2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案 一、教學(xué)目標(biāo) (一)知識教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實(shí)際問題，并會推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生利用求曲線的方程的一般步驟解決一些實(shí)際問題的能力． (三)學(xué)科滲透點(diǎn) 圓基于初中的知識，同時又是初中的知識的加深，使學(xué)生懂得知識的連續(xù)性；通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可解決一些如圓拱橋的實(shí)際問題，說明理論既來源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，可以適時進(jìn)行辯證唯物主義思想教育． 二、教

2、材分析 1．重點(diǎn)：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟；(2)根據(jù)具體條件正確寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (解決辦法：(1)通過設(shè)問，消除難點(diǎn)，并詳細(xì)講解；(2)多多練習(xí)、講解．) 2．難點(diǎn)：運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實(shí)際問題． (解決辦法：使學(xué)生掌握分析這類問題的方法是先弄清題意，再建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡單，最后解決實(shí)際問題．) 三、活動設(shè)計(jì) 問答、講授、設(shè)問、演板、重點(diǎn)講解、歸納小結(jié)、閱讀． 四、教學(xué)過程 (一)復(fù)習(xí)提問 前面，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來回答？ 問題1：具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱為圓？ 平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為圓(教師在黑板

3、上畫一個圓)． 問題2：圖2-9中哪個點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個點(diǎn)是動點(diǎn)？動點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？ 圓心C是定點(diǎn)，圓周上的點(diǎn)M是動點(diǎn)，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大?。? 問題3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為： (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點(diǎn)M的坐標(biāo)，簡稱建系設(shè)點(diǎn)；圖2-9 (2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)|}，簡稱寫點(diǎn)集； (3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0，簡稱列方程； (4)化方程f(x，y)=0為最簡形式

4、，簡稱化簡方程； (5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明． 其中步驟(1)(3)(4)必不可少． 下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (二)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1．建系設(shè)點(diǎn) 由學(xué)生在黑板上畫出直角坐標(biāo)系，并問有無不同建立坐標(biāo)系的方法．教師指出：這兩種建立坐標(biāo)系的方法都對，原點(diǎn)在圓心這是特殊情況，現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo)．因?yàn)镃是定點(diǎn)，可設(shè)C(a，b)、半徑r，且設(shè)圓上任一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)． 2．寫點(diǎn)集 根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程 由兩點(diǎn)間的距離公式得： 4．化簡方程 將上式兩邊平方得： (x-a

5、)2+(y-b)2=r2． (1) 方程(1)就是圓心是C(a，b)、半徑是r的圓的方程．我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 這時，請大家思考下面一個問題． 問題5：圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時，圓的方程是什么？ 這是二元二次方程，展開后沒有xy項(xiàng)，括號內(nèi)變數(shù)x，y的系數(shù)都是1．點(diǎn)(a，b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑．當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0，0)時，方程為 x2+y2=r2． 教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個量確定了且r＞0，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨(dú)立的條件．注意，確定a、b、r，可以根據(jù)條件

6、，利用待定系數(shù)法來解決． (三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 例1　 寫出下列各圓的方程：(請四位同學(xué)演板) (1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3； (3)經(jīng)過點(diǎn)P(5，1)，圓心在點(diǎn)C(8，-3)； (4)圓心在點(diǎn)C(1，3)，并且和直線3x-4y-7=0相切． 教師糾錯，分別給出正確答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5； 指出：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例2　 說出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(x+4)2+(y+3)2=7； (3)(x+2)2+ y2=4 教師指出：已知圓

7、的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑． 例3　 (1)已知兩點(diǎn)P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點(diǎn)M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？ 解(1)： 分析一： 從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)解決． 解法一：(學(xué)生口答) 設(shè)圓心C(a，b)、半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得： 又由兩點(diǎn)間的距離公式得： ∴所求圓的方程為： (x-5)2+(y-6)2=10 分析二： 從圖形上動點(diǎn)P性質(zhì)考慮，用求曲線方程的一般方法解決． 解法二：(給出板書) ∵直徑上的四周角是直角，

8、 ∴對于圓上任一點(diǎn)P(x，y)，有PP1⊥PP2． 化簡得： x2+y2-10x-12y+51=0． 即(x-5)2+(y-6)2=10為所求圓的方程． 解(2)：(學(xué)生閱讀課本) 分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離： 因此，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)． 這時，教師小結(jié)本題： 1．求圓的方程的方法 (1)待定系數(shù)法，確定a，b，r； (2)軌跡法，求曲線方程的一般方法． 2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r： (1)點(diǎn)在圓上d=r； (2)點(diǎn)在圓外d＞r； (3)點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r． 3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的

9、方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(證明留作作業(yè)) 例4　 圖2-10是某圓拱橋的—孔圓拱的示意圖．該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度(精確到0.01m)． 此例由學(xué)生閱讀課本，教師巡視并做如下提示： (1)先要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡單，便于計(jì)算； (2)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (3)要注意P2的橫坐標(biāo)x=-2＜0，縱坐標(biāo)y＞0，所以A2P2的長度只有一解． (四)本課小結(jié) 1．圓的方程的推導(dǎo)步驟； 2．圓的方程的特點(diǎn)：點(diǎn)(a，b)、r分別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑；

10、 3．求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法；(2)軌跡法． 五、布置作業(yè) 1．求下列條件所決定的圓的方程： (1)圓心為 C(3，-5)，并且與直線x-7y+2=0相切； (2)過點(diǎn)A(3，2)，圓心在直線y=2x上，且與直線y=2x+5相切． 2．已知：一個圓的直徑端點(diǎn)是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 證明：圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0． 3．一個等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圓的方程． 4．趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓的方程． 作業(yè)答案： 1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32 2．因?yàn)橹睆降亩它c(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則圓心和半徑分別為 所以圓的方程為 化簡得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 4．如圖2-11建立坐標(biāo)系，得拱圓的方程： x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0) 六、板書設(shè)計(jì)