=∠FAO=30°,利用圓的面積可求r,進(jìn)而可求AE=AF=3,由BE=BD,CF=CD,可求AB+AC+BC=6+2BC,根據(jù)三角形面積公式即可解得BC的值. 【解答】解:設(shè)三角形ABC內(nèi)切圓心為O,半徑為r,與AB,AC,BC分別切于E,F(xiàn),D , 則AO平分∠BAC,OE=OF=OD=r, 因∠A=60°, 所以∠EAO=∠FAO=30°, 因?yàn)椋骸鰽BC的內(nèi)切圓面積為3π=πr2,解得:r=, 所以:AE===3, 得:AE=AF=3,BE=BD,CF=CD, 所以:AB+AC

16、+BC=AE+EB+AF+FC+BC=3+3+(EB+FC)+BC=3+3+2BC=6+2BC, 因?yàn)椋篠=(AB+AC+BC )?r=(AB+AC+BC )=10,解得:AB+AC+BC=20,可得:6+2BC=20, 所以:解得:BC=7. 故選:C.   10.已知四邊形ABCD, ==(1,1),+=,則四邊形ABCD的面積為(  ) A.1 B. C. D.2 【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用. 【分析】根據(jù)題意,利用向量加法的平行四邊形法則得到四邊形ABCD是菱形且∠BAD=120°,因此算出||=||=,即可求出四邊形ABCD的面積. 【解答】解:因?yàn)樗倪呅蜛BC

17、D, =, 所以四邊形ABCD是平行四邊形, 因?yàn)?=, 所以AC是平行四邊形ABCD的角平分線,平行四邊形為菱形,且∠BAD=120°, 根據(jù)=(1,1)可得菱形的邊長(zhǎng)為. 因此四邊形ABCD的面積S=××sin60°=. 故選:C.   11.已知△ABC內(nèi)接于單位圓,且△ABC面積為S,則長(zhǎng)為sinA,sinB,sinC的三條線段( ?。? A.不能構(gòu)成三角形 B.能構(gòu)成一個(gè)三角形,其面積為 C.能構(gòu)成一個(gè)三角形,其面積大于 D.能構(gòu)成一個(gè)三角形,其面積小于 【考點(diǎn)】三角形的面積公式. 【分析】設(shè)△ABC的三邊分別為a,b,c利用正弦定理可得, ===2可得a=

18、2sinA,b=2sinB,c=2sinC由a,b,c為三角形的三邊判斷即可 【解答】解:設(shè)△ABC的三邊分別為a,b,c 利用正弦定理可得, ===2 ∴a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC ∵a,b,c為三角形的三邊 ∴sinA,sinB,sinC也能構(gòu)成三角形的邊, 面積為原來(lái)三角形面積. 故選D.   12.已知O為△ABC的外心,滿足,則△ABC的最大內(nèi)角的余弦值為( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 【分析】設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為R,將已知的等式變形后,左右兩邊平方,分別求出cos∠AOB=0,cos∠BOC=﹣,

19、cos∠AOC=﹣,再根據(jù)圓心角等于同弧所對(duì)的圓周的兩倍,以及二倍角公式計(jì)算即可. 【解答】解:設(shè)外接圓的半徑為R, ∵, ∴3+4=﹣5, ∴(3+4)2=(﹣5)2, ∴9()2+16()2+12=25()2, ∴9R2+16R2+12=25R2, ∴9R2+16R2+12R2cos∠AOB=25R2, ∴cos∠AOB=0, 同理,求得cos∠BOC=﹣,cos∠AOC=﹣, ∴△ABC的最大內(nèi)角∠BAC, 根據(jù)圓心角等于同弧所對(duì)的圓周的兩倍得, ∴∠BAC=∠BOC, ∴2cos2(∠BAC)﹣1=cos∠BOC, ∴2cos2(∠BAC)=1﹣= ∴co

20、s2(∠BAC)=, ∴cos∠BAC= 故答案為:B.   二.填空題:(每小題5分,共20分;直接將答案填寫(xiě)在答卷上) 13.已知=(2,3),=(4,y+1),且∥,則y= 5?。? 【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示. 【分析】利用向量共線定理即可得出. 【解答】解:∵∥,∴3×4﹣2(y+1)=0, 解得y=5, 故答案為:5.   14.已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=(n∈N*),則該數(shù)列前xx項(xiàng)積a1?a2…axx?axx= 1 . 【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式. 【分析】利用遞推關(guān)系可得:an+4=an.利用周期性即可得出. 【解答】解:∵a1

21、=2,an+1=(n∈N*), ∴a2==﹣3,a3==﹣,a4==,a5==2,…, ∴an+4=an. 則該數(shù)列前xx項(xiàng)積a1?a2…axx?axx===1, 故答案為:1.   15.△ABC中,6sinA=4sinB=3sinC,則cosC= ﹣?。? 【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理. 【分析】由正弦定理可得6a=4b=3c,進(jìn)而可用a表示b,c,代入余弦定理化簡(jiǎn)可得. 【解答】解:∵6sinA=4sinB=3sinC, ∴由正弦定理可得6a=4b=3c ∴b=,c=2a, 由余弦定理可得cosC===﹣. 故答案為:﹣.   16.若a,b是函數(shù)f(x)=x2

22、﹣px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于 9?。? 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì);等差數(shù)列的性質(zhì). 【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=p,ab=q,再由a,b,﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列列關(guān)于a,b的方程組,求得a,b后得答案. 【解答】解:由題意可得:a+b=p,ab=q, ∵p>0,q>0, 可得a>0,b>0, 又a,b,﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列, 可得①或②. 解①得:;解②得:. ∴p=a+b=5,

23、q=1×4=4, 則p+q=9. 故答案為:9.   三.解答題:(共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17.已知=(1,cosx),=(,sinx),x∈(0,π) (1)若∥,求的值; (2)若⊥,求sinx﹣cosx的值. 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值;平行向量與共線向量;數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 【分析】(1)根據(jù)可推斷出求得tanx的值,進(jìn)而把分子分母同時(shí)除以cosx,把原式轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanx的式子,進(jìn)而把tanx的值代入即可. (2)根據(jù)兩向量垂直可推斷出,利用配方法(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx進(jìn)而把sinx和cosx

24、的值代入求得答案. 【解答】解:(1)∵ ∴ (2)∵ ∴ 又∵ ∴   18.已知AD是△ABC的角平分線,且AC=2,AB=4,cos∠BAC=. (1)求△ABC的面積; (2)求AD的長(zhǎng). 【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理. 【分析】(1)由cos∠BAC=,∠BAC∈(0,π),可得sin∠BAC=,即可得出S△ABC. (2)由AD是△ABC的角平分線,可得==2,∠BAD=∠BAC,利用cos∠BAC=1﹣2sin2∠BAD,解得sin∠BAD.利用S△ABD=S△ABC==,即可得出. 【解答】解:(1)∵cos∠BAC=,∠BAC∈(0,π),∴s

25、in∠BAC==. ∴S△ABC=×2×4×=. (2)由AD是△ABC的角平分線,∴==2,∠BAD=∠BAC, ∴cos∠BAC=1﹣2sin2∠BAD,∴=1﹣2sin2∠BAD,解得sin∠BAD=. ∴S△ABD=S△ABC===×. 解得AD=.   19.設(shè)公差不等于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=30,a1,a2,a4成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求的值. 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【分析】(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出; (2)==,利用“裂項(xiàng)求和”即可得出. 【解答】解:(1)設(shè)數(shù)

26、列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則d≠0, ∵S5=30,a1,a2,a4成等比數(shù)列, ∴, 解得a1=d=2,(其中d=0舍去), ∴an=2+2(n﹣1)=2n. (2)∵==, ∴=…+ = =.   20.定義:稱為n個(gè)正數(shù)p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”,已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為. (1)求{an}的通項(xiàng)公式 (2)設(shè)Cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式. 【分析】(1)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn=n(n+2),由此能求出{an}的通項(xiàng)公式. (2)由Cn==,利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和S

27、n. 【解答】解:(1)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為, ∴根據(jù)題意得數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為:Sn=n(n+2), 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+2)﹣(n﹣1)(n﹣2)=2n+1, n=1時(shí),a1=S1=3適合上式, ∴an=2n+1. (2)由(1)得Cn==, ∴,① 3Sn=,② ②﹣①,得:2Sn=3+ =3+ =, ∴Sn=2﹣.   21.已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊為a、b、c,acosA﹣bcosB=0,a≠b. (1)求角C; (2)若y=,試確定實(shí)數(shù)y的取值范圍. 【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦定理.

28、 【分析】(1)由acosA=bcosB,利用正弦定理可得:sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2π).由于a≠b,可得A≠B,可得A+B=.即可得出C. (2)由sinB=cosA 得y=,令 sinA+cosA=t∈(1,],則 sinAcosA=,y==,根據(jù)t﹣在(1,]單調(diào)遞增,即可求得實(shí)數(shù)y的取值范圍. 【解答】(本題滿分為14分) 解:(1)∵acosA=bcosB, ∴sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2π). ∴2A=2B,或2A=π﹣2B, ∵a≠b,∴A≠B, ∴A+B=. ∴C=π﹣(A+B)=.

29、… (2)∵sinB=cosA, ∴y=,… ∵sinA+cosA=sin(A+),A∈(0,), ∴A+∈(,). ∴sin(A+)∈(,1], ∴sinA+cosA∈(1,],… 令 sinA+cosA=t∈(1,],則 sinAcosA=,… ∴y==,… ∵t﹣在(1,]單調(diào)遞增, ∴0<t﹣≤﹣=, ∴y≥2, 又a≠b,故等號(hào)不成立, ∴y的取值范圍為(2,+∞)…   22.我們把一系列向量(i=1,2,3,…,n)按次序排成一列,稱之為向量列,記作,已知向量列滿足: =(1,1),=(xn,yn)=(xn﹣1﹣yn﹣1,xn﹣1+yn﹣1)(n≥2

30、). (1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)設(shè)θn表示向量與間的夾角,若bn=,對(duì)于任意正整數(shù)n,不等式++…+>a(a+2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的范圍. 【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合;等比關(guān)系的確定. 【分析】(1)利用向量模的坐標(biāo)公式求出||的模,得到||與||的關(guān)系,利用等比數(shù)列的定義能證明數(shù)列是等比數(shù)列. (2)利用向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式求出,的數(shù)量積,利用向量的模、夾角形式的數(shù)量積公式求出夾角的余弦,從而得到bn==,由此能求出結(jié)果. 【解答】證明:(1)∵向量列滿足: =(1,1), =(xn,yn)=(xn﹣1﹣yn﹣1,xn﹣1+yn﹣1), ∴||= = =|

31、|, ∴數(shù)列是等比數(shù)列. 解:(2)∵θn表示向量與間的夾角, ∴cosQn== ==, ∴Qn=,bn==, ∴++…+=, 記f(n)=, 則f(n+1)﹣f(n)===>0, ∴f(n)隨n單調(diào)增加, ∴f(n)>m對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n都成立等價(jià)于m<f(2)==, ∵對(duì)于任意正整數(shù)n,不等式++…+=>a(a+2)恒成立, ∴a(a+2)<2f(2)=, 解得﹣1﹣<a<﹣1+, ∴實(shí)數(shù)a的范圍是(﹣1﹣,﹣1+).   附加題 23.已知:sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求S=tan(x+y+z)+tanxtany

32、tanz的值. 【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù). 【分析】把已知等式變形,平方作和后可得cos(x﹣y)=﹣,cos(y﹣z)=﹣,cos(z﹣x)=﹣,表明角x,y,z中任兩角的終邊夾角為120度.然后把x,y用z表示后利用兩角和的正切得答案. 【解答】解:由sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,得 sinx+siny=﹣sinz且cosx+cosy=﹣cosz, 平方相加,得2+2cosxcosy+2sinxsiny=1, 即cos(x﹣y)=﹣, 同理,cos(y﹣z)=﹣,cos(z﹣x)=﹣, 這表明角x,y,z中任兩角的終邊夾角為120度. 不妨設(shè) x=y+120°+2k1?180°(k1∈Z),y=z+120°+2k2?180°(k2∈Z), 則x=z++2(k1+k2)×180°, x+y+z=3z+2(k1+k2+1)×180°, S=tan(x+y+z)+tanx?tany?tanz =tan(3z)+tan(z+240°)tan(z+120°)tanz =tan(3z)+tanz?tan(z+60°)?tan(z﹣60°) =tan(3z)﹣tan(3z)=0.   xx10月25日

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