高中數(shù)學 單元測評二 推理與證明 新人教A版選修1-2

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1、高中數(shù)學 單元測評二 推理與證明 新人教A版選修1-2 一、選擇題：本大題共10小題，共50分． 1．凡自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)．以上三段論推理(　　) A．正確 B．推理形式不正確 C．兩個“自然數(shù)”概念不一致 D．“兩個整數(shù)”概念不一致 解析：三段論中的大前提，小前提及推理形式都是正確的． 答案：A 2．用反證法證明命題：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，則a，b，c，d中至少有一個負數(shù)”時的假設為 (　　) A．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個正數(shù) B．a(chǎn)，b，c，d全為正數(shù) C．a(chǎn)，b，c，d全都大于等于0 D．a(chǎn)，b，c

2、，d中至多有一個負數(shù) 解析：“至少有一個負數(shù)”的對立面是“一個負數(shù)也沒有”，即“全都大于等于0”． 答案：C 3．下面幾種推理是合情推理的是(　　) ①由圓的性質類比出球的有關性質；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學成績都是100分；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)·180° A．①②　　　　　　　　 B．①③④ C．①②④ D．②④ 解析：①是類比，②④是歸納推理． 答案：C 4．若a，b，c

3、∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.＋＋≥2 D．a(chǎn)＋b＋c≤ 解析：∵ab＋bc＋ca＝1， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2(a＋b＋c)＝3. 答案：B 5．有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)進行如下分組：第1組含有一個數(shù){1}，第2組含有兩個數(shù){3,5}；第3組含有三個數(shù){7,9,11}；…試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的編號數(shù)n的關系為(　　) A．等于n2 B．等于n3 C．等于n4 D．等

4、于n(n＋1) 解析：前三組數(shù)分別求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n組數(shù)的和為n3. 答案：B 6．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案： 則第n個圖案中的白色地面磚有(　　) A．4n－2塊 B．4n＋2塊 C．3n＋3塊 D．3n－3塊 解析：方法1：第1個圖案中有6塊白色地面磚，第二個圖案中有10塊白色地面磚，第三個圖案中有14塊白色地面磚，歸納為：第n個圖案中有4n＋2塊白色地面磚． 方法2：驗n＝1時，A、D選項不為6，排除．驗n＝2時，C選項不為10，排除． 答案：B 7．函數(shù)f(x)是[－1,1]上的減函數(shù)，α、

5、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是(　　) A．f(sinα)＞f(cosβ) B．f(cosα)＜f(cosβ) C．f(cosα)＞f(sinβ) D．f(sinα)＜f(sinβ) 解析：因為α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角， 所以α＋β＞，所以＞α＞－β＞0， 所以cosα＜cos＝sinβ. 而cosα∈(0,1)，sinβ∈(0,1)， f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)， 故f(cosα)＞f(sinβ)． 答案：C 8．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質，可推知正四面體的下列性質，則比較恰當?shù)氖?　　) ①各棱長相

6、等，同一頂點上的任意兩條棱的夾角相等；②各個面是全等的正三角形，相鄰的兩個面所成的二面角相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點的任意兩條棱的夾角相等；④各棱長相等，相鄰兩個面所成的二面角相等． A．①④ B．①② C．①②③ D．③ 解析：類比推理原則是：類比前后保持類比規(guī)則的一致性，而③④違背了這一規(guī)則，①②符合這一規(guī)則． 答案：B 9．設P＝＋＋＋，則(　　) A．0＜P＜1 B．1＜P＜2 C．2＜P＜3 D．3＜P＜4 解析：P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120， 1＝log1111＜log11120＜log1

7、1121＝2，即1＜P＜2. 答案：B 10．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于(　　) A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1) B．f C．n(n＋1) D．n(n＋1)f(1) 解析：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(1)＝2，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝6，…，依此類推，f(n)＝f(n－1＋1)＝f(n－1)＋f(1)＝…＝nf(1)＝2n，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝2＋4＋6＋…＋2n＝＝n(n＋

8、1)．故C正確，顯然A，B也正確，只有D不可能成立． 答案：D 第Ⅱ卷(非選擇題，共70分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 11．觀察下列式子： 1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，則可以猜想：當n≥2時，有__________． 解析：左邊為n項和：1＋＋＋…＋，右邊為分式，易知n≥2時為. 答案：1＋＋＋…＋＜ 12．已知點A(x，lgx1)，B(x2，lgx2)是函數(shù)f(x)＝lgx的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的下方，因此有結論＜lg成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1,2x1)，B(x2,2x2) 是

9、函數(shù)g(x)＝2x的圖象上的不同兩點，則類似地有__________成立． 解析：若點A(x1,2x1)，B(x2,2x2)是函數(shù)g(x)＝2x的圖象上的不同兩點，則線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有＞2. 答案：＞2 13．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析：假設這兩個方程都沒有實數(shù)根，則 即 即 ∴－2

10、1＝1，且Sn、Sn＋1、2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前n項和)，則S2、S3、S4分別為__________，由此猜想Sn＝__________. 解析：由Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列，得2Sn＋1＝Sn＋2S1， ∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2. 令n＝1，則2S2＝S1＋2＝1＋2＝3?S2＝， 同理分別令n＝2，n＝3， 可求得S3＝，S4＝. 由S1＝1＝，S2＝＝， S3＝＝，S4＝＝， 猜想Sn＝. 答案：，，　 三、解答題：本大題共4小題，滿分50分． 15．(12分)已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a是偶數(shù)． 證明：(反證法)

11、假設a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)， (2分) 則設a＝2n＋1(n∈Z), ∴a2＝4n2＋4n＋1. (4分) ∵4(n2＋n)是偶數(shù)， ∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)，(8分) 這與已知a2是偶數(shù)矛盾，所以假設不成立，(10分) 即a一定是偶數(shù)．(12分) 16．(12分)先解答(1)問，再通過類比解答(2)問． (1)求證：tan＝； (2)設x∈R且f(x＋1)＝，試問f(x)是周期函數(shù)嗎？證明你的結論． 解：(1)證明：tan＝＝.(4分) (2)f(x)是以4為一個周期的周期函數(shù)．證明如下： ∵f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝＝－，(6分) ∴f(x＋4)＝f

12、[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)， (10分) ∴f(x)是周期函數(shù)．(12分) 17．(12分)證明：若a>0，則 －≥a＋－2. 證明：∵a>0，要證 －≥a＋－2， 只需證 ＋2≥a＋＋， 只需證( ＋2)2≥(a＋＋)2，(4分) 即證a2＋＋4＋4≥a2＋＋4＋2(a＋)，即證 ≥(a＋)， 即證a2＋≥(a2＋＋2)，(6分) 即證a2＋≥2，即證(a－)2≥0，(10分) 該不等式顯然成立． ∴ －≥a＋－2.(12分) 18．(14分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1. (1)求函數(shù)f(x)的表達式； (2)已知數(shù)列{xn}的項滿足xn＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，試求x1，x2，x3，x4； (3) 猜想{xn}的通項公式． 解：(1) 把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1， 代入函數(shù)表達式得 即 解得(舍去a＝－<0)， ∴f(x)＝(x≠－1)．(6分) (2) x1＝1－f(1)＝1－＝， x2＝[1－f(1)][1－f(2)]＝×(1－)＝， x3＝[1－f(3)]＝×(1－)＝， x4＝×(1－)＝.(12分) (3) 由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝. (14分)