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1、2022年高考數學二輪復習 第一部分專題三 數列 第1講 等差數列、等比數列專題強化精練提能 理
1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S2＝4，S4＝20，則該數列的公差d＝( )
A．2 B．3
C．6 D．7
解析：選B.S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.
2．(xx·江西省質量監(jiān)測)已知數列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：選C.3an＋1＝3an－2?an＋1＝an－?{an}是等差數列，則an＝－n
2、.因為ak＋1·ak<0，所以<0，所以0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數可適當排序后
3、成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p＋q的值等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選D.不妨設a>b，由題意得所以a>0，b>0，
則a，－2，b成等比數列，a，b，－2成等差數列，
所以所以所以p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.
5．(xx·洛陽市雙基測試)數列{an}滿足an－an＋1＝an·an＋1(n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝，且b1＋b2＋…＋b9＝90，則b4·b6( )
A．最大值為99
B．為定值99
C．最大值為100
D．最大值為200
解析：選B.將an－an＋1＝anan＋1兩邊同時除以anan＋1，可得－＝1，即
4、bn＋1－bn＝1，所以{bn}是公差為d＝1的等差數列，其前9項和為＝90，所以b1＋b9＝20，將b9＝b1＋8d＝b1＋8，代入得b1＝6，所以b4＝9，b6＝11，所以b4b6＝99，故選B.
6．已知數列{an}，則有( )
A．若a＝4n，n∈N*，則{an}為等比數列
B．若an·an＋2＝a，n∈N*，則{an}為等比數列
C．若am·an＝2m＋n，m，n∈N*，則{an}為等比數列
D．若an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，則{an}為等比數列
解析：選C.若a1＝－2，a2＝4，a3＝8，滿足a＝4n，n∈N*，但{an}不是等比數列，故A錯；若a
5、n＝0，滿足an·an＋2＝a，n∈N*，但{an}不是等比數列，故B錯；若an＝0，滿足an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，但{an}不是等比數列，故D錯；若am·an＝2m＋n，m，n∈N*，則有＝＝＝2，則{an}是等比數列．
7．(xx·高考全國卷Ⅰ)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________．
解析：因為a1＝2，an＋1＝2an，
所以數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列．
又因為Sn＝126，所以＝126，所以n＝6.
答案：6
8．(xx·德州模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，
6、a1＝－1，Sn＝2an＋n(n∈N*)，則an＝________．
解析：因為Sn＝2an＋n，①
所以Sn＋1＝2an＋1＋n＋1，②
②－①，可得an＋1＝2an－1，即an＋1－1＝2(an－1)，又因為a1＝－1，所以數列{an－1}是以－2為首項，2為公比的等比數列，
所以an－1＝(－2)·2n－1＝－2n，所以an＝1－2n.
答案：1－2n
9．(xx·高考廣東卷)若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
解析：因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a
7、10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50.
答案：50
10．已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．數列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數列{an}的通項公式為an＝________．
解析：令x＝2，y＝2n－1，則f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2
8、n，＝＋1，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.
答案：n·2n
11．設等差數列{an}的前n項和為Sn，其中a1＝3，S5－S2＝27.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若Sn，2(an＋1＋1)，Sn＋2成等比數列，求正整數n的值．
解：(1)設等差數列{an}的公差為d，
則S5－S2＝3a1＋9d＝27，
又a1＝3，則d＝2，故an＝2n＋1.
(2)由(1)可得Sn＝n2＋2n，
又Sn·Sn＋2＝8(an＋1＋1)2，
即n(n＋2)2(n＋4)＝8(2n＋4)2，
化簡得n2＋4n－32＝0
9、，
解得n＝4或n＝－8(舍)，所以n的值為4.
12．已知α為銳角，且tan α＝－1，函數f(x)＝2x·tan 2α＋sin，數列{an}的首項a1＝1，an＋1＝f(an)．
(1)求函數f(x)的表達式；
(2)求數列{an}的通項公式．
解：(1)tan 2α＝＝＝1，
因為α是銳角，所以2α＝，
所以sin＝1，所以f(x)＝2x＋1.
(2)因為a1＝1，an＋1＝f(an)，所以an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，＝2(常數)，
所以{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比q＝2的等比數列，
所以an＝2n－1.
13．已知數列{a
10、n}的前n項和為Sn，若Sn＝3an＋2n.
(1)求證：數列{an－2}是等比數列；
(2)求數列的前n項和Tn.
解：(1)證明：由Sn＝3an＋2n，
得Sn＋1＝3an＋1＋2(n＋1)，
以上兩式相減得an＋1＝3an＋1－3an＋2，
即an＋1＝an－1，
所以an＋1－2＝(an－2)．
又因為S1＝a1＝3a1＋2，
所以a1＝－1，a1－2＝－3.
故數列{an－2}是以－3為首項，為公比的等比數列．
(2)由(1)得an－2＝－3×，
所以an＝2－3×.
所以＝－，
所以Tn＝－＝－－.
14．(xx·日照模擬)若數列{bn}對于n∈N*，
11、都有bn＋2－bn＝d(常數)，則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列，如數列{cn}，若cn＝則數列{cn}是公差為8的準等差數列．設數列{an}滿足a1＝a，對于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求證：{an}為準等差數列；
(2)求{an}的通項公式及前20項和S20.
解：(1)證明：因為an＋1＋an＝2n，①
所以an＋2＋an＋1＝2n＋2.②
由②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，
所以{an}是公差為2的準等差數列．
(2)已知a1＝a，an＋1＋an＝2n(n∈N*)，
所以a1＋a2＝2，即a2＝2－a.
所以由(1)可知a1，a3，a5，…，成以a為首項，2為公差的等差數列，a2，a4，a6，…，成以2－a為首項，2為公差的等差數列．
所以當n為偶數時，an＝2－a＋×2＝n－a，
當n為奇數時，an＝a＋×2＝n＋a－1，
所以an＝
S20＝a1＋a2＋…＋a19＋a20
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)
＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×＝200.
2022年高考數學二輪復習 第一部分專題三 數列 第1講 等差數列、等比數列專題強化精練提能 理
