2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課時(shí)作業(yè) 1．(2018·合肥市質(zhì)檢)已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(　　) A．π　　　　　　　　　 B. C．2π D．3π 解析：依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此＝，解得r＝，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×()2＝2π，故選C. 答案：C 2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 解析：設(shè)球的半徑為R，由球的截面

2、性質(zhì)得R＝＝，所以球的體積V＝πR3＝4π. 答案：B 3．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B． C. D． 解析：該幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱組合而成，直觀圖如圖所示， V＝V柱＋V錐＝×(1＋1)×1×2＋××(1＋1)×1×2＝，故選C. 答案：C 4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(實(shí)線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的體積為(　　) A．24π B．29π C．48π D．58π 解析：如圖，在3×2×4的長(zhǎng)方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD)，其外接球即為長(zhǎng)方體的外接

3、球，表面積為4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π. 答案：B 5．(2018·合肥市質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為(　　) A．3 B．3 C．9 D．9 解析：由題中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖中的梯形為底面的四棱錐，其底面面積S＝×(2＋4)×1＝3，高h(yuǎn)＝3，故其體積V＝Sh＝3，故選A. 答案：A 6．若三棱錐PABC的最長(zhǎng)的棱PA＝2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是________． 解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則該三棱錐的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球，

4、易得外接球的半徑R＝PA＝1，所以該三棱錐的外接球的體積V＝×π×13＝π. 答案：π 7．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐EABCD的體積為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，BE過(guò)球心O， ∴DE＝＝2， ∴VE－ABCD＝×3××2＝2. 答案：2 8．已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)锳H∶HB＝1∶2，所以O(shè)H＝R.由

5、勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由題意得πr2＝π，則r＝1，故R2＝1＋(R)2，即R2＝.由球的表面積公式，得S＝4πR2＝. 答案： 9．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′-ABCFE的體積． 解析：(1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF. 由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. (2)由EF∥AC得＝＝. 由AB

6、＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3. 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH. 由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′. 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝. 五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝. 所以五棱錐D′-ABCFE的體積V＝××2＝. 10．(2018·莆田質(zhì)檢)如圖，在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD為矩形，E為SA的中點(diǎn)，SA＝SB＝2，AB＝2，BC＝3. (1)證明：SC∥平

7、面BDE； (2)若BC⊥SB，求三棱錐CBDE的體積． 解析：(1)證明：連接AC，設(shè)AC∩BD＝O， ∵四邊形ABCD為矩形，則O為AC的中點(diǎn)． 在△ASC中，E為AS的中點(diǎn)，∴SC∥OE， 又OE?平面BDE，SC?平面BDE， ∴SC∥平面BDE. (2)∵BC⊥AB，BC⊥SB，AB∩SB＝B， ∴BC⊥平面SAB，又BC∥AD， ∴AD⊥平面SAB. ∵SC∥平面BDE， ∴點(diǎn)C與點(diǎn)S到平面BDE的距離相等， ∴VCBDE＝VSBDE＝VDSBE， 在△ABS中，SA＝SB＝2，AB＝2， ∴S△ABS＝×2×1＝. 又∵E為AS的中點(diǎn)，

8、 ∴S△BES＝S△ABS＝. 又點(diǎn)D到平面BES的距離為AD， ∴VDBES＝S△BES·AD＝××3＝， ∴VCBDE＝， 即三棱錐CBDE的體積為. B組——能力提升練 1．(2018·湖北七市聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為(　　) A．36π B．π C．32π D．28π 解析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，高是2.將該四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，高是4，該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球．∵三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，∴底面三角形的中心到該三

9、角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離為×2＝，∴外接球的半徑R＝ ＝，外接球的表面積S＝4πR2＝4π×＝，故選B. 答案：B 2．(2018·廣州模擬)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為(　　) A．8π B．12π C．20π D．24π 解析：如圖，因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形，所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，即PC的中點(diǎn)為球心O，易得2R＝PC＝，所以R＝，球O的表面積為4πR2

10、＝20π，選C. 答案：C 3．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π　　　　B.　　　　C．6π　　　　D. 解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝，該球的體積最大，Vmax＝πR3＝×＝. 答案：B 4．四棱錐SABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8

11、＋8，則球O的體積等于(　　) A. B． C．16π D． 解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為a、高為h，則有h≤R，即h的最大值是R，又AC＝2R，則四棱錐SABCD的體積VSABCD＝×2R2h≤.因此，當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大，即h＝R時(shí)，其表面積等于(R)2＋4××R× ＝8＋8，解得R＝2，因此球O的體積等于＝，選A. 答案：A 5．(2017·河北質(zhì)量監(jiān)測(cè))多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為_(kāi)_______cm3. 解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示，在三棱錐DABC中，底面ABC是等腰三角形，

12、設(shè)底邊AB的中點(diǎn)為E，則底邊AB及底邊上的高CE均為4，側(cè)棱AD⊥平面ABC，且AD＝4，所以三棱錐DABC的體積V＝S△ABC·AD＝××4×4×4＝(cm3)． 答案： 6．已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______． 解析：過(guò)O作底面ABCD的垂線段OE(圖略)，則E為正方形ABCD的中心．由題意可知×()2×OE＝，所以O(shè)E＝，故球的半徑R＝OA＝＝，則球的表面積S＝4πR2＝24π. 答案：24π 7．如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA＝6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正

13、投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. (1)證明：G是AB的中點(diǎn)； (2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積． 解析：(1)證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE. 因?yàn)镻D∩DE＝D， 所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG. 又由已知，可得PA＝PB，所以G是AB的中點(diǎn)． (2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影． 理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影． 連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心． 由(1)知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD＝CG. 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC. 由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2， 所以四面體PDEF的體積V＝××2×2×2＝.