2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課時(shí)作業(yè) 1.(2018·合肥市質(zhì)檢)已知一個(gè)圓錐底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(  ) A.π          B. C.2π D.3π 解析:依題意,作出圓錐與球的軸截面,如圖所示,設(shè)球的半徑為r,易知軸截面三角形邊AB上的高為2,因此=,解得r=,所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×()2=2π,故選C. 答案:C 2.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為(  ) A.π B.4π C.4π D.6π 解析:設(shè)球的半徑為R,由球的截面

2、性質(zhì)得R==,所以球的體積V=πR3=4π. 答案:B 3.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A. B. C. D. 解析:該幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱組合而成,直觀圖如圖所示, V=V柱+V錐=×(1+1)×1×2+××(1+1)×1×2=,故選C. 答案:C 4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線(實(shí)線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的體積為(  ) A.24π B.29π C.48π D.58π 解析:如圖,在3×2×4的長(zhǎng)方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD),其外接球即為長(zhǎng)方體的外接

3、球,表面積為4πR2=π(32+22+42)=29π. 答案:B 5.(2018·合肥市質(zhì)檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的體積為(  ) A.3 B.3 C.9 D.9 解析:由題中的三視圖,可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖中的梯形為底面的四棱錐,其底面面積S=×(2+4)×1=3,高h(yuǎn)=3,故其體積V=Sh=3,故選A. 答案:A 6.若三棱錐PABC的最長(zhǎng)的棱PA=2,且各面均為直角三角形,則此三棱錐的外接球的體積是________. 解析:如圖,根據(jù)題意,可把該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,則該三棱錐的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球,

4、易得外接球的半徑R=PA=1,所以該三棱錐的外接球的體積V=×π×13=π. 答案:π 7.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上,且AB=3,BC=,過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,則棱錐EABCD的體積為_(kāi)_______. 解析:如圖所示,BE過(guò)球心O, ∴DE==2, ∴VE-ABCD=×3××2=2. 答案:2 8.已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為_(kāi)_______. 解析:如圖,設(shè)截面小圓的半徑為r,球的半徑為R,因?yàn)锳H∶HB=1∶2,所以O(shè)H=R.由

5、勾股定理,有R2=r2+OH2,又由題意得πr2=π,則r=1,故R2=1+(R)2,即R2=.由球的表面積公式,得S=4πR2=. 答案: 9.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (1)證明:AC⊥HD′; (2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱錐D′-ABCFE的體積. 解析:(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF得=,故AC∥EF. 由此得EF⊥HD,EF⊥HD′,所以AC⊥HD′. (2)由EF∥AC得==. 由AB

6、=5,AC=6得DO=BO==4. 所以O(shè)H=1,D′H=DH=3. 于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2, 故OD′⊥OH. 由(1)知,AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′. 又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由=得EF=. 五邊形ABCFE的面積S=×6×8-××3=. 所以五棱錐D′-ABCFE的體積V=××2=. 10.(2018·莆田質(zhì)檢)如圖,在四棱錐SABCD中,四邊形ABCD為矩形,E為SA的中點(diǎn),SA=SB=2,AB=2,BC=3. (1)證明:SC∥平

7、面BDE; (2)若BC⊥SB,求三棱錐CBDE的體積. 解析:(1)證明:連接AC,設(shè)AC∩BD=O, ∵四邊形ABCD為矩形,則O為AC的中點(diǎn). 在△ASC中,E為AS的中點(diǎn),∴SC∥OE, 又OE?平面BDE,SC?平面BDE, ∴SC∥平面BDE. (2)∵BC⊥AB,BC⊥SB,AB∩SB=B, ∴BC⊥平面SAB,又BC∥AD, ∴AD⊥平面SAB. ∵SC∥平面BDE, ∴點(diǎn)C與點(diǎn)S到平面BDE的距離相等, ∴VCBDE=VSBDE=VDSBE, 在△ABS中,SA=SB=2,AB=2, ∴S△ABS=×2×1=. 又∵E為AS的中點(diǎn),

8、 ∴S△BES=S△ABS=. 又點(diǎn)D到平面BES的距離為AD, ∴VDBES=S△BES·AD=××3=, ∴VCBDE=, 即三棱錐CBDE的體積為. B組——能力提升練 1.(2018·湖北七市聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體外接球的表面積為(  ) A.36π B.π C.32π D.28π 解析:根據(jù)三視圖,可知該幾何體是一個(gè)四棱錐,其底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形,高是2.將該四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)三棱柱,如圖所示,則其底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形,高是4,該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球.∵三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形,∴底面三角形的中心到該三

9、角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離為×2=,∴外接球的半徑R= =,外接球的表面積S=4πR2=4π×=,故選B. 答案:B 2.(2018·廣州模擬)《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐PABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為(  ) A.8π B.12π C.20π D.24π 解析:如圖,因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形,所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等,即PC的中點(diǎn)為球心O,易得2R=PC=,所以R=,球O的表面積為4πR2

10、=20π,選C. 答案:C 3.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(  ) A.4π    B.    C.6π    D. 解析:由題意可得若V最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若與三個(gè)側(cè)面都相切,可求得球的半徑為2,球的直徑為4,超過(guò)直三棱柱的高,所以這個(gè)球放不進(jìn)去,則球可與上下底面相切,此時(shí)球的半徑R=,該球的體積最大,Vmax=πR3=×=. 答案:B 4.四棱錐SABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi),當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí),其表面積等于8

11、+8,則球O的體積等于(  ) A. B. C.16π D. 解析:依題意,設(shè)球O的半徑為R,四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為a、高為h,則有h≤R,即h的最大值是R,又AC=2R,則四棱錐SABCD的體積VSABCD=×2R2h≤.因此,當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大,即h=R時(shí),其表面積等于(R)2+4××R× =8+8,解得R=2,因此球O的體積等于=,選A. 答案:A 5.(2017·河北質(zhì)量監(jiān)測(cè))多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的體積為_(kāi)_______cm3. 解析:由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,在三棱錐DABC中,底面ABC是等腰三角形,

12、設(shè)底邊AB的中點(diǎn)為E,則底邊AB及底邊上的高CE均為4,側(cè)棱AD⊥平面ABC,且AD=4,所以三棱錐DABC的體積V=S△ABC·AD=××4×4×4=(cm3). 答案: 6.已知正四棱錐OABCD的體積為,底面邊長(zhǎng)為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______. 解析:過(guò)O作底面ABCD的垂線段OE(圖略),則E為正方形ABCD的中心.由題意可知×()2×OE=,所以O(shè)E=,故球的半徑R=OA==,則球的表面積S=4πR2=24π. 答案:24π 7.如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正

13、投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. (1)證明:G是AB的中點(diǎn); (2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積. 解析:(1)證明:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB⊥PD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE. 因?yàn)镻D∩DE=D, 所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG. 又由已知,可得PA=PB,所以G是AB的中點(diǎn). (2)在平面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心. 由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CD=CG. 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC. 由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2. 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2, 所以四面體PDEF的體積V=××2×2×2=.

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