5、og2(a＋b)3，則x0的取值范圍為( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0，2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3)
解析：選C．取x0＝1，則f(1)＝＋1＝<3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，則f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A．故選C．
2．如果a1，a2，a3，…，an為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則下列關(guān)系正確
6、的為( )
A．a(chǎn)1a8>a4a5 B．a(chǎn)1a8a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4a5
解析：選B．取特殊數(shù)列，不妨設(shè)an＝n，則a1＝1，a4＝4，a5＝5，a8＝8，經(jīng)檢驗，只有選項B成立．
3．函數(shù)f(x)＝的圖象是( )
解析：選C．因為x≠±1，所以排除A；因為f(0)＝1，所以函數(shù)f(x)的圖象過點(0，1)，排除D；因為f＝＝，所以排除B，故選C．
4．如圖，點P為橢圓＋＝1上第一象限內(nèi)的任意一點，過橢圓的右頂點A、上頂點B分別作y軸、x軸的平行線，它們相交于點C，過點P引BC，AC的平行線交AC于點N，交BC于點M，交AB于D、
7、E兩點，記矩形PMCN的面積為S1，三角形PDE的面積為S2，則S1∶S2＝( )
A．1 B．2
C． D．
解析：選A．不妨取點P，
則可計算S1＝×(5－4)＝，
由題易得PD＝2，PE＝，
所以S2＝×2×＝，
所以S1∶S2＝1.
5．若函數(shù)y＝f(x)對定義域D中的每一個x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，則稱f(x)為“影子函數(shù)”，有下列三個命題：( )
①“影子函數(shù)”f(x)的值域可以是R；
②“影子函數(shù)”f(x)可以是奇函數(shù)；
③若y＝f(x)，y＝g(x)都是“影子函數(shù)”，且定義域相同，則y＝f(x)·g(x)是“
8、影子函數(shù)”．
上述命題正確的序號是( )
A．① B．②
C．③ D．②③
解析：選B．對于①：假設(shè)“影子函數(shù)”的值域為R，則存在x1，使得f(x1)＝0，此時不存在x2，使得f(x1)f(x2)＝1，所以①錯；
對于②：函數(shù)f(x)＝x(x≠0)，對任意的x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x2＝，則f(x1)f(x2)＝1，又因為函數(shù)f(x)＝x(x≠0)為奇函數(shù)，所以“影子函數(shù)”f(x)可以是奇函數(shù)，②正確；
對于③：函數(shù)f(x)＝x(x>0)，g(x)＝(x>0)都是“影子函數(shù)”，但F(x)＝f(x)g(x)＝1(x>0)不是“影子函數(shù)”(因為對任意的x1∈(0，＋∞
9、)，存在無數(shù)多個x2∈(0，＋∞)，使得F(x1)·F(x2)＝1)，所以③錯．綜上，應(yīng)選B．
6．(一題多解)已知E為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線，令＝a，＝b，過點E的直線分別交AB，AC于P，Q兩點，且＝ma，＝nb，則＋＝( )
A．3 B．4
C．5 D．
解析：選A．由于直線PQ是過點E的一條“動”直線，所以結(jié)果必然是一個定值．故可利用特殊直線確定所求值．
法一：如圖1，令PQ∥BC，
則＝，＝，此時，m＝n＝，
故＋＝3.故選A．
法二：如圖2，直線BE與直線PQ重合，此時，＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3.故選A．
7．如圖，在三棱柱的
10、側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為( )
A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．∶1
解析：選B．將P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有V＝V＝.
因此過P、Q、C三點的截面把棱柱分成體積比為2∶1的兩部分．
8．已知AD，BE分別是△ABC的中線，若||＝||＝1，且與的夾角為120°，則·＝________．
解析：若△ABC為等邊三角形，則||＝，
所以·＝||||cos 60°＝.
答案：
方法二 驗證法
方法詮釋
使用前提
使用技
11、巧
常見問題
驗證法是把選項代入題干中進(jìn)行檢驗，或反過來從題干中找合適的驗證條件，代入各選項進(jìn)行檢驗，從而可否定錯誤選項而得到正確選項的一種方法.
存在唯一正確選項.
可以結(jié)合特例法、排除法等先否定一些明顯錯誤的選項，再選擇直覺認(rèn)為最有可能的選項進(jìn)行驗證，這樣可以快速獲得答案.
題干信息不全、選項是數(shù)值或范圍、正面求解或計算煩瑣的問題等.
真題示例
技法應(yīng)用
(2019·高考全國卷Ⅰ)右圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入( )
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
對于選項A，A＝.當(dāng)k＝1時，A＝，當(dāng)k＝2時，A＝，故A正確；經(jīng)驗證選項B
12、，C，D均不符合題意．故選A．
答案：A
(2018·高考北京卷)設(shè)集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，則( )
A．對任意實數(shù)a，(2，1)∈A
B．對任意實數(shù)a，(2，1)?A
C．當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，(2，1)?A
D．當(dāng)且僅當(dāng)a≤時，(2，1)?A
對a取數(shù)字驗證．a(chǎn)＝0時，A錯；a＝2時，B錯；a＝時，C錯．所以選D．
答案：D
(2018·高考全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則( )
A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3
B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4
C．f(x)的最小正周期為2π，最大
13、值為3
D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4
當(dāng)sin x＝0，cos x＝1時，函數(shù)值為4，所以A，C錯；把x＋π代入驗證，可得f(x＋π)＝f(x)，說明D錯．故選B．
答案：B
(2018·高考全國卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝ln x的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是( )
A．y＝ln(1－x)
B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x)
D．y＝ln(2＋x)
函數(shù)y＝ln x的圖象過定點(1，0)，而(1，0)關(guān)于直線x＝1對稱的點還是(1，0)，將(1，0)代入選項驗證.
答案：B
(2017·高考全國卷Ⅰ)設(shè)A、B是橢圓C：＋＝1長軸的兩
14、個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞)
B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞)
D．(0，]∪[4，＋∞)
選取四個選項的差異值m＝，m＝4代入驗證.
答案：A
1．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是( )
A．y＝－ B．y＝－log2x
C．y＝3x D．y＝x3＋x
解析：選D．y＝－在(0，＋∞)，(－∞，0)上單調(diào)遞增，但是在整個定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯誤；
y＝－log2x的定義域(0，＋∞)關(guān)于原點不對稱，不是奇函數(shù)，故B錯誤；
y＝3x不
15、是奇函數(shù)，故C錯誤；
令f(x)＝y(tǒng)＝x3＋x，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，是奇函數(shù)，且由冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故D正確，故選D．
2．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：選B．因為y＝x2是偶函數(shù)，y＝sin x是奇函數(shù)，y＝cos x是偶函數(shù)，所以A選項為奇函數(shù)，B選項為偶函數(shù)；C選項中函數(shù)圖象是把對數(shù)函數(shù)y＝ln x的圖象在x軸下方部分翻折到x軸上方，其余部分的圖象保持不變，故為非奇非偶函數(shù)；D選項為指數(shù)函數(shù)y＝()x，是非奇非偶函數(shù)．故選B．
16、
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A．f(x)的一個周期為－π
B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱
C．f的一個零點為x＝－
D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減
解析：選C．f(x)＝cos的周期為T＝kπ，所以A對；當(dāng)x＝時，2x－＝π，cos π＝－1，所以B對；f(x＋)＝cos(2x＋)，x＝－時，2x＋＝0，cos0＝1≠0，所以C錯；x∈時，2x－∈，y＝cos x在上遞減，所以D對．故選C．
4．已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，g(x)＝ln x－2f(x)，則函數(shù)g(x)的零點所在區(qū)間為( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3)
17、 D．(3，4)
解析：選C．函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，可得a＝0，則g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－，顯然函數(shù)g(x)為增函數(shù)，且有g(shù)(1)＝ln 1－2＝－2<0，g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－>0，g(4)＝ln 4－>0，g(2)g(3)<0，故函數(shù)g(x)的零點所在區(qū)間為(2，3)，故選C．
5．已知函數(shù)f(x)＝sin(其中ω>0)圖象的一條對稱軸為直線x＝，則ω的最小值為( )
A．2 B．4
C．10 D．16
解析：選B．(從選項驗證)若ω＝2，則當(dāng)x＝時，f(x)＝sin＝，不符合題意；若ω＝4，則當(dāng)x＝時，f(x)＝sin＝1，
18、符合題意，所以ω的最小值為4.
6．已知函數(shù)f(x)＝－x3－7x＋sin x，若f(a2)＋f(a－2)>0，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(－1，2) D．(－2，1)
解析：選D．(從選項驗證)若a＝1，則f(a2)＋f(a－2)＝f(1)＋f(－1)＝0，不滿足f(a2)＋f(a－2)>0，所以B，C錯；若a＝－2，則f(a2)＋f(a－2)＝f(4)＋f(－4)＝0，也不滿足f(a2)＋f(a－2)>0，所以A錯．故選D．
7．設(shè)x、y滿足約束條件且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3
19、D．5或－3
解析：選B．當(dāng)a＝－5時，作出不等式組表示的可行域，如圖所示(陰影部分)．
由得交點A(－3，－2)，
則目標(biāo)函數(shù)z＝x－5y過A點時取得最大值．
zmax＝－3－5×(－2)＝7，不滿足題意，排除A、C選項．
當(dāng)a＝3時，作出不等式組表示的可行域，如圖所示(陰影部分)．
由得交點B(1，2)，則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y過B點時取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，滿足題意．故選B．
方法三 估算法
方法詮釋
使用前提
使用技巧
常見問題
由于選擇題提供了唯一正確的答案，又不需寫出過程，因此可以通過猜測、合情推理、估算獲得答案，這樣往往可以減少運(yùn)算
20、量．估算省去了很多推導(dǎo)過程和復(fù)雜的計算，節(jié)省時間.
針對一些復(fù)雜的、不易準(zhǔn)確求值的與計算有關(guān)的命題，常與特值法結(jié)合起來使用.
對于數(shù)值計算，常采用放縮估算、整體估算、近似估算、特值估算等；對于幾何體問題，常進(jìn)行分割、拼湊、位置估算.
求幾何體的表面積、幾何體的體積、三角函數(shù)的值、離心率、參數(shù)的范圍等.
真題示例
技法應(yīng)用
(2019·高考全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長
21、為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是( )
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
設(shè)某人身高為m cm，脖子下端至肚臍的長度為n cm，則由腿長為105 cm，可得>≈0.618，解得m>169.890.
由頭頂至脖子下端的長度為26 cm，
可得>≈0.618，解得n<42.071.
由已知可得＝≈0.618，解得m<178.218.
綜上，此人身高m滿足169.890
22、2，c＝0.20.3，則( )
A．a(chǎn)1，0c>a.故選B．
答案：B
(2018·高考全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為( )
A．12
B．18
C．24
D．54
等邊三角形ABC的面積為9，顯然球心不是此三角形的中心，所以三棱錐體積最大時，三棱錐的高應(yīng)在區(qū)間(4，8)內(nèi)，所以×9×4
23、C<24，故選B．
答案：B
(2017·高考全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)的最大值為( )
A．
B．1
C．
D．
當(dāng)x＝時，函數(shù)值大于1，故選A．
答案：A
(2017·高考全國卷Ⅱ)若a＞1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是( )
A．(，＋∞)
B．(，2)
C．(1，)
D．(1，2)
列出關(guān)于e的表達(dá)式，用a表示，根據(jù)a>1，估算e的范圍．答案為C．
答案：C
1．已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c
C．c>b>a
24、D．c>a>b
解析：選D．a(chǎn)＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e，據(jù)此可得c>a>b.故選D．
2．某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖所示)，它由四個腰長為1，頂角為α的等腰三角形和一個正方形組成，則該八邊形的面積為( )
A．2sin α－2cos α＋2 B．sin α－cos α＋3
C．3sin α－cos α＋1 D．2sin α－cos α＋1
解析：選A．當(dāng)頂角α→π時，八邊形幾乎是邊長為2的正方形，面積接近于4，四個選項中，只有A符合，故選A．
3．P為雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是
25、雙曲線的左、右焦點，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為( )
A．a(chǎn) B．b
C． D．a(chǎn)＋b－
解析：選A．如圖，點P沿雙曲線向右頂點無限接近時，△PF1F2的內(nèi)切圓越來越小，直至“點圓”，此“點圓”應(yīng)為右頂點，則內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為a，故選A．
4．若0<α<β<，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，則( )
A．a(chǎn)b
C．a(chǎn)b<1 D．a(chǎn)b>2
解析：選A．若α→0，則sin α＋cos α＝a→1.若β→，則sin β＋cos β＝b→，從而b>a，結(jié)合選項分析，應(yīng)選A．
5.如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面
26、ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為( )
A． B．5
C．6 D．
解析：選D．連接BE，CE，四棱錐E-ABCD的體積為VE-ABCD＝×3×3×2＝6，多面體ABCDEF的體積大于四棱錐E-ABCD的體積，即所求幾何體的體積V>VE-ABCD＝6，而四個選項里面大于6的只有，故選D．
方法四 構(gòu)造法
方法詮釋
使用前提
使用技巧
常見問題
構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的發(fā)散、類比、轉(zhuǎn)化思想．利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、方程或幾何圖形等，從而簡化推理與計算過程，
27、使較復(fù)雜的或不易求解的數(shù)學(xué)問題簡單化.
構(gòu)造法來源于對基礎(chǔ)知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從類似的問題中找到構(gòu)造的靈感.
所構(gòu)造的函數(shù)、方程、圖形等要合理，不能超出原題的限制條件.
對于不等式、方程、函數(shù)問題常采用構(gòu)造新函數(shù)，對于不規(guī)則的幾何體常構(gòu)造成規(guī)則幾何體處理.
比較大小、函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題、不規(guī)則的幾何體問題等.
真題示例
技法應(yīng)用
(2019·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為( )
A．
28、8π
B．4π
C．2π
D．π
由∠CEF＝90°，可得EC，利用余弦定理可求PA＝PB＝PC＝?PA⊥PB⊥PC，利用外接球的直徑是由該幾何體補(bǔ)成的正方體的體對角線求R，可得球的體積.
答案：D
(2019·高考天津卷)設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝5，則的最小值為________.
首先把待求式子的分子展開，再把已知條件代入，化簡后構(gòu)造使用基本不等式的條件，由基本不等式即可求解.
答案：4
(2018·高考全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A．
B．
C．
D．
29、
在長方體ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1的一側(cè)再補(bǔ)填一個完全一樣的長方體ABC2D2-A1B1B2A2，研究△AB2D1即可.
答案：C
(2016·高考全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.
其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)
構(gòu)造正方體，將有關(guān)棱與面看作問題中有關(guān)線與面，逐一判斷.
答案：②③④
(2016·高考全國卷Ⅰ)若a＞b＞
30、0，0＜c＜1，則( )
A．logaccb
構(gòu)造函數(shù)y＝logcx和y＝xc，利用函數(shù)的單調(diào)性可解決.
答案：B
(2015·高考全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)g(x)＝，先求導(dǎo)再解題.
答案：A
1．已知
31、定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)
32、?g(x)0.故選B．
2．已知m，n∈(2，e)，且－n
B．m2＋
D．m，n的大小關(guān)系不確定
解析：選A．由不等式可得－0，故函數(shù)f(x)在(2，e)上單調(diào)遞增．因為f(n)
33、S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列，即7，14，S15－21成等差數(shù)列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.選B．
4．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖所示，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為( )
A． B．－
C． D．－
解析：選A．由題意，可補(bǔ)成正方體，如圖，異面直線AC與BD所成角就是ED與BD所成角，而△BDE為等邊三角形，所以ED與BD所成角為，cos＝.故選A．
5．設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且對任意x∈R都有f′
34、(x)>f(x)成立，則( )
A．3f(ln 2)>2f(ln 3)
B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
C．3f(ln 2)<2f(ln 3)
D．3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小關(guān)系不確定
解析：選C．令g(x)＝，則g′(x)＝＝.因為對任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，所以g′(x)>0，即g(x)在R上單調(diào)遞增．又ln 2
（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第1講 選擇、填空題的4種特殊解法學(xué)案 理 新人教A版
