高中數(shù)學(xué) 單元測(cè)評(píng)二 推理與證明 新人教A版選修1-2

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1、高中數(shù)學(xué) 單元測(cè)評(píng)二 推理與證明 新人教A版選修1-2 一、選擇題:本大題共10小題,共50分. 1.凡自然數(shù)是整數(shù),4是自然數(shù),所以4是整數(shù).以上三段論推理(  ) A.正確 B.推理形式不正確 C.兩個(gè)“自然數(shù)”概念不一致 D.“兩個(gè)整數(shù)”概念不一致 解析:三段論中的大前提,小前提及推理形式都是正確的. 答案:A 2.用反證法證明命題:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”時(shí)的假設(shè)為 (  ) A.a(chǎn),b,c,d中至少有一個(gè)正數(shù) B.a(chǎn),b,c,d全為正數(shù) C.a(chǎn),b,c,d全都大于等于0 D.a(chǎn),b,c

2、,d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù) 解析:“至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”的對(duì)立面是“一個(gè)負(fù)數(shù)也沒(méi)有”,即“全都大于等于0”. 答案:C 3.下面幾種推理是合情推理的是(  ) ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì);②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°;③某次考試張軍成績(jī)是100分,由此推出全班同學(xué)成績(jī)都是100分;④三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得出凸n邊形內(nèi)角和是(n-2)·180° A.①②         B.①③④ C.①②④ D.②④ 解析:①是類比,②④是歸納推理. 答案:C 4.若a,b,c

3、∈R,且ab+bc+ca=1,則下列不等式成立的是(  ) A.a(chǎn)2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 C.++≥2 D.a(chǎn)+b+c≤ 解析:∵ab+bc+ca=1, ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1, ∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥1+2(a+b+c)=3. 答案:B 5.有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9,…,現(xiàn)進(jìn)行如下分組:第1組含有一個(gè)數(shù){1},第2組含有兩個(gè)數(shù){3,5};第3組含有三個(gè)數(shù){7,9,11};…試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系為(  ) A.等于n2 B.等于n3 C.等于n4 D.等

4、于n(n+1) 解析:前三組數(shù)分別求和得1,8,27,即13,23,33,所以猜想第n組數(shù)的和為n3. 答案:B 6.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案: 則第n個(gè)圖案中的白色地面磚有(  ) A.4n-2塊 B.4n+2塊 C.3n+3塊 D.3n-3塊 解析:方法1:第1個(gè)圖案中有6塊白色地面磚,第二個(gè)圖案中有10塊白色地面磚,第三個(gè)圖案中有14塊白色地面磚,歸納為:第n個(gè)圖案中有4n+2塊白色地面磚. 方法2:驗(yàn)n=1時(shí),A、D選項(xiàng)不為6,排除.驗(yàn)n=2時(shí),C選項(xiàng)不為10,排除. 答案:B 7.函數(shù)f(x)是[-1,1]上的減函數(shù),α、

5、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,且α≠β,則下列不等式中正確的是(  ) A.f(sinα)>f(cosβ) B.f(cosα)<f(cosβ) C.f(cosα)>f(sinβ) D.f(sinα)<f(sinβ) 解析:因?yàn)棣痢ⅵ率卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角, 所以α+β>,所以>α>-β>0, 所以cosα<cos=sinβ. 而cosα∈(0,1),sinβ∈(0,1), f(x)在[-1,1]上是減函數(shù), 故f(cosα)>f(sinβ). 答案:C 8.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等,三內(nèi)角相等”的性質(zhì),可推知正四面體的下列性質(zhì),則比較恰當(dāng)?shù)氖?  ) ①各棱長(zhǎng)相

6、等,同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角相等;②各個(gè)面是全等的正三角形,相鄰的兩個(gè)面所成的二面角相等;③各個(gè)面都是全等的正三角形,同一頂點(diǎn)的任意兩條棱的夾角相等;④各棱長(zhǎng)相等,相鄰兩個(gè)面所成的二面角相等. A.①④ B.①② C.①②③ D.③ 解析:類比推理原則是:類比前后保持類比規(guī)則的一致性,而③④違背了這一規(guī)則,①②符合這一規(guī)則. 答案:B 9.設(shè)P=+++,則(  ) A.0<P<1 B.1<P<2 C.2<P<3 D.3<P<4 解析:P=log112+log113+log114+log115=log11120, 1=log1111<log11120<log1

7、1121=2,即1<P<2. 答案:B 10.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,則f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于(  ) A.f(1)+2f(1)+…+nf(1) B.f C.n(n+1) D.n(n+1)f(1) 解析:由已知f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=2,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=6,…,依此類推,f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)=…=nf(1)=2n,所以f(1)+f(2)+…+f(n)=2+4+6+…+2n==n(n+

8、1).故C正確,顯然A,B也正確,只有D不可能成立. 答案:D 第Ⅱ卷(非選擇題,共70分) 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分. 11.觀察下列式子: 1+<,1++<,1+++<,…,則可以猜想:當(dāng)n≥2時(shí),有__________. 解析:左邊為n項(xiàng)和:1+++…+,右邊為分式,易知n≥2時(shí)為. 答案:1+++…+< 12.已知點(diǎn)A(x,lgx1),B(x2,lgx2)是函數(shù)f(x)=lgx的圖象上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方,因此有結(jié)論<lg成立.運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn)A(x1,2x1),B(x2,2x2) 是

9、函數(shù)g(x)=2x的圖象上的不同兩點(diǎn),則類似地有__________成立. 解析:若點(diǎn)A(x1,2x1),B(x2,2x2)是函數(shù)g(x)=2x的圖象上的不同兩點(diǎn),則線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有>2. 答案:>2 13.若下列兩個(gè)方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 解析:假設(shè)這兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則 即 即 ∴-2

10、1=1,且Sn、Sn+1、2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),則S2、S3、S4分別為__________,由此猜想Sn=__________. 解析:由Sn,Sn+1,2S1成等差數(shù)列,得2Sn+1=Sn+2S1, ∵S1=a1=1,∴2Sn+1=Sn+2. 令n=1,則2S2=S1+2=1+2=3?S2=, 同理分別令n=2,n=3, 可求得S3=,S4=. 由S1=1=,S2==, S3==,S4==, 猜想Sn=. 答案:,,  三、解答題:本大題共4小題,滿分50分. 15.(12分)已知a是整數(shù),a2是偶數(shù),求證:a是偶數(shù). 證明:(反證法)

11、假設(shè)a不是偶數(shù),即a是奇數(shù), (2分) 則設(shè)a=2n+1(n∈Z), ∴a2=4n2+4n+1. (4分) ∵4(n2+n)是偶數(shù), ∴4n2+4n+1是奇數(shù),(8分) 這與已知a2是偶數(shù)矛盾,所以假設(shè)不成立,(10分) 即a一定是偶數(shù).(12分) 16.(12分)先解答(1)問(wèn),再通過(guò)類比解答(2)問(wèn). (1)求證:tan=; (2)設(shè)x∈R且f(x+1)=,試問(wèn)f(x)是周期函數(shù)嗎?證明你的結(jié)論. 解:(1)證明:tan==.(4分) (2)f(x)是以4為一個(gè)周期的周期函數(shù).證明如下: ∵f(x+2)=f[(x+1)+1]===-,(6分) ∴f(x+4)=f

12、[(x+2)+2]=-=f(x), (10分) ∴f(x)是周期函數(shù).(12分) 17.(12分)證明:若a>0,則 -≥a+-2. 證明:∵a>0,要證 -≥a+-2, 只需證 +2≥a++, 只需證( +2)2≥(a++)2,(4分) 即證a2++4+4≥a2++4+2(a+),即證 ≥(a+), 即證a2+≥(a2++2),(6分) 即證a2+≥2,即證(a-)2≥0,(10分) 該不等式顯然成立. ∴ -≥a+-2.(12分) 18.(14分)已知f(x)=(x≠-,a>0),且f(1)=log162,f(-2)=1. (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式; (2)已知數(shù)列{xn}的項(xiàng)滿足xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],試求x1,x2,x3,x4; (3) 猜想{xn}的通項(xiàng)公式. 解:(1) 把f(1)=log162=,f(-2)=1, 代入函數(shù)表達(dá)式得 即 解得(舍去a=-<0), ∴f(x)=(x≠-1).(6分) (2) x1=1-f(1)=1-=, x2=[1-f(1)][1-f(2)]=×(1-)=, x3=[1-f(3)]=×(1-)=, x4=×(1-)=.(12分) (3) 由(2)知,x1=,x2==,x3=,x4==,…,由此可以猜想xn=. (14分)

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