2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 第一章 空間幾何體 《空間幾何體的表面積與體積》 學(xué)習(xí)過程

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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 第一章 空間幾何體 《空間幾何體的表面積與體積》 學(xué)習(xí)過程 學(xué)習(xí)過程 知識點1：直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積的計算公式 直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積的計算，可以先計算其側(cè)面積，然后加上它們的底面積。 從側(cè)面展開圖可知：直棱柱側(cè)面積． 正棱錐側(cè)面積．底面周長為，斜高為 正棱臺側(cè)面積 上、下底面的周長分別為，斜高為 知識點2：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積 圓柱：側(cè)面展開圖是矩形，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高（母線），S=2，S=2，其中為圓柱底面半徑，為母線長。 圓錐：側(cè)面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母

2、線，弧長等于圓錐底面周長， 側(cè)面展開圖扇形中心角為，S=， S=，其中為圓錐底面半徑，為母線長。 圓臺：側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長， 側(cè)面展開圖扇環(huán)中心角為，S=，S=. 知識點3：柱、錐、臺的體積計算公式 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積和高的積，即． 棱錐的體積公式可把一個棱柱分成三個全等的棱錐得到，由于底面積為，高為的棱柱的體積，所以． 臺體的體積公式： （S，分別上、下底面積，h為高） → （r、R分別為圓臺上底、下底半徑） 知識點4：球的表面積和體積 球的表面積由它

3、的半徑R唯一確定，即S=4R2. （R為球的半徑） 球的體積也由它的半徑R唯一確定，即V= （R為球的半徑） 學(xué)習(xí)結(jié)論 1．從錐、臺、柱的形狀可以看出，當(dāng)臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當(dāng)臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式。 2．完全相同的幾何體，他們的體積相等。 3．一個幾何體的體積等于他個部分的體積之和。 4．解答多面體表面上兩點間最短線路問題，一般都是將多面體表面展開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點間線段的長。 典型例題

4、 例1、一個長10厘米、寬3厘米的長方形，以長邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個什么樣的立體圖形？它的表面積、體積各是多少？（取3.14，結(jié)果保留整數(shù)數(shù)位） 解析：（1）表面積： 　　解法一：S =2πr2+2πrh 　　　　　　　=2×3.14×32+2×3.14×3×10 　　　　　　　=56.52+188.4 　　　　　　　≈245（平方厘米） 　　解法一的算式：2×3.14×32+2×3.14×3×10中的2×3.14×3是相同因數(shù)。3和10是不同因數(shù)。根據(jù)乘法分配律可得到第二種解法： 　　解法二：S =2πr×(h+r) 　　　　　　　=2×3.14

5、×3×(10+3) 　　　　　　　=18.84×13 　　　　　　　≈245(平方厘米) 　　（2）體積：V=πr2h 　　　　　　　　=3.14×32×10≈283（立方厘米） 例2、有一根長為，底面半徑為的圓柱形鐵管，用一段鐵些在鐵管上纏繞圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少厘米？（精確到） 解析：把圓柱表面及纏繞其上的鐵絲展開在平面上，得到矩形，如圖所示． 由題意知點與點就是鐵絲的起止位置，故線段的長度即為鐵絲的最短長度． 答：鐵絲的最短長度約為． 說明：教學(xué)是可分步解決：先研究繞1圈時最短長度是多少

6、，繞2圈時最短長度是多少，最后研究繞4圈時最短長度是多少． 例3、在長方體用截面截下一個棱錐，求的體積與剩余部分的體積之比． 解析：將長方體看成四棱柱， 設(shè)它的底面的面積為，高為，則它的 體積為．棱錐的底面積為， 高為，因此棱錐的體積． 所以棱錐的體積與剩余部分的體積之比為． 說明：棱柱的體積等于底面積與高的乘積，而長方體的各個面均可以作為底面，因此可以靈活“選底”． 例4、 一個正方體內(nèi)接于半徑為的球內(nèi)，求正方體的體積． 解析：因為正方體內(nèi)接于球內(nèi)，所以正方體的8個定點均在球面上，又正方體和球體都是中心對稱圖形，所以它們的對稱中心必重合，即球心就是正方體的中心， 設(shè)正方體的棱長為，則．所以，正方體的體積為．