2022年高二數(shù)學(xué)5月質(zhì)量檢測(cè)試卷 文(含解析)新人教A版

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1、2022年高二數(shù)學(xué)5月質(zhì)量檢測(cè)試卷 文(含解析)新人教A版 注意事項(xiàng): 1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上 第I卷(選擇題) 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明 評(píng)卷人 得分 一、選擇題(題型注釋) 1.若復(fù)數(shù)z滿足(i是虛數(shù)單位),則z =( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析:由故選A. 考點(diǎn):復(fù)數(shù)的運(yùn)算. 2.已知集合,則集合=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析:化

2、簡(jiǎn)集合,故選B. 考點(diǎn):集合的運(yùn)算. 3.設(shè)φ∈R,則“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的(   ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析:由“φ=0”可以推出“f(x)=cos(x+φ)=cosx (x∈R)為偶函數(shù)”,所以是充分的,再由“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”可以推出,并不一定有φ=0,所以不必要;因此“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的充分而不必要條件;故選A. 考點(diǎn)

3、:充要條件. 4.函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析:由函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)知,令x-1=0得到x=1,且y=2;所以函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),故選B. 考點(diǎn):指數(shù)函數(shù). 5.點(diǎn)在圓的( ). A.內(nèi)部 B.外部 C.圓上 D.與θ的值有關(guān) 【答案】A 【解析】 試題分析:將圓的參數(shù)方程化為普通方程得:知該圓的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑r=8,而點(diǎn)(1,2)到圓心的距離為:,所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部;故選A. 考點(diǎn):圓的參數(shù)方程. 6

4、.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析:因?yàn)?,且,故所求切線方程為:,故選C. 考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 7.函數(shù)有極值的充要條件是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析:因?yàn)楹瘮?shù)有極值的充要條件是:有變號(hào)零點(diǎn)a<0,故選B. 考點(diǎn):函數(shù)的極值. 8.雙曲線的虛軸長(zhǎng)等于( ) A. B.-2t C. D.4 【答案】C 【解析】 試題

5、分析:由于雙曲線,所以其虛軸長(zhǎng),故選C. 考點(diǎn):雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 9.設(shè),則的最小值為( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析:由于,所以lga>0,lgb>0,lgc>0,由換底公式得,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立,所以的最小值為3;故選A. 考點(diǎn):基本不等式. 10.點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值為( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析:由于橢圓,所以可設(shè)點(diǎn)P(x

6、,y)的代入得:(其中)=,故知的最大值為. 考點(diǎn):1.橢圓的性質(zhì);2.最值的求法. 11.已知函數(shù)則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析:注意到是常數(shù),所以,令得 ,故選A. 考點(diǎn):函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 12.斜率為的直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn),且與雙曲線的左右兩支都相交,則雙曲線的離心率的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析:如圖,要使斜率為的直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn),且與雙曲線的左右兩支都相

7、交,必須且只需即可,從而有所以有離心率,故選D. 考點(diǎn):雙曲線的離心率. 第II卷(非選擇題) 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明 評(píng)卷人 得分 二、填空題(題型注釋) 13.已知,,則 . 【答案】 【解析】 試題分析:注意到,所以有 ,故應(yīng)填入:. 考點(diǎn):正切的和角公式. 14.函數(shù)在恒為正,則實(shí)數(shù)的范圍是 . 【答案】 【解析】 試題分析:注意到,所以函數(shù)在恒為正顯然不可能;或,故應(yīng)填入:. 考點(diǎn):不等式的恒成立. 15.函數(shù)的值域?yàn)? . 【答案】[

8、-7,7] 【解析】 試題分析:由于函數(shù),(其中且是第一象限角)故知函數(shù)的值域?yàn)椋郏?,7];故應(yīng)填入[-7,7]. 考點(diǎn):三角函數(shù)的值域. 16.關(guān)于函數(shù),有下列命題 ①由,可得必是的整數(shù)倍; ②的表達(dá)式可改寫成; ③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱; ④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)為 . 【答案】②③ 【解析】 試題分析:對(duì)于①令由可得x1-x2必是的整數(shù)倍,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②故②正確;對(duì)于③令,當(dāng)k=0時(shí),得到,所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-,0)對(duì)稱;故③正確;對(duì)于④令,無(wú)論k取什么值,x都不等于-;其實(shí)由3知道4是錯(cuò)誤的.故應(yīng)填入②③. 考

9、點(diǎn):三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 評(píng)卷人 得分 三、解答題(題型注釋) 17.(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,用分析法求證:

10、必找充要條件,只須找充分條件即可;(2)先由已知函數(shù)計(jì)算出f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值,尋找規(guī)律不難猜想出:其自變量和為1的兩個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之和也為定值:;證明也就只須用函數(shù)的解析式計(jì)算出f(x)+f(1-x)的值即可. 試題解析:(1)證明:要證0, 只需證(a-b)(2a+b)>0,只需證(a-b)(a-c)>0. ∵ a>b>c,∴ a-b>0,a-c>0,∴ (a-b)(a-c)>0顯然成立.故原不等式成立; (2

11、)f(0)+f(1)=+=+=+=, 同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想f(x)+f(1-x)=. 證明:f(x)+f(1-x)=+ =+=+==. 考點(diǎn):1.不等式的證明方法:分析法;2.歸納、猜想與證明. 18.設(shè)函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線. (1)求; (2)求f(x)的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱中心. 【答案】(1);(2);;. 【解析】 試題分析:(1)由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:函數(shù)的對(duì)稱軸均是通過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)向x軸所引的垂線,既然函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線,所以函數(shù)在處取得最值,從而,又因

12、為,從而可求得的值;(2)由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:函數(shù)的最小正周期為,單調(diào)增區(qū)間由不等式:求得,對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由求得,而縱標(biāo)為零;將(1)結(jié)果及已知代入上邊公式即可求得對(duì)應(yīng)結(jié)果. 試題解析:(1)由條件知: ∵,∴ (2)f(x)的最小正周期為,由 得遞增區(qū)間為;對(duì)稱中心為 考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 19.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是.已知 (1)求角C的大?。? (2)若,求△ABC外接圓半徑. 【答案】(1)(2). 【解析】 試題分析:(1)由三角函數(shù)給值求角知識(shí)可知:要求角的大小,首先必須明確角的范圍,再就是求出角的某一三角函數(shù)值;因此既然是求角

13、C,而已知等式中只含有角C,所以只須將cosC移到等式的右側(cè),逆用余弦倍角公式,左邊用正弦的倍角公式化成再注意到,從而可得,然后兩邊一平方就可求得sinC=,但不能就此得到角C為,還必須注意到,所以(2)由正弦定理可知:△ABC外接圓半徑R滿足,由(1)知角C的大小,所以只需求出邊c即可;注意觀察已知等式知可分別按邊a,b配方得到從而得到再用余弦定理就可求出邊c,進(jìn)而就可求得三角形的外接圓半徑. 試題解析:(1)∵即 由,∴,即 ∵,得即,所以 (2)由得得 ∴∴. 考點(diǎn):1.三角公式;2.正弦定理和余弦定理. 20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:=1(a>b>0)

14、的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上. (1)求橢圓C1的方程; (2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程. 【答案】(1)+y2=1; (2)y=x+或y=-x-. 【解析】 試題分析:(1)由于橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,知其中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸就是兩坐標(biāo)軸,所以由已知可直接得到半焦距c及短半軸b的值,然后由 求得的值,進(jìn)而就可寫出橢圓的方程;(2)由已知得,直線l的斜率顯然存在且不等于0,故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m,然后聯(lián)立直線方程與橢圓C1的方程,消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程,由直線l同時(shí)與橢圓C1相切知,其判別式等于零

15、得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程;再聯(lián)立直線l與拋物線C2的方程,消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程,由直線l同時(shí)與拋物線C2相切知,其判別式又等于零,再得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程;和前一個(gè)方程聯(lián)立就可求出k,m的值,從而求得直線l的方程. 試題解析:(1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(-1,0), 所以c=1.將點(diǎn)P(0,1)代入橢圓方程=1, 得=1,即b=1. 所以a2=b2+c2=2. 所以橢圓C1的方程為+y2=1. (2)由題意可知,直線l的斜率顯然存在且不等于0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C1相

16、切, 所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理,得2k2-m2+1=0, ① 由消y,得 k2x2+(2km-4)x+m2=0. ∵直線l與拋物線C2相切, ∴Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理,得km=1, ② 聯(lián)立①、②,得或 ∴l(xiāng)的方程為y=x+或y=-x-. 考點(diǎn):1.橢圓的方程;2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 21.已知函數(shù), . (1)求在點(diǎn)處的切線方程; (2)證明: 曲線與曲線有唯一公共點(diǎn); (3)設(shè),比

17、較與的大小, 并說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)祥見解析; (3). 【解析】 試題分析:(1)由于為切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求出切線方程,化成一般式即可;(2)要證兩曲線有唯一公共點(diǎn),只須證兩個(gè)函數(shù)的差函數(shù)有唯一零點(diǎn),注意到差函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為零,所以只須用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)在R上是一單調(diào)函數(shù)即可;(3)要比較兩個(gè)式子的大小,一般用比差法:作差,然后對(duì)差式變形,最后確定差式的符號(hào).此題作差后字母較多,注意觀察,可構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究,從而達(dá)到確定符號(hào)的目的. 試題解析:(1),則,點(diǎn)處的切線方程為:,即 (2)令 ,,則,,

18、且,,因此, 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增. 所以,所以在上單調(diào)遞增,又,即函數(shù)有唯一零點(diǎn), 所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn). (3)設(shè) 令,則, 所以在上單調(diào)遞增,且,因此,從而在上單調(diào)遞增,而,所以在上;即當(dāng)時(shí), ,又因?yàn)?所以有;所以當(dāng)時(shí), . 考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 22.已知函數(shù)的減區(qū)間是(-2,2) (1)試求m,n的值; (2)求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線方程; (3)過(guò)點(diǎn)A(1,t),是否存在與曲線相切的3條切線,若存在,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】⑴m=1,n=0; ⑵或;⑶存在, . 【解

19、析】 試題分析:(1)由已知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(-2,2)即為的解集為(-2,2),利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m與n的值即可;(2)當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求出切線方程,化成一般式即可,當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P(x0,),這時(shí)切線的斜率是k=,將點(diǎn)A(1,-11)代入得到關(guān)于x0的方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),最后求出切線方程;(3)存在滿足條件的三條切線.設(shè)點(diǎn)P(x0,)是曲線f(x)=x3-12x的切點(diǎn),寫出在P點(diǎn)處的切線的方程為y-=(x-x0)將點(diǎn)A(1,t)代入,將t分離出來(lái),根據(jù)有三條切線,所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根,設(shè)g(x)=2x3-3x2+t+1

20、2,只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可.建立不等關(guān)系解之即可. 試題解析:⑴由題意知:的解集為(-2,2),所以,-2和2為方程3mx2+4nx-12=0的根,由韋達(dá)定理知,解得:m=1,n=0. ⑵ ∵,∴,∵ 當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí),切線的斜率 , ∴切線為,即; 當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,這時(shí)切線的斜率是, 切線方程為,即 因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(1,-11), , ∴, ∴ 或,而為A點(diǎn),即另一個(gè)切點(diǎn)為, ∴ , 切線方程為 ,即 所以,過(guò)點(diǎn)的切線為或. ⑶ 存在滿足條件的三條切線. 設(shè)點(diǎn)是曲線的切點(diǎn), 則在P點(diǎn)處的切線的方程為 即 因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)A(1,t),所以,, 由于有三條切線,所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根, 設(shè),只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可. 設(shè) =0, ∴ 分別為的極值點(diǎn), 當(dāng)時(shí),在和 上單增, 當(dāng)時(shí),在上單減, 所以,為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn). 所以要使曲線與x軸有3個(gè)交點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)即, 解得:. 考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

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