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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 圓與方程 《直線、圓的位置關(guān)系》學(xué)習(xí)過程
學(xué)習(xí)過程
知識點1： 直線與圓的位置關(guān)系
1、 直線與圓有三種位置關(guān)系：直線與圓相交，有兩個公共點；
直線與圓相切，有且只有一公共點；
直線與圓相離，沒有公共點。
2、研究直線與圓的位置關(guān)系主要方法有：代數(shù)法，幾何法
位置關(guān)系
幾何特征
方程特征
幾何法
代數(shù)法
相交
有兩個公共點
方程組有兩個不同實根
d0
相切
有且只有一公共點
方程組有且只有一實根
d=r
△=0
相離
沒有公共點
方程組無實根
d>r
△<0
3、 弦長的求法
直線與圓相交有
2、兩個交點，設(shè)弦長為L，弦心距為d，半徑為r，則有即半徑長，弦心距，半徑構(gòu)成直角三角形，數(shù)形結(jié)合，利用勾股定理得到。
知識點2： 圓與圓的位置關(guān)系
1、 圓與圓有五種位置關(guān)系： 圓與圓相交，有兩個公共點；
圓與圓相離，沒有公共點；
圓與圓相切，有且只有一公共點，由內(nèi)切和外切兩種；
圓與圓內(nèi)含，沒有公共點。
2、判定兩個圓的位置關(guān)系：
設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則
⑴ 兩圓外離d＞R+r；有4條公切線；
⑵ 兩圓外切d=R＋r；有3條公切線；
⑶ 兩圓相交R－r＜d＜R+r（R＞r）有2條公切線；
⑷ 兩圓內(nèi)切d=R－r（R＞r）有1條公切線；
⑸ 兩圓內(nèi)
3、含d＜R—r（R＞r）有0條公切線
2、 過兩圓交點的直線方程
設(shè)圓 ①
圓 ②
①-②得此式為兩圓公共弦所在的直線方程
學(xué)習(xí)結(jié)論：
1、直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種，其中判定方法為：
（1）、代數(shù)法：即求直線方程與圓的方程所組成的實數(shù)解的個數(shù)，當(dāng)時，相交；當(dāng)時，相切；當(dāng)時，相離.
（2）、幾何法：即通過圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來研究，當(dāng)時，相交；當(dāng)時，相切；當(dāng)時，相離.
2、圓與圓有五種位置關(guān)系，它們分別是外離
4、、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，判定方法有兩種：一種是代數(shù)法，另一種是幾何法。
典型例題
例題1在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何種位置關(guān)系？為什么？
（1）r=1cm； （2）r=cm； （3）r=2.5cm．
解析：過C點作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=2
，∴AB·CD=AC·BC，
∴，
（1）當(dāng)r =1cm時 CD＞r，∴圓C與AB相離；
（2）當(dāng)r=cm時，CD=r，∴圓C與AB相切；
（3）當(dāng)r=2.5cm時
5、，CD＜r，∴圓C與AB相交．
例題2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C為圓心，r為半徑的圓，若直線AB與⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相離．求半徑r的取值．
解析：過C點作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=2
，∴AB·CD=AC·BC，
∴，
（1）∵直線AB與⊙C相離，∴0rCD，即r>．
例題3平面上有兩點，點在圓周上，求使取最小值時點的坐標(biāo)
解析：在Δ中有
即當(dāng)最小時，取最小值，而，
即
例題4已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓
（1）求實數(shù)m取值范圍；（2）求圓半徑r取值范圍；（3）求圓心軌跡方程。
解析：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
所以
（2），（）
（3）圓心（m+3,4m2-1）,消去參數(shù)得圓心軌跡方程為：y=4(x-3)2-1.
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