2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.5 平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1 平面幾何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2.5　平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1　平面幾何中的向量方法 2.5.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握用向量方法解決簡(jiǎn)單的幾何問題、力學(xué)問題等一些實(shí)際問題．(重點(diǎn))2.體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題的重要工具．(重點(diǎn))3.培養(yǎng)運(yùn)用向量知識(shí)解決實(shí)際問題和物理問題的能力．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”： (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 2．

2、向量在物理中的應(yīng)用： (1)物理問題中常見的向量有力，速度，加速度，位移等． (2)向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在力，速度，加速度，位移的合成與分解． (3)動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算． (4)功是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)若△ABC是直角三角形，則有·＝0.(　　) (2)若∥，則直線AB與CD平行．(　　) (3)用力F推動(dòng)一物體水平運(yùn)動(dòng)s m，則力F對(duì)物體所做的功為|F||s|.(　　) [解析]　(1)錯(cuò)誤．因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C為直角． (2)錯(cuò)誤．向量∥時(shí)，直線AB∥CD或AB與CD重合．

3、 (3)錯(cuò)誤．力F對(duì)物體所做的功為F·s. [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知一個(gè)物體在大小為6 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100 m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________J. 300　[W＝F·s＝6×100×cos 60°＝300(J)．] 3．設(shè)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，||＝16，|＋|＝|－|，則||＝________. 2　[∵|＋|＝|－|， ∴·＝0，⊥， ∴△ABC是直角三角形，BC為斜邊， ∴||＝||＝×4＝2.] [合 作 探 究·攻 重 難] 向量在平面幾何中的應(yīng)用 　(1)已知非零

4、向量與滿足·＝0且·＝，則△ABC的形狀是(　　) A．三邊均不相等的三角形　　 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 (2)已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF與EC相交于點(diǎn)P，求四邊形APCD的面積． [思路探究]　(1)先由平行四邊形法則分析＋的幾何意義，由數(shù)量積為0推出垂直關(guān)系，再由·＝求∠BAC，最后判斷△ABC的形狀． (2)先建系設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)A，P，F(xiàn)和C，P，E分別共線求點(diǎn)P坐標(biāo)，最后求四邊形APCD的面積． (1)C　[(1)由·＝0，得∠A的平分線垂直于BC，所以AB＝AC，設(shè)，的夾角為θ

5、， 而·＝cos θ＝， 又θ∈[0，π]，所以∠BAC＝π－＝π，故△ABC為等腰三角形． (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示， ∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)， F(6,4)，E(3,0)， 設(shè)P(x，y)，＝(x，y)， ＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6)． 由點(diǎn)A，P，F(xiàn)和點(diǎn)C，P，E分別共線， 得∴ ∴S四邊形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB ＝36－×3×3－×3×6＝.] 母題探究：1.將本例1(1)的條件改為(－)·(＋－2)＝0，試判斷△ABC的形狀． [解]　∵(

6、－)·(＋－2)＝0， ∴(－)·(－＋－)＝0， ∴·(＋)＝0， ∴(－)·(＋)＝0， ∴－＝0，即||2－||2＝0， 所以||＝||， ∴△ABC是等腰三角形． 2．將本例1(2)的條件“BF∶FC＝2∶1”改為“BF∶FC＝1∶1”，求證：AF⊥DE. [證明]　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，則中點(diǎn)E(3,0)，F(xiàn)(6,3)， ∴＝(6,3)，＝(3，－6)， ∴·＝6×3＋3×(－6)＝0， ∴⊥，∴AF⊥DE. [規(guī)律方法]　(1)向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法： 法一：①選擇一組向量

7、作基底；②用基底表示和；③證明·的值為0；④給出幾何結(jié)論AB⊥CD. 法二：先求，的坐標(biāo)，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再計(jì)算·的值為0，從而得到幾何結(jié)論AB⊥CD. (2)用向量法證明平面幾何中AB∥CD的方法： 法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示和)；③尋找實(shí)數(shù)λ，使＝λ，即∥；④給出幾何結(jié)論AB∥CD. 法二：先求，的坐標(biāo)，＝(x1，y1)，＝(x2，y2).利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系x1y2－x2y1＝0得到∥，再給出幾何結(jié)論AB∥CD.,以上兩種方法，都是建立在A，B，C，D中任意三點(diǎn)都不共線的基礎(chǔ)上，才有∥得到AB∥CD. 向量在解析幾何中的應(yīng)用 　已知點(diǎn)A

8、(1,0)，直線l：y＝2x－6，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若＝2，求點(diǎn)P的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352265】 [思路探究]　→ →→ [解]　設(shè)P(x，y)，R(x0，y0)， 則＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， ＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)． 由＝2，得 又∵點(diǎn)R在直線l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6， ∴ 由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即為點(diǎn)P的軌跡方程． [規(guī)律方法]　用向量方法解決解析幾何問題的步驟：一是把解析幾何問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量模型，通過向量運(yùn)算解決問題

9、；三是將結(jié)果還原為解析幾何問題. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn)． (1)求直線DE的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在直線的方程． [解]　(1)設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點(diǎn)， 則∥， 因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為邊BC，CA的中點(diǎn)， 所以點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為D(－1,1)，E(－3，－1)， ＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)， 所以(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0為直線DE的方程． (2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在直線上任意一點(diǎn)，則⊥

10、，所以·＝0， 又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)， 所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程． 平面向量在物理中的應(yīng)用 [探究問題] 1．向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？ 提示：物理上力作功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移距離的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積． 2．用向量方法解決物理問題的一般步驟是什么？ 提示：用向量方法解決物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟： ①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物

11、理問題中． 　(1)一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點(diǎn)A(1,1)移動(dòng)到點(diǎn)B(0,5)．在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功等于________． (2)設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為π，如圖2-5-1所示． 圖2-5-1 ①求F3的大?。? ②求F2與F3的夾角. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352266】 [思路探究]　(1) → (2)① → ②→→ (1)－40　[因?yàn)镕1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(

12、8，－8)，＝(－1,4)， 則F·＝－1×8－8×4＝－40， 即三個(gè)力的合力所做的功為－40.] (2)①由題意|F3|＝|F1＋F2|， 因?yàn)閨F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝. ②設(shè)F2與F3的夾角為θ， 因?yàn)镕3＝－(F1＋F2)， 所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2， 所以·2·cos θ ＝－1×2×－4， 所以cos θ＝－， 所以θ＝π. [規(guī)律方法]　向量在物理中的應(yīng)用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量幾何化，借助于向量求和的平行四邊形法則求解. (2)用向量方法解決物理問題

13、的步驟： ①把物理問題中的相關(guān)量用向量表示； ②轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算使問題解決； ③結(jié)果還原為物理問題. [跟蹤訓(xùn)練] 2．在靜水中劃船速度的大小是每分鐘40 m，水流速度的大小是每分鐘20 m，如果一小船從岸邊O處出發(fā)，沿著垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，則小船的行進(jìn)方向應(yīng)指向哪里？ [解]　如圖所示，設(shè)向量的長(zhǎng)度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的長(zhǎng)度和方向表示船在靜水中速度的大小和方向，以，為鄰邊作平行四邊形OACB，連接OC. 依題意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40， ∴∠BOC＝30°. 故船應(yīng)向上游(左)與河岸夾角為60°的方向行進(jìn)． [當(dāng) 堂

14、 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．過點(diǎn)M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直線方程為(　　) A．2x＋y－7＝0　　　　　 B．2x＋y＋7＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0 A　[設(shè)P(x，y)是所求直線上任一點(diǎn)，則⊥u.又＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.] 2．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以ABCD為頂點(diǎn)的四邊形是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352267】 A．梯形 B．鄰邊不相等的平行四邊形 C．菱形 D．兩組對(duì)邊均不平行的四邊形 B　[因?yàn)椋?8,0)，＝(8,0)，

15、所以＝，因?yàn)椋?4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故為鄰邊不相等的平行四邊形．] 3．已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，則合力f＝f1＋f2＋f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9) A　[f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 設(shè)終點(diǎn)為B(x，y)，則(x－1，y－1)＝(8,0)， 所以所以所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1)．] 4．坐標(biāo)平面內(nèi)一只小螞蟻以速度v＝(1,2)從點(diǎn)A(4,6)處移動(dòng)到點(diǎn)B(7,12)處，其所用時(shí)間長(zhǎng)短為________． 3　[設(shè)所用時(shí)間長(zhǎng)短為t，則 ＝tv，即(3,6)＝t(1,2)， 所以t＝3.] 5．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2EB.求證：AD⊥CE. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352268】 [證明]　以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(略)． 設(shè)AC＝a，則A(a,0)，B(0，a)， D，C(0,0)，E. 因?yàn)椋?，＝? 所以·＝－a·a＋·a＝0， 所以⊥，即AD⊥CE. 8