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1、2022年高二數(shù)學(xué)5月質(zhì)量檢測試卷 文(含解析)新人教A版
注意事項:
1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2.請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷(選擇題)
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評卷人
得分
一、選擇題(題型注釋)
1.若復(fù)數(shù)z滿足(i是虛數(shù)單位),則z =( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:由故選A.
考點:復(fù)數(shù)的運算.
2.已知集合,則集合=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:化
2、簡集合,故選B.
考點:集合的運算.
3.設(shè)φ∈R,則“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
試題分析:由“φ=0”可以推出“f(x)=cos(x+φ)=cosx (x∈R)為偶函數(shù)”,所以是充分的,再由“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”可以推出,并不一定有φ=0,所以不必要;因此“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的充分而不必要條件;故選A.
考點
3、:充要條件.
4.函數(shù)的圖象一定過點( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:由函數(shù)恒過定點(0,1)知,令x-1=0得到x=1,且y=2;所以函數(shù)的圖象一定過點的坐標為(1,2),故選B.
考點:指數(shù)函數(shù).
5.點在圓的( ).
A.內(nèi)部 B.外部 C.圓上 D.與θ的值有關(guān)
【答案】A
【解析】
試題分析:將圓的參數(shù)方程化為普通方程得:知該圓的圓心坐標為(-1,0),半徑r=8,而點(1,2)到圓心的距離為:,所以點在圓的內(nèi)部;故選A.
考點:圓的參數(shù)方程.
6
4、.函數(shù)在點處的切線方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
試題分析:因為,且,故所求切線方程為:,故選C.
考點:導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
7.函數(shù)有極值的充要條件是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:因為函數(shù)有極值的充要條件是:有變號零點a<0,故選B.
考點:函數(shù)的極值.
8.雙曲線的虛軸長等于( )
A. B.-2t C. D.4
【答案】C
【解析】
試題
5、分析:由于雙曲線,所以其虛軸長,故選C.
考點:雙曲線的標準方程.
9.設(shè),則的最小值為( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:由于,所以lga>0,lgb>0,lgc>0,由換底公式得,當且僅當即時“=”成立,所以的最小值為3;故選A.
考點:基本不等式.
10.點是橢圓上的一個動點,則的最大值為( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:由于橢圓,所以可設(shè)點P(x
6、,y)的代入得:(其中)=,故知的最大值為.
考點:1.橢圓的性質(zhì);2.最值的求法.
11.已知函數(shù)則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:注意到是常數(shù),所以,令得
,故選A.
考點:函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
12.斜率為的直線過雙曲線的右焦點,且與雙曲線的左右兩支都相交,則雙曲線的離心率的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:如圖,要使斜率為的直線過雙曲線的右焦點,且與雙曲線的左右兩支都相
7、交,必須且只需即可,從而有所以有離心率,故選D.
考點:雙曲線的離心率.
第II卷(非選擇題)
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評卷人
得分
二、填空題(題型注釋)
13.已知,,則 .
【答案】
【解析】
試題分析:注意到,所以有
,故應(yīng)填入:.
考點:正切的和角公式.
14.函數(shù)在恒為正,則實數(shù)的范圍是 .
【答案】
【解析】
試題分析:注意到,所以函數(shù)在恒為正顯然不可能;或,故應(yīng)填入:.
考點:不等式的恒成立.
15.函數(shù)的值域為 .
【答案】[
8、-7,7]
【解析】
試題分析:由于函數(shù),(其中且是第一象限角)故知函數(shù)的值域為[-7,7];故應(yīng)填入[-7,7].
考點:三角函數(shù)的值域.
16.關(guān)于函數(shù),有下列命題
①由,可得必是的整數(shù)倍;
②的表達式可改寫成;
③的圖象關(guān)于點對稱;
④的圖象關(guān)于直線對稱.其中正確命題的序號為 .
【答案】②③
【解析】
試題分析:對于①令由可得x1-x2必是的整數(shù)倍,故①錯誤;對于②故②正確;對于③令,當k=0時,得到,所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(-,0)對稱;故③正確;對于④令,無論k取什么值,x都不等于-;其實由3知道4是錯誤的.故應(yīng)填入②③.
考
9、點:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).
評卷人
得分
三、解答題(題型注釋)
17.(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,用分析法求證:
10、必找充要條件,只須找充分條件即可;(2)先由已知函數(shù)計算出f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值,尋找規(guī)律不難猜想出:其自變量和為1的兩個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值之和也為定值:;證明也就只須用函數(shù)的解析式計算出f(x)+f(1-x)的值即可.
試題解析:(1)證明:要證0,
只需證(a-b)(2a+b)>0,只需證(a-b)(a-c)>0.
∵ a>b>c,∴ a-b>0,a-c>0,∴ (a-b)(a-c)>0顯然成立.故原不等式成立;
(2
11、)f(0)+f(1)=+=+=+=,
同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.
由此猜想f(x)+f(1-x)=.
證明:f(x)+f(1-x)=+
=+=+==.
考點:1.不等式的證明方法:分析法;2.歸納、猜想與證明.
18.設(shè)函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線.
(1)求;
(2)求f(x)的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間及對稱中心.
【答案】(1);(2);;.
【解析】
試題分析:(1)由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:函數(shù)的對稱軸均是通過函數(shù)圖象的最高點或最低點向x軸所引的垂線,既然函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,所以函數(shù)在處取得最值,從而,又因
12、為,從而可求得的值;(2)由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:函數(shù)的最小正周期為,單調(diào)增區(qū)間由不等式:求得,對稱中心的橫坐標由求得,而縱標為零;將(1)結(jié)果及已知代入上邊公式即可求得對應(yīng)結(jié)果.
試題解析:(1)由條件知:
∵,∴
(2)f(x)的最小正周期為,由
得遞增區(qū)間為;對稱中心為
考點:三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).
19.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別是.已知
(1)求角C的大小;
(2)若,求△ABC外接圓半徑.
【答案】(1)(2).
【解析】
試題分析:(1)由三角函數(shù)給值求角知識可知:要求角的大小,首先必須明確角的范圍,再就是求出角的某一三角函數(shù)值;因此既然是求角
13、C,而已知等式中只含有角C,所以只須將cosC移到等式的右側(cè),逆用余弦倍角公式,左邊用正弦的倍角公式化成再注意到,從而可得,然后兩邊一平方就可求得sinC=,但不能就此得到角C為,還必須注意到,所以(2)由正弦定理可知:△ABC外接圓半徑R滿足,由(1)知角C的大小,所以只需求出邊c即可;注意觀察已知等式知可分別按邊a,b配方得到從而得到再用余弦定理就可求出邊c,進而就可求得三角形的外接圓半徑.
試題解析:(1)∵即
由,∴,即
∵,得即,所以
(2)由得得
∴∴.
考點:1.三角公式;2.正弦定理和余弦定理.
20.在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:=1(a>b>0)
14、的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.
【答案】(1)+y2=1; (2)y=x+或y=-x-.
【解析】
試題分析:(1)由于橢圓的方程是標準方程,知其中心在坐標原點,對稱軸就是兩坐標軸,所以由已知可直接得到半焦距c及短半軸b的值,然后由 求得的值,進而就可寫出橢圓的方程;(2)由已知得,直線l的斜率顯然存在且不等于0,故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m,然后聯(lián)立直線方程與橢圓C1的方程,消去y得到關(guān)于x的一個一元二次方程,由直線l同時與橢圓C1相切知,其判別式等于零
15、得到一個關(guān)于k,m的方程;再聯(lián)立直線l與拋物線C2的方程,消去y得到關(guān)于x的一個一元二次方程,由直線l同時與拋物線C2相切知,其判別式又等于零,再得到一個關(guān)于k,m的方程;和前一個方程聯(lián)立就可求出k,m的值,從而求得直線l的方程.
試題解析:(1)因為橢圓C1的左焦點為F1(-1,0),
所以c=1.將點P(0,1)代入橢圓方程=1,
得=1,即b=1. 所以a2=b2+c2=2.
所以橢圓C1的方程為+y2=1.
(2)由題意可知,直線l的斜率顯然存在且不等于0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
因為直線l與橢圓C1相
16、切,
所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.
整理,得2k2-m2+1=0, ①
由消y,得
k2x2+(2km-4)x+m2=0.
∵直線l與拋物線C2相切,
∴Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理,得km=1, ②
聯(lián)立①、②,得或
∴l(xiāng)的方程為y=x+或y=-x-.
考點:1.橢圓的方程;2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
21.已知函數(shù), .
(1)求在點處的切線方程;
(2)證明: 曲線與曲線有唯一公共點;
(3)設(shè),比
17、較與的大小, 并說明理由.
【答案】(1);(2)祥見解析; (3).
【解析】
試題分析:(1)由于為切點,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率,利用點斜式求出切線方程,化成一般式即可;(2)要證兩曲線有唯一公共點,只須證兩個函數(shù)的差函數(shù)有唯一零點,注意到差函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為零,所以只須用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)在R上是一單調(diào)函數(shù)即可;(3)要比較兩個式子的大小,一般用比差法:作差,然后對差式變形,最后確定差式的符號.此題作差后字母較多,注意觀察,可構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進行研究,從而達到確定符號的目的.
試題解析:(1),則,點處的切線方程為:,即
(2)令 ,,則,,
18、且,,因此,
當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增.
所以,所以在上單調(diào)遞增,又,即函數(shù)有唯一零點,
所以曲線與曲線有唯一公共點.
(3)設(shè)
令,則,
所以在上單調(diào)遞增,且,因此,從而在上單調(diào)遞增,而,所以在上;即當時, ,又因為,所以有;所以當時, .
考點:1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
22.已知函數(shù)的減區(qū)間是(-2,2)
(1)試求m,n的值;
(2)求過點且與曲線相切的切線方程;
(3)過點A(1,t),是否存在與曲線相切的3條切線,若存在,求實數(shù)t的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】⑴m=1,n=0; ⑵或;⑶存在, .
【解
19、析】
試題分析:(1)由已知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(-2,2)即為的解集為(-2,2),利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m與n的值即可;(2)當A為切點時,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率,利用點斜式求出切線方程,化成一般式即可,當A不為切點時,設(shè)切點為P(x0,),這時切線的斜率是k=,將點A(1,-11)代入得到關(guān)于x0的方程,即可求出切點坐標,最后求出切線方程;(3)存在滿足條件的三條切線.設(shè)點P(x0,)是曲線f(x)=x3-12x的切點,寫出在P點處的切線的方程為y-=(x-x0)將點A(1,t)代入,將t分離出來,根據(jù)有三條切線,所以方程應(yīng)有3個實根,設(shè)g(x)=2x3-3x2+t+1
20、2,只要使曲線有3個零點即可.建立不等關(guān)系解之即可.
試題解析:⑴由題意知:的解集為(-2,2),所以,-2和2為方程3mx2+4nx-12=0的根,由韋達定理知,解得:m=1,n=0.
⑵ ∵,∴,∵
當A為切點時,切線的斜率 ,
∴切線為,即;
當A不為切點時,設(shè)切點為,這時切線的斜率是,
切線方程為,即
因為過點A(1,-11), ,
∴,
∴ 或,而為A點,即另一個切點為,
∴ ,
切線方程為 ,即
所以,過點的切線為或.
⑶ 存在滿足條件的三條切線.
設(shè)點是曲線的切點,
則在P點處的切線的方程為 即
因為其過點A(1,t),所以,,
由于有三條切線,所以方程應(yīng)有3個實根,
設(shè),只要使曲線有3個零點即可.
設(shè) =0, ∴ 分別為的極值點,
當時,在和 上單增,
當時,在上單減,
所以,為極大值點,為極小值點.
所以要使曲線與x軸有3個交點,當且僅當即,
解得:.
考點:1.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.