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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 質(zhì)量檢測(cè) 理
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1. 設(shè)集合,集合,全集,則集合( )
A. B. C. D.
2.已知為純虛數(shù),則( )
A.2 B.3 C. D.
3.已知滿足,且,則下列選項(xiàng)中不一定成立的是( ?。?
A. B. C. D.
4. 已知向量a與b的夾角是,且,,若,則實(shí)數(shù)等于( )
A. 1 B. C. D.
5.等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,
2、則( )
A. B. C. 8 D. 6
6. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則( )
A. B. C. D.
7.已知在不等式組所確定的平面區(qū)域內(nèi),,則的最小值為( )
A.2 B. C.1 D.3
8.一個(gè)體積為的正三棱柱的三視圖如圖所示,則這個(gè)三棱柱的側(cè)視圖的面積為( )
A. B.8 C. D.1
3、2
9. 設(shè),則 ( )
A. B. C. D.
10.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
11. 已知拋物線的準(zhǔn)線為,點(diǎn)在圓上,記拋物線上任意一點(diǎn)到直線的距離為,則的最小值等于( )
A.3 B. C. 4 D. 5
12. 函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),若,且當(dāng)時(shí),,設(shè),,,則( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題4分,共16分)
13.
4、已知,且,則的最小值為 .
14. 閱讀如圖的程序框圖.若輸入,則輸出的分別等于
15.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線,若垂足恰在線段(為原點(diǎn))的垂直平分線上,則雙曲線的離心率為 .
16. 已知為上的偶函數(shù),對(duì)任意都有且當(dāng),且時(shí),有成立,給出四個(gè)命題:
① ; ② 直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸;
③ 函數(shù)在[-9,-6]上為增函數(shù); ④ 函數(shù)在[-9,9]上有四個(gè)零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)為______________.
三、解答題(本大題共6小題,共74分)
17.(本小題滿分12分)
已知,,其
5、中,
若函數(shù),且函數(shù)的圖象與直線相鄰兩公共點(diǎn)間的距離為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)在△中,分別是角A、B、C、的對(duì)邊,且, ,求△的面積.
18.(本小題滿分12分)
如圖所示,在棱錐中, 平面,底面為直角梯形,且//,,,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值.
(Ⅲ)求面與面所成的二面角的余弦值的大小.
19.(本小題滿分12分)
在盒子里有大小相同,僅顏色不同的乒乓球共10個(gè),其中紅球5個(gè),白球3個(gè),藍(lán)球2個(gè).現(xiàn)從中任取出一球確定顏色后放回盒子里,再取下一個(gè)球.重復(fù)以上操作,最多取3次,取球過程中如果取出藍(lán)色球則不再取
6、球.
求:(1)最多取兩次就結(jié)束的概率;
(2)整個(gè)過程中恰好取到2個(gè)白球的概率;
(3)取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng);
(Ⅱ)設(shè)的前n項(xiàng)和為,證明:<.
21.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
22.(本小題滿分14分)
已知定點(diǎn),B是圓(C為圓心)上的動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線與BC交于點(diǎn)E.
(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與E的軌跡交于P,Q兩點(diǎn),且以PQ為對(duì)角線的菱形的一頂點(diǎn)為(
7、-1,0),求:△ OPQ面積的最大值及此時(shí)直線的方程.
參考答案
一、選擇題:
ABCAB AAAAC AB
二、填空題:
13. ; 14. 24,3; 15. ; 16.①②④
三、解答題:
17.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ).
函數(shù)的圖象與直線相鄰兩公共點(diǎn)間的距離為.
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
.
……8分
由余弦定理知, 又,所以bc=2
聯(lián)立解得或,
18.(本小題滿分12分)
證明:(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AC=,
取AB中點(diǎn)E,連接CE,
則四邊形AECD為正方形,
8、 AE=CE=2,又BE=,
則△為等腰直角三角形,
. 又平面ABCD,平面,
,由得平面PAC,
平面PAC,所以.
解(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線分別為軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系.則,B(0,4,0),C(2,2,0), .
由(Ⅰ)知即為平面PAC的一個(gè)法向量,,
即PB與平面PAC所成角的正弦值為.
(Ⅲ)易求得面PAD的法向量,面PBC的法向量,,
所以面PAD與面PBC所成的二面角的余弦值的大小為。
19.(本小題滿分12分)
解:(1)設(shè)取球次數(shù)為ξ,則.
所以最多取兩次
9、就結(jié)束的概率 .
(2)由題意知可以如下取球:紅白白、白紅白、白白紅、白白藍(lán)四種情況,所以恰有兩次取到白球的概率為 .
(3)設(shè)取球次數(shù)為η,則,
,則分布列為:
η
1
2
3
P
取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.
20.(本小題滿分12分)
(Ⅰ) 解: ,
(Ⅱ)證明,
相減得,,
﹤.
21.(本小題滿
10、分12分)
解:(I)函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí),,∴.
由得.
,隨變化如下表:
0
極小值
由上表可知,,沒有極大值.
(II)由題意,.
令得,.
若,由得;由得.
若,
①當(dāng)時(shí),, 時(shí),;時(shí),.
②當(dāng)時(shí),.
③當(dāng)時(shí),, 時(shí),;時(shí),.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,,單調(diào)遞增區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,,單調(diào)遞增區(qū)間為.
22.(本小題滿分14分)
解:(1)由題知, ,
又,點(diǎn)E的軌跡是以A,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
E的軌跡方程為。
(2)設(shè),PQ的中點(diǎn)為
將直線與,聯(lián)立得
, ,即 ①
又
依題意有,整理得 ②
由①②可得,
設(shè)O到直線的距離為,則
當(dāng)時(shí),的面積取最大值1,
此時(shí),直線方程為 .